IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 51
Текст из файла (страница 51)
< 2 г~,+ 1 [~7 — '— ;А(г)~ +(2) 0(~,; г, г')+дЕУ'<~,; г, г') = б<г), <51.9) < 2 — г~,+ —,' [~7+ —",А(г)] +д) У(~,; г, г') — дБ*6<~,; г, г') = О. В случае слабого поля, который мы только и будем здесь рассматривать, эти уравнения могут быть линеаризованы; полагаем й(О) + м(1) — — (о) — (1) (51.10) у=у +у <где первые члены — значения функций в отсутствие поля, а вторые — малые поправки, линейные по полю) и сохраняем в уравнениях лишь члены первого порядка малости по А. При этом надо иметь в виду, что наличие поля меняет также и конденсатную волновую функцию Е, не сводяшуюся в этом случае к постоянной.
Это усложнение, однако, отсутствует при выбранной нами калибровке векторного потенциала, в которой с(1гк А = 0 <51.11) Действительно, поправка первого порядка (к постоянному значению Е(о)) в скалярной функции Е<г) могла бы быть лишь пропорциональной йт А и при условии (51.11) обращается в нуль. Поэтому с требуемой точностью можно положить в линеаризованных уравнениях дЕ = дЕ( ) = Ь, где Ь вЂ” щель в энергетическом спектре газа в отсутствие поля (вещественная величина). В результате линеаризованныс уравнения <51.9) принимают вид ((~, + ~' + д) Ф') (~,; г, г') + ЬУ(') <~,; г, г') = = — "А(г)~д(о) <(;; г — г'), <51.12) ( — и„+ — '+ д) У(') (1,,; г, г') — ЬФ') (1,"„.
г, г') = = — — "А(1')Ь.ФО) (~, г — г') 272 ГЛ. Ч СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ В виду линейности этих уравнений по А достаточно решить их для одной из фурье-комт(онент поля, т. е. А(г) = А(1() е™, 1(А11с) = О. (51.13) При таком А(г) зависимость функций й(1) и У12) от суммы г + г' можно сразу отделить, положив й(Ц1(,к; Г, Г') = ф~к; à — Г')Ек(к(г+г')(2 (51.14) Ф ) ((,к; г, г') = )" ('('„к; г — г')е'"Ог("')( Так, первое из уравнений (51.12) принимает после этого вид ! '(.-';~ —,' (»к(2) -';»)к((к — '(-';22((.; — '(= А(~ ) (к((г — г')/згккн(О) (~, тс и аналогично для второго уравнения.
Произведем теперь фурье- преобразование функций и и 7' по г — г'. Окончательно приходим к следующей системе двух алгебраических уравнений: '(((. — Й (»к —,") к»~ к((., »(кк((О, »( = к А(~ )дало) (~ кк) (51.15) ! -'(.—,— '(1-'; —,") -';»~ (((,»(-»к((., »(= А(1() — (о) (~ р х) После простых преобразований с использованием выражений (42.7), 142.8) для функций й(о) и У(о) решение этих уравнений приводится к виду 1(, ) = — — 'рА11с) О4' "~н'4' " ) , .151.16) 142 ( 22 )(ч»2 ( 22 ) где е.к = е(р ~ 1с((2), 2)» = 2)(р ~ 1с/2) (функция же 7" 1(„„р) нам ниже не понадобится).
Перейдем к вычислению тока. Для этого исходим из известного выражения оператора плотности тока в представлении г з51 связь тока с магнитным полкм в сввгхпговодникв 273 вторичного квантования ') ,1 = —" ~(17Ф г)р — Ф+(17Ф )~ — — 'Ач/ Ф . Для перехода к мацубаровскому представлению этого оператора достаточно заменить гейзенберговские Ф, Фг на мацубаровские чг~, Ф~. Вспомнив определение гриновской функции (37.2), найдем, что плотность тока (диагональный матричный элемент оператора 1, усредненный по распределению Гиббса) может быть записана в виде 3(г) = 2 — '((17' — гУ)Я(т, г; т', г')],, — — А(г) и, (51.17) тп т'=т-~-О ™ где гг плотность числа частиц (множитель 2 возникает от Ц..
= 2Д). При подстановке в (51.17) Д = Д(О1 + Д(Ц член с Д(О1 выпадает: для однородной и изотропной системы функция Ф~1 (г — г') " четная, и ее производная при г — г' = 0 обэпащается в нуль. Перейдя также к разложению Фурье по т — т, получим Ос г 3(г) = — Т ~~~ [(~7' — 17ЦП1(~,; г, г')],, — — "А(г), а после подстановки А(г) и м111 из (51.13) и (51.14) 1(1с) = ' ~ ~/рй(~„р) ' — — "' А(1с). При подстановке сюда 3(~ю р) из (51.16) удобно сразу учесть поперечность векторов 1(1с) и А(1с) и произвести усреднение по направлениям рл вплоскости,перпендикулярной направлению 1с, по формуле рз ергь = — в1п О (б;ь— / й йети 2 к' где д угол между 1с и р. В результате находим следующее ') См.
П1, 1 115. Здесь опущен член, представляющий вклад а ток от спина частиц. Для неферромагннтной системы (когда гриноаская функция й В = = б Вй) этот член при усреднении обращается а нуль. 274 ГЛ. Ч СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ выражение для функции е.г(1с), определяющей связь между 3()с) и А(1с): ®(1, е 7 Х / 2 . 2д(К +Че)(Ц +г1 )+гг~ д~р Ве тгс ~,/ Ог+ег)Ог+ег) (2х)г тс' е~ =г)э-+ы г):ь = Р~ )г 2тч 2/ Написанные в таком виде стоящие здесь интегралы и сумма формально расходятся.
Хотя эти расходимости в действительности фиктивны, но при вычислении требуется осторожность: до устранения расходимости результат может зависеть даже от порядка, в котором производятся интегрирование и суммирование. Эту трудность можно обойти, если учесть заранее очевидное обстоятельство, что при гд = О должно быть Я = О в нормальном металле сверхпроводящий ток вообще отсутствует. Поэтому мы не изменим ответа, если вычтем из (51.18) такое же выражение с гд = О: д(~ ) е Т Ч / 2 2д 1 (гч + гг-е)(гч + г1 ) + гг / '1 (~г + г )(чсг + г ) 1 ', (51.19) (г(' — Пэйг(' — П-)) (2х)г Это выражение уже хорошо сходится и интегрирование и суммирование в нем можно производить в любом порядке.
Отметим прежде всего, что интересующие нас значения )с малы в том смысле, что Й « рр; это равенство выражает собой просто тот факт, что характерные расстояния, на которых в сверхпроводнике меняются поле и ток, велики по сравнению с межчастичными расстояниями (т. е. по сравнению с 1/рг). Произведем в (51.19) сначала интегрирование по е(р. Этот интеграл сосредоточен в основном в узкой области импульсов вблизи ферми-поверхности в области ~р — рр~ к. В этой области 1 1 г)э = г) л -икксоэ д = ир(р — рр) ~ -ирк соэ д, 2 2 множитель р2в подынтегрвльном выражении можно заменить нар~, 2 а интегрирование по е(эр интегрированием по 2ггтргс(г)е)соэд.
После этого интеграл по г1г) от второго члена в фигурных скобках в (51.19) обращается в нуль; путь интегрирования в нем может быть теперь замкнут бесконечно удаленной полуокружностью в плоскости комплексного г), и обращение интеграла в нуль есть следствие того, что оба полюса подынтсгрального выражения находятся в одной и той же полуплоскости (верхней или нижней г 851 связь тока с магнитным палим в сввгхпговодннкв 275 в зависимости от знака ~,) . Интегрирование по г11? в первом члене в (51.19) производится элементарно, после чего остается лишь интеграл по переменной х = сов 0. Введя также плотность и согласно равенству р~р — — Зх~п, получим окончательный результат в виде (в обычных единицах) 1 ® ) ЗхТпе кг 1' ьг~(1 — т~) ах Атс ~-г,/ [~э+ Ьг+ (йегйх/2)г)(~э+ Ьг)г?г я= ео, (51.20) ~, = (2з+1)яТ (,?.
Ваге?ееп, ?гг. Сопрет, Х А. Бс?гг(еДег, 195'?) '). В предельном случае малых значений й (ксе « 1, где ЧО Ггор/г1О ПОГ/Тс ДЛИНа КОГЕРЕНтНОСтн) МОЖНО ПОКаЗатЬ, что выражение (51.20) сводится к не зависящему от й лондоновскому выражению (51.8); мы не будем останавливаться здесь на этом. В обратном предельном случае, когда ?ссе » 1, в интеграле (51.20) существенна область х < Тс/(5?сег) « 1. Поэтому можно пренебречь х~ по сравнению с 1 в числителе подынтегрального выражения, после чего (ввиду быстрой сходимости) распространить интегрирование от — сю до сс.
В результате найдем зкпеТ кг Ь згпсйег?г с г Гг +,л,г ' Произведя суммирование с помощью (42.10), представим эту формулу в виде'). При Т « Т, имеем па п, гд Ье и тогда )3 1/б~ь(е. При Т, — Т « Т, щель Ь мала, так что 1Ь(Ь/2Т) 1а/2Т;, с учетом формул (40.4), (40.5), (40.16) находим снова 1г 1/б~~~е. Таким образом, во всей области температур от 0 до Т, /т 1/(блие). (51.22) ) Изложенный метод получения этого результата с помощью температурных гриновских функций принадлежит А. А.
Абрикосову н Л. П. Герькоеу (1958) . ) Формула такого вида была предложена Пиппардом (А. В. РгррагА, 1983) на основании качественных соображений еще до создания микроскопической теории сверхпроводимости. 276 СВВРХПРСВСДИМССТЬ гл. ч З 52. Глубина проникновения магнитного поля в сверхнроводник Применим полученные в предыдущем параграфе результаты к задаче о проникновении внешнего магнитного поля в сверх- проводник (в лондоновском приближении эта задача была рас смотрена в з 44).
Пусть сверхпроводник ограничен плоской поверхностью и занимает полупространство х > О, а внешнее поле Я (а с ним и индукция В внутри сверхпроводника) направлено параллельно поверхности, вдоль оси ю Тогда все величины зависят только от координаты х, причем ток ) и векторный потенциал А (в калибровке с йч А = 0) направлены вдоль оси у. Уравнение Максвелла го1 В = — ЬА = 4я.)/с сводится к А" (т) = — — Ях), х > О, (52.1) с где ' означает дифференцирование по я. Граничные условия к этому уравнению зависят, однако, от физических свойств поверхности металла по отношению к падающим на нее электронам. Наиболее прост случай зеркального отражения электронов от поверхности.
Очевидно,что при таком законе отражения задача о полупространстве эквивалентна задаче о неограниченной среде, в которой поле А(х) распределено симметрично по обе стороны плоскости т = 0 (А(х) = А( — х)). При этом производная А'(х), как нечетная функция х, будет испытывать при х = 0 разрыв, меняя знак при прохождении т через нуль. Другими словами, условию В = А' = Я на поверхности полупространства в задаче с неограниченной средой отвечает условие А'(+0) — А'(-0) = 2Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
