IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Волновые функции, на которые действует этот оператор, . - спиноры первого ранга ф,е„, где а спинорный индекс. Согласно теореме Крамерса (см. П1, З60), относящийся к любому (в том числе периодическому) электрическому полю, .комплексно-сопряженные спиноры ф,к и с1!,*к всегда описывают два различных состояния с одной и той же энергией. Поскольку в то же время функция 3 55 293 электРОП В 44еРиОди гескОм пОле 4(4;й отвечает квазиимпульсу — 1с, то мы снова (теперь уже и с учетом спин-орбитального взаимодействия) приходим к соотношению типа (55.9): евп( )с) = еэо'(1с)1 (55.18) где индексы гг и гг' отличают два различных (обращенных по времени) спиновых состояния ').
Равенство (55.18) не означает, конечно, вырождения в том смысле, о котором говорилось выше, поскольку энергии в обеих сторонах равенства относятся к различным значениям )с. Но если решетка обладает центром инверсии, то состояния с 1с и — 1с имеют одинаковую энергию.
Тогда мы приходим к равенству ьл (14) = е, (1с), снова означающему двукратное вырождение каждого уровня с заданным квазиимпульсом. Наряду с вырождением, связанным с симметрией относительно обращения — Ь 0 а а+Ь времени, для электрона в периодическом Рис. 10. поле может существовать также и вырождение, обязанное пространственной симметрии решетки.
Этим вопросам посвящен ниже 3 68. Задачи 1. Найти закон дисперсии для одномерного движения электрона в периодическом поле, изображенном на рис. 10 (К. Кгопгд, Иг. С. Реппеу, 1930). Решение. Волновая функция в области ямы 1(0 < я < а) имеет вид 46 = сге'""+ сэе '"", нг = ъ'2тя/6, (1) а в области барьера Н ( — Ь < х < О); 4=-' '4 * '"*, =~41*-~ э4. (2) В области следующего барьера 1Н волновая функция должна отличаться от (2) лишь фазовым множителем е'и'4и (о -~- ь — период поля): М 4И * гы- -И -' 4М- -и) (3) й = Е (СЗЕ -~- С4Е Условия непрерывности 46 и 16 в точках я = 0 и я = а дают четыре уравнения для см ..., с4; условие совместности этих уравнений приводит к диспсрсионному уравнению 1 яг мг созй(а+6) = сов ига соэизЬ вЂ” — ( — + — гйпм4а э1пизЬ, (4) 2 1,яэ яг) ') С учетом спин-орбитального взаимодействия оператор проекции спина уже не коммутативен с гамильтонивном, так что эта проекция не сохраняется и спнновыс состояния помогут, строго говоря, характеризоваться этим числом.
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛН !ЕСКОЙ РЕШЕТКЕ ГЛ. 1! определяющему в неявном виде искомую зависимость я(Ь). При я ( Ьгс ве- личина хя мнима, и тогда уравнение надо записать в виде соек(а+ Ь) = соя хга сй ~хяЬ| -~- — ~ — ! яшхга яй!хяЬ~. (5) 1l~,~ 2 ( х1 )хя(/ Если в (5) перейти к пределу Ь!е — + оо, Ь вЂ” ! 0 при с!еЬ = сопяс = Ра, получим дисперсионное уравнение Рта яш хга соя Йа = соя хга + 62 ига (6) Оно решает задачу об уровнях энергии в периодическом поле, составленном из Ь-функционных пиков; У(х) = аР ~~! Ь(а — ап). На рис. 11 дано графическое построение, иллюстрирующее распределение корней уравнения (6).
Здесь изображена правая часть уравнения как функция от я!а; когда она йробегает значения между х1, корни уравнения пробегают значения в интервалах, указанных жирными отрезками на оси абсцисс. Рис. 11. Ь101( ) р, ) — 112 пж (нормировка на 1 частицу на длине 11а; а — период поля); энергия частицы яю! = 6~к~/2т. представим периодическую функцию ьг(т) в виде ряда Фурье Ы( ) ~~, с 22 22 Матричные элементы этого поля по отношению к плоским волнам отличны от нуля только для переходов между состояниями с волновыми векторами Ь и Ь' = Ь -Ь 2кп/а и в этих слУчаЯх Равны Ьгя я = К,.
2. Найти закон дисперсии для одномерного движения частицы в слабом периодическом поле Ь!(Е). Р с ш е н и е. Рассматривая поле как малое возмущение, исходим из нулевого приближения, в котором частица совершает свободное движение, описываемое плоской волной 2 55 295 электРОЕ В пеРиодическом ПОле В первом приближении теории возмущений поправка к энергии дается диагональным матричным элементом е = Уьь = бге, т.
е. не зависящей Ю от й постоянной, лишь смещающей начало отсчета энергий. Исключение составляют, однако, уровни энергии в окрестности значений й = хп/а (и = х1, х2,... ) . В этих точках й отличается лишь знаком от значения й' = й — 2 гп7а, так что энергии ею~(й) и еш~(й~) совпадают.
В окрестности этих значений, следовательно, отличны от нуля матричные элементы для переходов между состояниями с близкими энергиями, и для определения поправки должен быть использован метод теории возмущений, относящийся к случаю близких собственных значений (см.
П1, Э 79). Ответ дается формулой (79.4)(см. 1П), согласно которой в данном случае ..(й) =-'(.ш~ (й)+.ю~(й- К„))~ 2 2/2 х~ — (е (й) — е (й — К )) +~У ~ ) где К„= 2яп7а, а аддитнвнан постоянная еГе опущена; выбор знака пе ред корнем определяется требованием,чтобы вдали от значения й = хК /2 функция е(й) переходила бы в еЩ~(й): знаки + и — относятся соответственно к областям )й) > (К„/2) и (й! < )К„/2!. В самих точках й = хК /2 функция е(й) испытывает скачок, равный 2)У„!. На рис. 12 а энергия е(й) изображена как функция переменной й, пробегающей значения от — оо до оо.
Если же привести значения й (квазиимпульса) к интервалу между хх/а, то мы придем крис. 12б, где изображены две первые энергетические зоны. е е Обратим внимание на то, что зоны на рис. 12 (как и на рис. 11) не перекрываются. Это общее свойство 6) одномерного движения в периодическом поле. Каждый уровень энергии двукратнО вырожден (по знаку й), а большая кратность вырождения при одномерном движении вообще невозможна. Рис. 12. Отметим, что в одномерном случае границы каждой зоны (минимальные и максимальные значения е(й)) соответствуют значениям й = 0 и й = я/а.
Дело в том, что волновые функции, соответствующие энергиям в запрещенном интервале, умножаются при смещении на период а на некоторый вещественный множитель (в силу чего и возрастают неограниченно на бесконечности). Волновые же функции в разрешенных интервалах энергии лри таком переносе умножаются на е'ь'. На границе между запрещенным и разрешенным интервалами этот множитель, следовательно, должен быть одновременно вещественным и равным по модулю единице, откуда и следует равенство йа нулю или я.
3. Найти закон дисперсии частицы в одномерном периодическом поле, представляющем собой последовательность симметричных потенциальных ям, удовлетворяющих условию квазиклассичности (ввиду чего вероятность проникновения частицы через барьер между ямами мала).
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛЕ гЕСКОЙ РЕШЕТКЕ ГЛ. Р! ср'(х) Р е ш е н и е аналогично ходу решения задачи о расщеплении уровней в двойной яме (см. П1, 350, задача 3). 1 Яр! Пусть р!ро (х) — нормированная волно- 1 1 ! вая функция, описывающая движение 1 (с некоторой энергией ео, рис. 13) в одной из ям, т, е, экспоненциально ватуа хо а хающая в обе стороны от границ этой 2 2 ямы; зта функция вещественна и может быть четной или нечетной по переменной х.Правильная же волновая функция нулевого приближения для движения частицы в периодическом поле представляет собой сумму 412(х) = С ~~! ер '"4!о(х — аи), (1) где С вЂ” нормировочная постоянная (при сдвиге х э х+ а эта функция умножается, как и следовало, на е™). Пишем уравнения Шредингера 2(рь + — (е(й) — ~1(х))1)Ро = О, 41оо -> — [ео — У(х))Р)1о = О, К2 А2 умножаем первое на 2)ро, второе на 1рь, вычитаем почленно и интегрируем по Их в пределах от — а!12 до а!12 (рис.
13). Замечаем, что поскольку произведения Фо(х)2)1о(х — аи) с и ф О исчезающе малы везде, то 22 Рис. 13 ) А(х) Фо (х) о(х = С. — 22 Находим ~(~) о — (Мор)12 ФоФА),( . При х = а!12 в сумме (1) должны быть сохранены лишь члены с и = О и и = 1,причем 1)1о(-а/2) = ~р)1о(а/2) в зависимости от четности или нечет- ности функции о!о(х)! фь(а/2) = Ср)ро(а/2) (1 А е!" ), ф~ь(а/2) = Ср)1о(а!12) (1 ~ с* "); е(!р) — со = х — 12~о ( — ) Мо ( — ) соз йа.
т 2 2 Сюда надо подставить значения 22 1 ~р(х)) Их *о аналогичным образом, при х = — а!12 должны быть сохранены лишь члены с и = О и и = — 1. В результате получим 56 Влияние Внеп!Инго пОля нА дВигкение Влек"ГРОнА 297 где ы — классическая частота колебаний частицы в яме; хе — точка поворота, отвечающая энергии ее. Окончательно: йы е(й) — ее = х — Лсозйа, Р = ехр 2 56. Влияние внешнего поля на движение электрона в решетке Рассмотрим движение электрона при наложении на решетку постоянного магнитного поля Н.
Если исходить из гамильтониана электрона в периодическом поле У(г) в координатном представлении: 2 Н= и +у(г), (56. 1) 2ш (где р = — гг2'27 - оператор истинного импульса), то введение внешнего магнитного поля осуществляется обычным образом; Й = — (р — -'А) + У(г)2 (56.2) где А(г) "- векторный потенциал поля. Задача, однако, радикально упрощается в случае достаточно слабого поля путем перехода к квазиимпульсному представлению.
Ввиду большого разнообразия в возможных видах зонной структуры энергетического спектра электрона в решетке условие малости внешнего поля может быть сформулировано в общем виде лишь довольно грубым образом. Пусть электрон до включения поля находится в некоторой определенной (з-й) зоне. Обозначим через ес наименьшую из энергетических величин, характеризующих эту зону, -- ее характерную ширину или расстояние до соседних зон (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
