IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 50
Текст из файла (страница 50)
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ Гл. ч Подставив сюда д191/дх из граничного условия (50.2), получим .) = — (У)1гл2 — гл1гг2) 2тЛ Для контактов одинаковых металлов величины гу1 и у12 отлича- ются только своей фазой; находим тогда для плотности тока: е6 2 ~=з ( Фзы 2 = — )Ф~. тЛ (50.3) $" — ) à —— 1 дХ(1) с д1 (50.4) нс затрагивающему векторный потенциал (который предполагается не зависящим от времени). Точно так, как это было сделано при выводе преобразования (44.3), (44.6), найдем, что одновременно с ч' должна быть преобразована фаза волновой функции согласно 2е Ф э Ф+ — )((1).
(50.5) ') Микроскопическая теория, основанная на модели БКШ, показывает, что такая же связь (50.3) между у и Фм имеет место при всех температурах. Эта же теория позволяет связать У с электрическим сопротивлением контакта межлу двумя металлами в нормальном состоянии. Изложение атой теории можно найти в книге: И. О. Кулик, И. К. Янсон. Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах. — Мс «Наука», 1970.
") Напомним (ср. Примечание на с. 159), что временной множитель схр( — 21р1/6) исключен из волновой функции тем, что гамильтониан системы Й заменен на Й' = Й вЂ” дй. При приближении к точке перехода ~г)))2 стремится к нулю как Т, — Т; по такому же закону, следовательно, стремится к нулю и максимальная плотность тока через контакт'). Пусть теперь к туннельному контакту приложена от внешнего источника некоторая разность потенциалов, т. е. в контакте имеется электрическое поле Е. Вудсы описывать это поле ска.- лярным потенциалом, обозначив его здесь через Ъ': Е= — и'ч'.
Влияние этого поля на сверхпроводящий ток через контакт можно выяснить уже на основании требований калибровочной инвариантности. В отсутствие поля (при $" = О) фаза волновой функции не зависит от времени: дф/д( = 0'). Для обобщения этого равенства на случай наличия электрического поля замечаем, что общее соотношение должно быть инвариантно по отношению к калибровочному преобразованию скалярного потенциала 2 50 267 эФФект д?коэеФсонА Отсюда ясно, что калибровочно инвариантным будет соотношение — + — Ъ' = О, (50.6) дС 6 переходящее в дФ??д~ = 0 при T = О.
При не зависящем от времени электрическом поле интегрирование равенства (50.6) даст Ф(0? 2е р. 6 где ФОО не зависит от времени. Поэтому, если контакту приложе- на постоянная электрическая разность потенциалов Рзы то раз- ность фаз на нем (О) 2е Ф21 = Ф2? — — ?'212. 6 Подставив это выражение в (50.3), находим сверхпроводящий ток через контакт ( (О) 2е у = у„,в?п Ф2? — — 1'2?2) . 6 (50.7) 2 0?. = — ~ЕЪ2?~. 6 (50.8) Потребляемая в контакте мощность дается произведением 2Ъ2?, ее среднее (по времени) значение равно нулю, т.
е. систематическая затрата энергии от внешнего источника отсутствует как и должно быть для сверхг?роводящего тока, не связанного с диссипацией энергии. Подчеркнем, однако, что при наличии внешней элсктродвижущей силы через контакт будет протекать также и некоторый нормальный ток (слабый при малом Ъ2?), сопровождающийся диссипацией. Заключение о периодическом с частотой (50.8) изменении сверхпроводящего тока через контакт следует уже из самого факта периодической зависимости ? от Ф2? и линейной зависимости Ф2? от времени; это заключение не связано с какими-либо предположениями о величине разности потенциалов. Конкретная же формула (50.7) справедлива лишь при условии малости частоты ы по сравнению с характерной для сверхпроводимости частотой Ь/6: 60? = 2(еЪ'( « Ь?Т). (50.9) Мы приходим к замечательному результату: наложение на тун- нельный контакт постоянной разности потенциалов приводит к появлению сверхпроводящего переменного тока с частотой гл. ч СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ Задача Написать уравнение для тока в цепи, состоящей из пошгедоватсльно соединенных сопротивления В и сверхпроводника с туннельным контактом; в цепи действует злсктродвижущая сила 10.
Р е ш с н не. Полное падение напряжения в цепи че = й У+ 101, где,7— текущий по цепи ток, а ч01 — разность потенциалов на контакте ). Подста- 1 вив сюда ч' = У яш Ф11 и ч01 из (60.6), получим 6 дФМ ро ОЧ Б!п Ф21 . 2)е) дг Отметим,что описываемый этим уравнением переменный ток имеет неси- нусоидальный характер.
5 51. Связь тока с магнитным полем в сверхпроводнике В 6 44 были получены формулы, определяющие связь между током и магнитным полем в сверхпроводнике в предельном (лондоновском) случае медленного изменения всех величин вдоль объема тела; при этом поле предполагалось слабым малым по сравнению с его критическим значением. Теперь мы рассмотрим этот вопрос в общем случае произвольно меняющегося в пространстве статического поля, по-прежнему предполагая его слабым. Слова «произвольно меняющееся» означают здесь, что поле может существенно меняться на расстояниях се (но, конечно, по-прежнему мало меняется на расстояниях порядка величины постоянной решетки; поэтому неоднородность среды металла на атомных расстояниях несущественна).
В общем случае связь между током и магнитным полем в пространственно-неограниченной среде изображается интегральной формулой вида у;(г) = — / Язв(г — г') Аь(г') 01зх', (51.1) где ядро Я;ь зависит только от свойств самой среды'). Линейность зависимости (51.1) отвечает предположению о слабости поля.
Как известно, плотность тока может рассматриваться как вариационная производная от энергии системы по векторному потенциалу: изменение функции Гамильтона системы при ') Малым (при малом че) нормальным током в сверхпроводнике пренебрегаем. ) Задача о неограниченной среде имеет в данной связи липгь формальный смысл.
Ее реальное значение состоит в дальнейшем применении ее результатов к задаче об ограниченной среде см. следующий параграф. ~ 51 связь токл с млгнитным полкм в свкгхпговодникк 269 варьировании А есть бн = --' /15А,1зт с,/ Я;ь(г — г') = фь(г' — г). (51.2) Разложив А(г) и 1(г) в интегралы Фурье, запишем связь (51.1) для фурье-компонент: у;(1с) = — ц;ь11г) Аь(1г), (51.3) причем в силу (51.2) Я;ь(1г) = Яы( — 1г).
Некоторые важные свойства функции Я;ь(1г) следуют уже из требований калибровочной инвариантности. Ток 1 не должен меняться при калибровочном преобразовании А(г) — +А(г)+~7~~г) или, для фурье-компонент: А(1г) — э А(1г) + г1г,"~(1г). Это значит, что тензор фь(1г) должен быть ортогонален волновому вектору д, (1г) йь = О. (51.4) В частности, в кристалле кубической симметрии тензорная зави- симость Я;ь сводится к членам вида Б,ь и й;1сь, из (51.4) следует тогда, что (51.5) где Я(1с) скалярная функция.
Для дальнейшего выберем калибровку потенциала, в которой с11кА(г) = О. Для фурье-компонент это значит, что 1гА(1г) = О. Поэтому связь (51.3) между током и потенциалом сведется к раИс) = — Ф1г) А(1г), (51.6) т. е. будет определяться лишь скалярной функцией Я(1г). Лондоновскому случаю отвечает предельное выражение ф1г) при 1г -+ О. Это выражение легко найти, применив к обоим частям уравнения (44.8) го11 = — "* го1 А тс (см. П1, (115.1)).
Поэтому ядро Я;ь в (51.1) является второй вариационной производной, а симметрия относительно порядка двукратного дифференцировании (по А;(г) и Аь(г')) означает, что 270 гл. ч СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ операцию го$ и учтя равенство ЖРА = О. Заметив, что в силу уравнения непрерывности также и г)1ч) = О, получим А) = — — '"'АА. гас В неограниченном пространстве для везде конечных функций ,)(г) и А(г) отсюда следует, что и 1(г) = — ' "'А(г), (51.7) т. е. значение тока в каждой точке определяется лишь значением потенциала в той же точке.
Такое же равенство имеет место между фурье-компонентами )(1с) и А(1с), и сравнение с (51.б) показывает, что Я(1с) дается не зависящим от 1с выражением ') ®1с) = ' =, р 1с — эО. (51.8) тс 4кд' Дальнейшее содержание этого параграфа состоит в вычислении Я(1с) для модели БКП1, под которой подразумевается, как уже говорилось, изотропный вырожденный ферми-газ со слабым притяжением между частицами (электронами). В то же время предполагается, что эти частицы взаимодействуют с магнитным полем своим зарядом е. В 942 были написаны уравнения (42.5) для температурных гриновских функций ферми-газа в отсутствие внешнего поля.
Введение магнитного поля осуществляется заменой оператора ч — )ч — геА/с в гамильтониане Й(с) (7.7)'). Такое же изменение возникает, следовательно, в уравнении (7.8) для Ф и соответственно замена т7-+ 17+(еА/с в аналогичном уравнении для 1Р~; то же самое относится, очевидно, и к уравнениям для 1р и — "М Ф . Спиновый же член ( ггн), отвечающий прямому взаимодействию магнитного момента электрона с полем, мал и им можно пренебречь в гамильтониане и уравнениях. При воздействии оператора "7 на функции Я(т, г; т', г') и Ят, г; т', г') дифференцированию подвергаются соответственно операторы т (т, г) и Ъ~(т, г).
Поэтому н в уравнениях (42.5) введение магнитного поля осуществляется теми же заменами 17-+~~геА/с. Наличие внешнего поля нарушает пространственную однородность системы, в результате чего зависимость грнновских ) В этом и следующих параграфах лондоновская глубина проникновения обозначается как бм ) Ниже в этом параграфе (в уравнениях (51.9) — (51.19)) полагаем 5 = 1.
~ 51 связь токл с мкгнитным полкм в свквхпвоволникк 271 функций от аргументов г и г )же не сводится к зависимости от г — г', от аргументов же т и т функции по-прежнему зависят только через разность т — т'. Мы запишем уравнения сразу для фурье-компонент по т — т'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
