IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Симметричный спинор второго ранга эквивалентен вектору, который обозначим через с1. В случае 1 = 1 зависимость с1 от п должна отвечать полиному Лежандра Р1(сов 0), т. е. быть линейной: <Ц = фсьпь. Комплексный тензор второго ранга ф;ь не обязательно симметричный!) и описывает свсрхтекучую азу. Реально существуют две различные сверхтекучие фазы жидкого 'Не, различающиеся видом тензора ф;Ь. ГЛАВА У1 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ з 55. Электрон в периодическом поле Электронные оболочки атомов в кристалле сильно взаимодействуют друг с другом, в результате чего уже нельзя говорить об уровнях энергии отдельных атомов, а лишь об уровнях для совокупности электронных оболочек всех атомов тела в целом.
Характер электронного энергетического спектра различен для разных типов твердых тел. В качестве предварительного шага для изучения этих спектров необходимо, однако, рассмотреть более формальную задачу о поведении отдельного электрона во внешнем пространственно-периодическом электрическом поле, которое служит моделью кристаллической решетки. Этому посвящены ~ 55- 60. Периодичность поля означает, что оно не меняется при параллельном переносе на любой вектор вида а = п1а1+ птат + пэаэ (где аы аэ, аэ ". основные периоды решетки; пм пэ, пз "- целые У(г + а) = У(г). (55.1) Поэтому и уравнение П1редингсра, описывающее движение электрона в таком поле, инвариантно относительно любого преобразования г -+ г+ а. Отсюда следует, что если ф(г) есть волновая функция некоторого стационарного состояния, то ф(г+ а) тоже есть решение уравнения Шредингера, описывающее то же самое состояние электрона.
Это означает, что обе функции должны совпадать с точностью до постоянного множителя; у (г+а) = = сопй ф(г). Очевидно, что сопэ1 должна быть равна по модулю единице; в противном случае при неограниченном повторении смещения на а (или на — а) волновая функция стремилась бы к бесконечности. Общий вид функции, обладающей таким свойством, следующий: ф,~,(г) = е™и,~,(г), (55.2) где и произвольный (вещественный) постоянный вектор, а и,и периодическая функция и,и(г + а) = и,и(г).
288 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИ 1ЕСКОЙ РЕШЕТКЕ !"Х!. 1! и,'~,и,»11о = 5»» . (55.4) Смысл вектора 1с состоит в том, что определяет поведение волновой функции при трансляциях: преобразование г » г + а умножает ее на е™, ф,к(г+ а) = е™ф,~,(г). (55.5) Отсюда сразу следует, что величина 1с по самому своему определению неоднозначна: значения, отличающиеся на любой вектор Ь обратной решетки, приводят к одинаковому поведению волновой функции (множитель ехр(1(1«+ Ь)а1 = ехр(г1«а)).
Другими Этот результат был впервые получен Ф. Блохом (Р. В1ОСЬ, 1929): волновые функции вида (55.2) называют функциями Блоха, и в этой связи об электроне в периодическом поле часто говорят как о блоховском электроне. При заданном значении 1« уравнение Шредингера имеет, вообще говоря, бесконечный ряд различных решений, отвечающих бесконечному ряду различных дискретных значений энергии электрона е(11);индекс з в у1,к нумерует эти решения. Такой же индекс (номер энергетической зоны) надо приписать и различным ветвям функции е = е,(11) закону дисперсии электрона в периодическом поле. В каждой зоне энергия пробегает значения в некотором конечном интервале.
Для различных зон эти интервалы разделены «энергетическими щелял«и» или же частично перекрываются; в последнем случае в области перекрытия каждому значению энергии отвечают различные (в каждой зоне) значения к. Геометрически это означает, что изоэнергетические поверхности, отвечающие двум перекрывающимся зонам з и з', находятся в различных областях 1«-пространства.
Формально перекрытие зон означает вырождение .. различные состояния обладают одинаковой энергией, но поскольку этим состояниям отвечают различные значения 1«! то это не приводит к каким-либо особенностям в спектре. От общего случая перекрытия надо отличать пересечение зон, когда значения е»(11) и с» (11) совпадают в одних и тех же точках 1« (изоэнергетические поверхности пересекаются). Обычно под вырождением понимают только такой случай; пересечение приводит к появлению определенных особенностей в спектре.
Все функции ф,к с различными з или 1«, разумеется, взаимно ортогональны. В частности, из ортогональности у1,к с различными з и одинаковыми 11 следует ортогональность функций и,!,. При этом ввиду их периодичности достаточно производить интегрирование по объему о одной элементарной ячейки решетки: при соответствующей нормировке з 55 289 электРОЕ В пеРиОди гескОм пОле словами, такие значения 1й физически эквивалентны; они соответствуют одному и тому же состоянию электрона, т.
е, одной и той же волновой функции. Можно сказать, что функции ф,ь периодичны (в обратной решетке) относительно индекса 1г: ф, ь йь(г) = ф,ь(г). (55.6) Периодична также и энергия: ей(1с+ Ь) = е,(1с). (55.7) Функции (55.2) обнаруживают определенное сходство с волновыми функциями свободного электрона плоскими волнами г)г = сопе1 ехр(йрг/гг); при этом роль сохраняющегося импульса играет постоянный вектор Ис. Мы снова (как и для фонона-- см. йг, 8 71) приходим к понятию о квазиимпульсе электрона в периодическом поле. Подчеркнем, что истинного сохраняющегося импульса в этом случае вообще нет, так как во внешнем поле закон сохранения импульса нс имеет места.
Замечательно, однако, что в периодическом поле электрон тем не менее характеризуется некоторым постоянным вектором. В стационарном состоянии с заданным квазиимпульсом Иг истинный импульс может иметь, с различными вероятностями, бесконечное число значений вида гг(1с+ Ь). Это следует из того, что разложение периодической в пространстве функции в ряд Фурье содержит члены вида е'ь'. гьг ийь(Г) = ~ ~а, Егъс Ь и потому разложение волновой функции (55.2) на плоские волны ~'( ) = Е",". """' (55.8) Ь Тот факт, что коэффициенты разложения зависят только от сумм к + Ь, выражает собой свойство периодичности в обратной решетке (55.6). Подчеркнем, что этот факт, как и свойство (55.6), не есть дополнительное условие, налагаемое на волновую функцию, а является автоматическим следствием периодичности поля У(г).
Все физически различные значения вектора к лежат в одной элементарной ячейке обратной решетки. «Объем» этой ячейки равен (2л)з,гги, где и объем элементарной ячейки самой решетки кристалла. С другой стороны, объем к/2х-пространства определяет число соответствующих ему состояний (приходящихся на единичный объем тела). Таким образом, число таких состояний, заключенных в каждой энергетической зоне, равно 1гги, т. е. числу элементарных ячеек в единице объема кристалла.
10 Е.М.Л ф Е,Л.П.П г г й 292 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИ сЕСКОВ РЕШЕТКЕ ГХ!. Р! первый член является диагональной матрицей с элементами — — (в,(1с) — — — в,(1с)) = — " а д1с д1! Б д1! Матричные же элементы Й связаны с матричными элементами Й соотношением (в1с ~ Й ~ в!1с) = ! [е, (1с) — в, (1с)) (в1с ~ ! ! ~ в 1с); зто выражение обращается в нуль при в = в', т. е, Й не имеет элементов, диагональных по номеру зоны.
Таким образом, окончательно находим для матричных элементов скорости электрона (в1с ~ т! ~ в1с)= ', (в1с ~ т! ~ вЪ)=(в1с ~ Й ~ в'1с) (в~в'). (55.15) Диагональные элементы этой матрицы представляют собой средние значения скорости в соответствующих состояниях.
Эти значения, следовательно, как функции квазиимпульса даются выражением д .(к) т!, = !! д1с (55.16) полностью аналогичным обычному классическому соотношению. До сих пор мы вели изложение, отвлекаясь от наличия у электронов спина. В пренебрежении релятивистскими эффектами (спин-орбитальным взаимодействием) учет спина приводит просто к двукратному вырождению каждого уровня энергии с заданным значением квазиимпульса 1с -- по двум значениям проекции спина на какое-либо фиксированное направление в пространстве. С учетом же спин-орбитального взаимодействия ситуация различна в зависимости от того, .имеет ли или нет кристаллическая решетка центр инверсии. Спин-орбитальное взаимодействие для электрона в периодическом поле описывается оператором Й,! = ' (о!!17)т, 4тТС! (55.17) где ст матрица Паули (см. 1Ъ', З 33).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
