IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 59
Текст из файла (страница 59)
е. без сопровождающих операторов д/дЯ) виде. Такие члены уже нельзя найти из одних лишь соображений калибровочной инвариантности. Определим первый из этих членов, линейный по Н. При этом можно в силу относительной малости этой поправки при ее вычислении положить (.1 = О. Рассмотрим сначала поставленный вопрос без учета спин- орбитального взаилюдействия.
Интересующий нас линейный по Н член может возникнуть только из линейного по А члена ') Суммирование же по 1с' отсутствует, так как, согласно (55.15), импульс р = тч нс имеет матричньж элементов, недиагональных по 1с, так что все промежуточные состояния относятся к тому же квазиимпульсу 1со. суммирование производится по всем е~ ф е'). Для упрощения записи в обозначении матричных элементов здесь и ниже опускаем диагональный индекс )со ! р, = (е1се~ р ~е')се). Отметим, что при наличии близко расположенных зон (т. с, малых разностей е, — св) второй член в (59.5) может оказаться болыпим по сравнению с первым, в результате чего эффективные массы будут малы по сравнению с т. Пусть теперь на кристалл наложено однородное магнитное поле Н.
Тогда, согласно (56.7), гамильтониан, действующий на функции обобщенного квазиимпульса О, получается из (59.1) заменой с1на оператор 2 59 ТЕНЗСР ЭФФЕКТИВНЫХ МАСС ЭЛЕКТРОНА В РЕШЕТКЕ 818 в исходном точном гамильтониане электрона (56.2), т. е. путем УСРСДНСНИЯ ПО ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ ф,вс ВЫРажЕНИЯ вЂ” (рА + Ар) = — — 'Ар 2тс тс (59.8) (равенство связано с выбранной уже калибровкой с г(РКА = О). Это приводит к добавлению к гамильтониану (59.7) члена Н(~) = — МН, (59.9) где ( сП рП с) (59.10) е м, — ~~, ((й„)еи(р,).. — (й,)ки(рв)и.] 2тс (и аналогично для Мю М,); как и должно было быть, поправка к гамильтониану (59.7) выражается через матричные элементы оператора й. С помощью соотношения Р' й,,= ((е — е ) можно переписать М в виде М 'е С, ' (Р.)Р(РР)Р.->(РР): (Р*)..
2еис е. (1сс) — е,(1со) (59.11) Отметим, что М, а тем самым и вся поправка (59.9) обращается в нуль, если кристалл обладает центром инверсии. Действительно, при одновременном обращении времени и инверсии состояние электрона (без учета сто спина) не изменяется, а потому не изменится и правая сторона равенства (59.11); между тем магнитный момент при этом преобразовании должен изменить знак. Учтем теперь спин-орбитальное взаимодействие в кристалле, добавив к гамильтониану (56.1) спин-орбитальный член Йе~ из есть просто среднее значение магнитного момента электрона в состоянии е1сс. Подчеркнем, что поправку (59.9) можно добавить к гамильтониану (59.7), не опасаясь, что этот эффект уже частично учтен заменой (59.6); действительно, линсйныс по Н члены в (59.7) при Я = 0 вообще отсутствуют.
Распи|пем выражснис (59.10) по правилу матричного умножения, учтя, что в силу (59.4) р не имеет диагональных матричных элементов 314 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИ гЕСКОЙ РЕШЕТКЕ ГХ!. Р! (55.17). Это приведет к изменению линейного по с1 члена в урав- нении (59.3): оператор р в этом члене заменится на Тг = Р+ — [о~7У]. 4пгсз (59.12) Оператор Тг имеет простой физический смысл: непосредствен- но коммутируя гамильтониан (с учетом Й,!) с г, найдем, что (в отсутствие магнитного поля) г = тг)т. (59.13) Аналогично, произведя при наличии магнитного поля обычную замену р -+ р — ЕА,1с в исходном гамильтониане (в том числе в Й,!), мы найдем, что и линейный по А член имеет вид — етгА!!тпс, отличающийся от (59.8) той же заменой р на зг. К магнитному же моменту (59.11) надо прибавить еще и спиновый магнитный момент свободного электрона, так что будет С учетом спин-орбитального взаимодействия второй член в этом выражении отнюдь не равен нулю даже в кристалле с центром инверсии.
Действительно, одновременное изменение знака времени и инверсия приводят к состоянию, отличающемуся направлением спина, так что все выражение (59.14), чтобы изменить знак при этом преобразовании, должно лишь сводиться к среднему от оператора )з!ТД (1с) (ср. (56.12)). Вычислим тензор ~,ь в случае, когда спин-орбитальное взаимодействие может рассматриваться как возмущение' ).
Перепишем (55.17) в виде Й,! = х, х= (У17 Ч. 4тзс! (59.15) Рассматривая (59.9) и (59.15) как возмущение, найдем поправку к энергии во втором порядке теории возмущений, оставив при этом только перекрестные (по (59.9) и (59.15)) члены. Эта ') Выражение Й,! (55Л 7) представляет собой первый член разложения по релятивистскому отношению (е/с) ~ и потому в определенном смысле всегда мало. Эта малость, однако, не имеет отношения к применимости теории возмущений в данной конкретной зоне, Поэтому Й,! в рассматриваемой задаче не всегда может рассматриваться как малое возмущение. М*=Р(е)со~о*)е)со)+ ~~' ( ')" ( ")'' ( ")" ( ')'' (59.14) 2тс е — е 9 59 ТЕНЗОР ЭФФЕКТИВНЫХ МАСС ЭЛЕКТРОНА В РКШРТКЕ 315 поправка (все еще остающаяся оператором —. матрицей - по спи- новым переменным) имеет вид (56.12) с тснзором (сы равным 5„+1 С-' (Хс) и(б )..+(Ть)..
(Х.)и. ссй 2 е — я (59.16) Задача Найти квазиклассические уровни энергии для частицы с квадратичным законом дисперсии (59.Ц в магнитном поле произвольного направления. Решение. Приведем тензор тся к диагональному виду и будем отсчитывать энергию и импульс от точки экстремума (для определенности— минимума).
Тогда е(1с) = — ~ — + — +— 'с1 'с2 ~з (Ц 2 [,тс тз тз,/ где спг, тг, тз — главные значения тснзора т,ь (положительные величины). Обозначив через и единичный вектор в направлении поля Н, имеем (2) к, = п1с = пзйз + пзез + пзкз (пг, пз, пз — направляющие косинусы поля относительно главных осей тензора т,ь). Нам надо найти площадь о той части плоскости (2), которая лежит внутри эллипсоида (Ц; она может быть представлена в видо интеграла / е( 1 А ),(з1 взятого по объему эллипсоида (Ц ').
Заменой переменных йк, = (2ет,)'1~д, ') Пусть 1(х, у, х) = сопзз — семейство поверхностей, заполняющих некоторый объем. Расстояние сП между двумя бесконечно близкими поверхностями семейства; 1й = фДС7Д, а объем между этими поверхностями: дг' = о(1) Ж, где о'(1) — площадь поверхности с заданным значением 1. Умножив равенство Я(1) с(1 = [сУ1[ 11Р' на б-функцию б(у) и проинтегрировав по объему и по 111', получим площадь поверхности у(х, у, х) = 0 в виде о(0) = [ [РД 6(1) йзх. В нашем случае [Ру[ = 1, откуда и получается выражение (3).
где 61 = [гр). Все сказанное относилось к невырожденным (кроме как по спину) состояниям. Если же при )с = )со имеется вырождение, то для определения энергии надо составить секулярное уравнение, учитывающее возмущение (квадратные скобки в уравнении (59.3)) вплоть до членов второго порядка (т. с. по формуле (39.4) (см. Ш)). Свойства получающегося таким образом секулярного уравнения зависят от симметрии в точке )со. Мы вернемся еще к этому вопросу в 9 68. З16 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛЕ 1ЕСКОЙ РЕШЕТКЕ 1"Л.
Р! интеграл приводится к виду Я = (2е) ' б (пзгпггтз)М / 6!исз — к„) 11"д, где вектор и в ц-пространстве имеет компоненты и, = (2ет,) 1 и,/б, а ин- 112 тегрнрованне производится по объему сферы и = 1. Интегрирование легко г выполняется в цилиндрических координатах с осью вдоль и и дает 22 !г !!'*Ег '! Я(з,й)= !и! е Яг ) 2гп1( ' где г 2 г т!! = тзп, + тгпг+тпзпз, гпг = (пзггпггпз!т!!) 112 Подставив в (88.7), найдем уровни энергии (б) 8 60. Симметрия состояний электрона в решетке в магнитном поле В этом параграфе мы рассмотрим точные общие свойства трансляционной симметрии волновых функций блоховского электрона в магнитном поле, не связанные с каким-либо приближением (вроде условия слабости поля или условия квази- классичности) .
Наложение однородного магнитного поля не меняет физической трансляционной симметрии системы: она остается периодической в пространстве. Своеобразие ситуации состоит, однако, в том, что в то же время гамильтониан электрона (56.2) теряет свою симметрию. Это связано с тем, что в гамильтониан входит не постоянная напряженность Н, а векторный потенциал А(г), зависящий от координат и не обладающий периодичностью.
Неинвариантность гамильтониана приводит, естественно, к усложнению закона преобразования волновых функций при трансляциях. Выберем для векторного потенциала однородного поля калибровку 1 А = — [Нг], (60.1) и пусть ф(г) -- некоторая собственная функция гамильтониана Й(г). При трансляции г -+ г+ а (а -- какой-либо из периодов ~ 60 симмктвия состояний элкктгонл в млгнитном полк 317 А(г) -э А(г+ а) = А(г) + — [На[. Для нахождения искомого закона преобразования надо вернуть- ся к исходному гамильтониану, что достигается калибровочным преобразованием А -э А + т77', 7" = — — [На[г.
При этом волновая функция преобразуется согласно (56.4): ф — > Ч' ехр(геу/йс). Обозначив результат всех этих операций как Т ф(г), находим, таким образом, Т ф(г) = ф(г + а) ехр ( — г[Ьа[), (60.2) где Ь = [е [Н/йс, а Т„назовем оператором магнитной трансляции.
Если ф(г) — решение уравнения Шредингера Й(г)ф = кф, то и (60.2) есть решение того же уравнения, относящееся к той же энергии е (Л. РегегЪ, 1933). Из определения (60.2) легко сделать вывод, что / ТкТк~ = Тк~-а~ы(а> а )~ ы(а, а') = ехр ( — — Ь[аа'[) . (60.3) При перестановке а и а показатель степени в множителе ы(а, а ) меняет знак; поэтому операторы Тк и Т, вообще говоря, нс коммутативны: Т„Тк = Т Т ехр( — 4Ь[аа'[). (60.4) Таким образом, произведение двух операторов Т, и и Т отличается, вообще говоря, фазовым множителем от оператора Т т . По математической терминологии это означает, что операторы Тк осуществляют не обычное, а проективное представление группы трансляций; базисом этих представлений являются волновые функции стационарных состояний блоховского электрона решетки) эта функция переходит в ф(г + а), но это будет уже собственная функция гамильтониана Й(г+ а), не совпадающего с Й(г), поскольку произошла замена векторного потенциала 318 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИ гЕСКОЙ РЕШЕТКЕ зч!.
з! в магнитном поле'). Классификация уровней энергии должна производиться, следовательно, по неприводимым проективным представлениям группы трансляций, подобно тому как в отсутствие поля она производится по неприводимым обычным представлениям этой группы. Напомним в этой связи, что группа трансляций абелева (все ее элементы коммутативны), а потому все ее неприводимые обычные представления одномерны. Функция г)! базиса каждого такого представления при трансляции лишь умножается на некоторый фазовый множитель, причем для двух последовательных трансляций этот множитель должен быть равен произведению множителей для каждой трансляции в отдельности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
