IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Эти осцилляции погашают интеграл ') См. Ч,160. Тот факт, что в (63.4) член суммы Р(0) стоит с коэффициентом 1/2, неважен, так как в сумме (63.3) все равно существенны лишь члены с большими и. интервалу, чтобы в него были включены все различные (т. е. за исключением их периодических повторений) сечения всех листов изоэнергетических поверхностей.
Прежде всего выделим из 11 осциллируюшую с полем часть (обозначим ее через Й), преобразовав сумму (63.3) с помощью формулы Пуассона '): электРоны В кРисталли 1еской Решетке по дй„и потому основной вклад в него возникает от тех областей переменной й„в которых функция п(е, й,) меняется наиболее медленно (так что и осцилляции наименее медленны). Другими словами, основной вклад в интеграл дают области вблизи точек экстремумов и как функции от й, (при каждом заданном е).
Пусть йг е (е) — одна из таких точек; вблизи нее вычисляем интеграл методом перевала: в показателе экспоненты пишем П(Е, й,)-П,К(Е)+ — ", ) (й,— й„х), Пх(Е)=П(Е, йгех(Е)), /ех а в неэкспоненциальных множителях берем их значение при й, = й„х.
В результате найдем, .что каждая из экстремальных точек дает в интеграл вклад 1|2 о замена дп(е, й,) /де на |2пе Цйе допустима, поскольку в точке экстремума дп(дйг = О. Знаки + или — в показателе экспоненты относятся соответственно к случаям, когда й„, является точкой минимума или максимума функции п(е, й,) '). Преобразуем это выражение интегрированием по частям, написав ехр(2гггйп, )сЫ = слехр(2лгл!и, (е)) Ие 2хй и учитывая, что медленно меняющуюся функцию )д пл|дй,~,„ ьложно не дифференцировать. Проинтегрированный член не приводит к осцилляционной зависимости от поля; опустив его, имеем 2х!ТР~~,~ (Л + е Лг 1 ~ ог |ойг~!!г о Т / ех где суммирование производится по всем экстремальным точкам (смысл которых будет еще обсужден ниже).
Множитель ехр (2гглйп„) в числителе подынтегрального выражения быстро осциллирующая функция е. Эти осцилляции ) Перевальный интеграл вида ) е' " |лг вычисляется путем замены г = ие' |~ или г = ие '~д при а > О или а < О, после чего интегрирование по Ни распространяется от -со до со. 335 эФФвкт де ГААЭА — ВАн АльвенА погапгают интеграл по де везде, за исключением области е — ря Т, в которой быстро меняется знаменатель.
Сама же функ- ЦиЯ ие (е) в этой области менЯетсЯ плавно и потомУ может быть представлена в виде цех(Е) Пех(йе) + грех(Ра)(Е Ре)) множитель же ~д п1дИ,~„просто заменяется его значением 2 -1/2 при е = )г . После этого, перейдя от интегрирования по е к интегрированию по х = (е — 1А )(Т и заменив нижний предел — р, (Т на — со (поскольку )г(Т» 1), получим ') ехр (2х«1пех(д ) ~ гх/4) ) 1 (2 21Т 21«1г ~ дгп/дйг( ех, я При суммировании этого выражения по о = ж1 можно везде (кРоме экспоненциального множителЯ) заменить 1А на )гг поскольку по предположению (63.1) )3В « )А. В фазовом же (экспоненциальном) множителе такая замена недопустима: ввиду большой величины функции п„(е) уже относительно малое изменение ее аргумента приводит к заметному изменению фазы; здесь, однако, достаточно разложить псх(р ж )ЗВ) по степеням )1В, ограничившись линейными членами.
В результате получим х ехр (2хнпех(д) х 1х/4) 1е=-/ х 1«1г ( «зги г лег ~ П~ х ЕЬ ~[(2к21Тп' ()А)1сое~2«ГЦЗВб и' (и)1, (63.10) где Сех = С()сгех). Остается выяснить смысл входящих в это вы- ражение величин и подставить его в (63.5). )Использовано значение интеграла 1= е** гх 4г =— е'+ 1 ЗЬко Эту формулу можно получить, рассмотрев интеграл по замкнутому контуру в плоскости комплексного г, составленному из вещественной оси, прямой 1го г = 2х и двух бесконечно удаленных «боковых» отрезков (для обеспечения сходимости на последних вещественный параметр и заменяем на о -«0).
Интеграл по этому контуру определяется в полюсе г = гл, откуда находим 1 е — г™1 = — 2яге 338 ЭЛЕКТРСНЪ| В КРИСТАЛЛЕ |ЕСКСЙ РЕШЕТКЕ ГХ!. Р! где ЙР 1/а получим линейные размеры ферми-поверхности. Тогда 6« Л) И где п кр плотность числа электронов. Что же касается моз нотонно зависящей от поля части намагниченности (обозначим ее через М), то ее можно оценить, положив М уВ |3 — Р В п?3 —, 2 «ЛЕР ~ЗВ 6« И' (б3.16) где т «монотонная» часть магнитной восприимчивости, оцененная, например, по формуле для восприимчивости электронного газа в слабых полях (см. Ъ', 3 59).
Соответственно монотонная часть тсрмодинамичсского потенциала 0 Ъ'МВ Ъ'п?А?СВ/?!) . Сопоставление написанных выражений показывает, что осциллирующая часть термодинамического потенциала мала по сравнению с его монотонной магнитной частью: ??/Ъ? - РВ/д)'~' «1, и тем более по сравнению с его значсниее| йе Ъ"и?! в отсутствие поля; Й/е«е (ДВ/?А)е'~. Осциллирующая же часть намагниченности, напротив, велика по сравнению с ее монотонной частью М/М (,и/?3В)~|~ >> 1.
По поводу всей изложенной теории осцилляций намагниченности следует отметить, что она относится к электронной жидкости в идеальном кристалле, и в ней не учитывается возможное период по переменной 1/В, равный 1 4хт|З 2х~ е ) (63.14) В 6~ Яех с6Яех Отметим, что эти периоды не зависят от температуры.
Температурная жс зависимость амплитуд осцилляций определяется множителем Л/э?|Л. При Л » 1 амплитуды убывают экспоненциально, и осцилляции фактически исчезают. Г?ри Л ~ 1 множитель Л/э?|Л 1, и порядок величины амплитуд определяется остальными множителями в Й! и М|; к этому случаю и относятся все последующие оценки.
Для грубой оценки положим т' гп, ?! 6 ?«Р/т, Я йх, 339 эс Факт де ГААЭА — ВАн альвина влияние на эффект процессов рассеяния электронов проводимости на фононах и на дефектах решетки 1например, на атомах примесей). Эти процессы приводят к неопределенности в энергии электронов: схе Й~т Ьпр/1 1где т время между столкновениями; 1 — .
длина свободного пробега; пр -- скорость электронов). Размытие же резких уровней энергии приводит, в свою очередь, к сглаживанию осцилляций намагниченности. Условие допустимости пренебрежения процессами рассеяния состоит в малости неопределенности,Ье по сравнению с интервалами между уровнями, т. е. должно быть: бсов» Ься/1. 163.17) При Т вЂ” ~ О допустимы (условием 163.1)) сколь угодно малые значения В (точнее ограниченные лишь условием (63.17)). При этом намагниченность М может, в принципе, стать сравнимой с самой индукцней В 1так как М)В угас(~В) 7~), но еще раныпе становится большой Рис. 16.
(по модулю) магнитная восприимчивость ,"~ — — оМ/дН '). Действительно, снова заметив, что дифференцированию должны подвергаться только осциллирующис множители, найдем %~ - Х(рИВ)'г' 163.18) В такой ситуации осцилляции намагниченности приводят к появлению на кривой зависимости макроскопической напряженности Н =  — 4яМ(В) от индукции В ряда последовательных перегибов, как это показано схематически на рис. 16 (А.
В. Ргррагг1, 1963). Но условие термодинамической устойчивости требует, чтобы было') ( ) >О. Поэтому состояния, отвечающие таким участкам кривой, как Вс, невозможны. Возникающая ситуация вполне аналогична той, ') Во избежание излишних усложнений в следующем ниже качественном рассмотрении возникающих Эффектов мы отвлекаемся От влияния аниэотронии. ~) Ср.
У111, 8 18, где аналогичное условие выведено для злектрического случая. 846 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ !"Х!. 1! которая приводит к фазовому переходу в веществе при появлении перегиба на кривой зависимости давления от объема (ср. У, З 84, 152). Равновесной кривой зависимости Н(В) будет в действительности соответствовать прямолинейный горизонтальный отрезок ад, проведенный так, чтобы заштрихованные на рисунке две площади были равны; участки же аЬ и сд отвечают метастабильным состояниям.
Пусть металлический образец представляет собой цилиндр с осью, направленной вдоль внешнего поля Уз. Тогда напряженность Н внутри цилиндра совпадает с Уз и по мере увеличения последнего тело будет испытывать последовательные фазовые переходы со скачкообразными изменениями индукции: каждый раз при достижении такой точки, как а, индукция меняется скачком от значения В, к значению Вя'). Если жс образец представляет собой плоскую пластинку в перпендикулярном ей магнитном поле, то происходит разбиение тела на чередующиеся слои (,диамагнитные домены) с различной индукцией вполне аналогично разбиению проводника в промежуточном состоянии на нормальные и сверхпроводящие слои (ХН. Сондоп, 1966). Внешнее поле Я совпадает в этом случае со значением магнитной индукции, усредненным по всем слоям.
Так, в интервале В, < У1 < Вя пластинка разбивается на слои с индукциями Во и Вя и, по мере возрастания Я, объем вторых возрастает за счет объема первых. 6 64. Электрон-фонониое взаимодействие До сих пор мы рассматривали электроны проводимости в кристалле, отвлекаясь от их взаимодействия с колебаниями решетки, т. е. с фононами. Это взаимодействие выражает тот факт, что деформация решетки изменяет поле, в котором движется электрон; зто изменение поля называют деформационным потенциа ом. Электрон-фононное взаимодействие играет определяющую роль в кинетических явлениях в полупроводниках и металлах, но здесь нас будет интересовать только качественное влияние этого взаимодействия на энергетический спектр электронов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
