IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Наконец, при е — р» Батс область интегрирования в (65.6) не зависит от е — р, так как полюс ы = исс < 4042 вСЕгДа лежИт интегрирование по й производится по области от О до ~е — р~/и, в которой полюс ы = ий подынтегрального выражения в (65.5) лежит в интервале между О и )е — )4). Таким образом (в обычных единицах), а ' (65.7) 24„йсг 4„Ф) 347 ВЛИЯНИЕ НА ЭЛЕКТРОННЪ|й СПЕКТР В МЕ'ГАЛЛЕ в интервале между 0 и е — )А.
В этом случае ) )с~ дй (аз(и)~, и затухание — 1шбе йапэ « е — )А. (65.10) = — 1п рк е — и — ик 2и е — и+ ок Поэтому для Ве 5е имеем (обычныс единицы) Уы ~е21 е — и — Йие Зяэрнорн / е „Ь йий (65.11) ) Сохранение энергии при рождении кваэичастицей фонона малой частоты выражается равенством (де/дк) ок = ч ок = и ок; оно может выполняться лишь при о > и. В металле это ушшвие всегда выполняется, поскольку РР » и. Выражения (65.8)-(65.10) определяют специфическое затухание, связанное с испусканием фононов электронами'). Мы видим, что в непосредственной близости к ферми-поверхности при ~е —,и~ << бы2э, согласно (65.8), затухание мало (~1ш(е — )т) ~ << « ~е — д~), так что понятие о квазичастицах -- электронах проводимости имеет вполне четкий смысл.
В области же е — )А Ьыо затухание квазичастицы становится сравнимым с самой ее энергией, спектр размывается и в значительной степени теряет смысл. Однако на еще больших расстояниях над ферми-поверхностью при е — )А» Бсогэ (но, разумеется, по-прежнему е — )А « д), согласно (65.10), затухание, оставаясь тем же по абсолютной величине, снова становится малым по сравнению с энергией е — р, и квазичастицы снова приобретают определенный смысл.
Разумеется, наряду с фононным затуханием электронов проводимости всегда имеется также и затухание от электрон- электронных столкновений. Это затухание, характерное для всякой нормальной ферми-жидкости (2 1), пропорционально (е — )А) и по порядку величины (е — )т) /р, т. е, всегда мало в области применимости теории. Оценим теперь поправку к вещественной части а, т. е. к самому спектру. Вещественная часть интеграла по йи в (65.5) дается его главным значением 348 электРсны В кРнстллли |еской Решетке При е — )г» Ьш)з логарифм в подынтегральном выражении Ьиа,)(Š— р), И ВЕСЬ ИНтЕГраЛ ОцЕНИВаЕтСя КаК Ьикюэах/(а — )Г) Ьи,)о (е — р).
Замечая также, что в силу наличия множителя з р в знаменателе в (65.11) все это выражение сс 1/М, приходим к оценке Кебе (Ьшг)) ))(е — )з) « е — )з. Таким образом, в этом случае поправка в спектре относительно мала, так что спектр дается выражением е — )г — ер (р — рг) при е — )г » Ьшр )о) (65.12) с «невозмущенным» значением скорости на ферми-поверх- )О) ности ер . В области же е — )А «Ьшт) логарифм в (65.11) (е — )з)((ЬиИ), и интеграл оценивается как (е — р)к,)(Ьи) (е — 1|)((Ьиа ). Все выражение (65.11) оказывается в результате пропорциональным е — )г с коэффициентом, не зависящим от массы иона М (так как произведение ри не зависит от М).
Это значит, что спектр в этой области будет снова того же типа е — )г — ир(р — рР) при е — )г «Ьшр, (65.13) но со скоРостью еР, отличаюЩеисЯ от пр на величинУ поРЯДка )0) ее самой ' ) . Таким образом, спектр фермиевского типа для электронов в металле характеризуется двумя различными значениями скорости СР и ер — одним в непосредственной близости к ферми|о) поверхности (е — р « Ьшг)), а другим при е — )з » Ьшп . В термодинамических свойствах металла при низких температурах ( Т « Ьш)з ) фигурирует параметр пя из (65 . 1 3) . Такие же явления,как оптические свойства металла для частот ш » шг), определяются скоростью ер .
)е) 3 ад а ч а Определить затухание длинноволновых ()г «рг) фононов в металле за Счет их поглощения электронами. ) Разумеется, в этих условиях использование первого приближения теории возмущений становится, строго говоря, некорректным.
Учет следующих приближений не может изменить, однако, самого характера полученного результата: когда первая поправка становится порядка единицы, того же порядка и остальные поправки. 349 ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР ТВЕРДЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ Р с ш е н и е. Поправка к гриновской функции фононов дастся, согласно (64.8), интегралом 1ВР (К) = — — С~ ~(Р)С (Р— К) —, Р = (ре, р), К = (аб 11). рз,/ (2т)2 В С-функциях надо, однако, еще учесть поправки, связанные со взаимодействием электронов с кратковолновыми фононами.
Согласно сказанному в тексте, эти поправки приводят просто к замене С на функцию С, отличающуюся от (65.3) лишь заменой скорости е„на ек, и перенормировочгег ной постоянной Я на некоторую другую Я . При малых К для произведения СЩ1(Р)СЩ1(Р— К) можно воспользоваться формулой (17.10). Интегрирование по г(ре др сводится к устранению д-функций, после чего остается еще интегрирование по гг сов В ( — угол между р и к); Я 22 рай' ~ сов ВЫ сов В 21гэрэ / 22 — етйсозВ-Ь20 — 1 (полагаем ьг > О).
Полюс сов В = 2221вег находится внутри области интегри- рования (поскольку ег > и), и мнимая часть интеграла '2 2 2 1ш 311 2вргезй ' Закон дисперсии фононов определяется как корень уравнения Р~щ '+ +етэ = О, откуда находим (в обычных единицах) г "зрз. ьг = ик(1 — ггт), о = 4кйзрне~ (поправкой к вещественной части ш не интересуемся).
Произведение ри сс ъ'М; поэтому в грубой оценке о 1гт/М, т. е. затухание всегда мало. 8 66. Электронный спектр твердых диэлектриков Характерная особенность электронного энергетического спектра диэлектрического немагнитного кристалла состоит в том, что уже первый возбужденный уровень находится на конечном расстоянии от основного уровня; другими словами, между основным уровнем и спектром возбужденных уровней имеется энергетическая щель (у обычных диэлектриков порядка нескольких электрон вольт). Элементарное возбуждение в диэлектрическом кристалле может быть наглядно описано как возбужденное состояние атома, которое, однако, нельзя приписывать какому-либо определенному атому; трансляционная симметрия решетки, как всегда, 350 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИ !ЕСКОЙ РЕШЕТКЕ гх!.
! 1 приводит к «коллективизированию> возбуждения, распространяющегося в кристалле, как бы перескакивая от одного атома к другому. Как и в других случаях, эти возбуждения можно рассматривать как квазичастицы (называемые в этом случае экситонами) с определенными энергиями и квазиимпульсами. Как и всякие квазичастицы, которые могут появляться поодиночке, зкситоны обладают целочисленным моментом и подчиняются статистике Бозе '). При заданном квазиимпульсе 1с энергия экситона может пробегать дискретный ряд различных значений е,()с).
Когда квази- импульс пробегает значения в одной ячейке обратной решетки, каждая из функций св(к) пробегает некоторую зону значений энергии экситона; различные зоны могут частично перекрывать друг друга. Минимальные значения каждой из функций е,(к) отличны от нуля. Наряду с экситонами в диэлектрике могут существовать электронные возбуждения также и другого рода. Их можно рассматривать как возникающие в результате ионизации отдельных атомов. Каждая такая ионизация приводит к появлению в диэлектрике двух независимо распространяющихся квазичастиц электрона проводимости и «дырки». Последняя представляет собой недостаток одного электрона в атоме и потому ведет себя как положительно заряженная частица. И здесь, говоря о движении электрона и дырки, мы в действительности имеем в виду некоторые коллективные возбужденные состояния электронов диэлектрика, сопровождающиеся (в противоположность экситонным состояниям) переносом отрицательного или положительного элементарного заряда.
Электроны и дырки обладают полуцелым спином и подчиняются статистике Ферми. Подчеркнем, однако, что электроннодырочный спектр диэлектрика отнюдь не имеет характера электронного спектра фермиевского типа в металлах. Для последнего характерно существование граничной ферми-поверхности в к-пространстве, в окрестности которой и лежат квазиимпульсы электронов.
В данном же случае никакой подобной поверхности вообще нет, и одновременно появляющиеся электрон и дырка могут иметь произвольные квазиимпульсы. Более глубоко различие межлу обоими типами спектров можно понять, рассматривая затухание элементарных возбуждений. В ферми-жидкости любая квазичастица, находящаяся вне ферми-поверхности, может рождать пары новых возбуждений (частицу и дырку) и потому обладает конечным временем жизни, быстро убывающим при удалении от ферми-поверхности ) Понятие об вкситонах было впервые введено Я.
И. Френкелем (1931). 351 ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР ТВЕРДЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ (электрон в металле может, кроме того, испускать фононы см. 8 65). Затухание же одиночного электрона (или дырки) в диэлектрике в идеальной решетке (при Т = 0) строго равно нулю в конечном интервале энергий над ее минимальным значением'). Действительно, образование электронно-дырочной пары во всяком случае требует (в виду наличия энерготической щели Ь -- см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
