IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 69
Текст из файла (страница 69)
напряжениями и деформациями кристалла, возникающими при изменении намагниченяости. В этом случае можно не делать различия между бФ и бГ. Подставляя это выражение в (69.3) и сравнивая его с (69.2), на- ходим плотность момента сил: Збб гл. еп млгнвтизм Подставляя в (69.1), приходим окончательно к уравнению Ландау — Лифшица для магнитного момента: дм = а! '~ [Н„ФМ) (69.4) дг 2гнс Покажем, что изменение магнитного момента, описываемое этим уравнением, не сопровождается диссипацией энергии.
Эта диссипация равна: Я = Т— дг дс дс ' где Я .. энтропия тела, а В;„- минимальная работа, необхо- димая для приведения тела в данное нсравновеснос состояние. С помощью (69.4) имеем, таким образом, д = / Н,, дй4 Л~ = 8~' /Н.,(Н,,] Л = О, д1 2гнс,/ чем и доказывается сделанное утверждение. Заметим, что отсут- ствие диссипации обеспечивается тем, что правая часть уравне- ния (69.4) перпендикулярна к Н,ф. (Мы вернемся к обсуждению вопроса о диссипации в конце следующего параграфа.) Согласно определению (69.2), явный вид эффективного поля находится варьированием полной свободной энергии тела. По- следняя дается интегралом г=ДЬ(н)-,-с .,-мн-е 1е (ее.е) 8н 1 (см. Ъ'1П, 8 39).
Здесь 2о(М) плотность свободной энергии од- нородно намагниченного тела при Н = О, учитывающая лишь обменные взаимодействия и потому не зависящая от направ- лениЯ М; бгн д плотность дополнительной обменной энеР- гни, связанной с медленным изменением направления вектора М вдоль неоднородного намагниченного тела. Первые члены разложения этой энергии по степеням произ- водных от момента М по координатам имеют вид дМ дМ бнеод — СЕ2Ь (69.6) 2 дсч дне' причем эта квадратичная (по производным) форма существенно положительна. Выражение (69.6) составлено так, чтобы (в соот- ветствии со свойствами обменного взаимодействия) не зависеть от абсолютного направления вектора М.
В одноосных кристал- лах симметричный тензор второго ранга се;ь имеет компоненты се = ауэ = аы а„= се2 (ось з ось симметРии кРисталла); в кубических кристаллах сел, = сгбм,. 367 УРАВНЕНИЕ ДВИ>КЕНИИ МАГНИТНОГО МОМЕНТА Порядок величины коэффициентов ГГГЬ можно оценить, заметив, что энергия неоднородности, отнесенная к объему одной элементарной ячейки кристаллической решетки, должна была бы достигать характерных атомных значений энергии обменного взаимодействия, если бы направление момента существенно менялось на расстояниях порядка постоянной решетки а. Характерная обменная энергия совпадает, по порядку величины, с температурой Кюри Т, (точка исчезновения ферромагнетизМа).
ИЗ УСЛОВИЯ Тс)аэ СГМЗ/а~ НаХОДИМ ГГ Т(аМ . (69.7) Варьируя интеграл (69.5) (при заданных значениях Н в каждой точке тела) и произведя во втором члене интегрирование по частям, получим бг = ~(Я(М) — — се;ь ™ — Н) бМГВ'; Согласно определению (69.2), выражение в фигурных скобках есть — Н,ф. Первый член в нем направлен вдоль М, но при подстановке в уравнение движения (69.4) такой член все равно выпадает, и потому его можно вообще опустить '). Таким образом, находим дм Нзф = ГГ!А + Н. (69.8) дх!дхь Для получения полной системы уравнений к (69.4) и (69.8) надо добавить еще уравнение Максвелла, связывающее поле Н с распределением намагниченности М.
Спиновые волны, которые будут рассмотрены в следующем параграфе, являются низкочастотными в том смысле, что ш (( сй. В этих условиях поле квазистационарно; в уравнениях Максвелла можно пренебречь производными по времени, и они сводятся к виду го1Н = О, !ТГРВ = йу(Н+4ЕМ) = О.
(69.9) В связи с этим может возникнуть вопрос о правомерности варьирования интеграла (69.5) по М при постоянном Н несмотря на то, что они связаны вторым уравнением (69.9). Дело, однако, в том, что если положить Н = — !7!д (в виду первого уравнения) и вычислить вариацию интеграла по !р, то она обратится в силу второго уравнения в нуль, так что варьирование Н нс дает вклада в бУ'. ') После етого, однако, Н ф уже не обязательно будет обращаться в нуль в равновесии. 368 гл.
нп магнетизм Если тело не находится во внешнем магнитном поле, то поле внутри него целиком связано с распределением намагниченности и представляет собой, вообще говоря, величину того же порядка, что и М. В этом смысле член Н в эффективном поле (69.8) представляет собой релятивистский эффект (напомним, что атомные магнитные моменты, а с ними и спонтанная намагниченность М, определяются магнетоном Бора р = ~ е ~й/(2тс), -- величиной, содержащей с в знаменателе).
Поэтому в рассматриваемом пока чисто обменном приближении второй член в (69.8) следует опустить, так что уравнение движения М ~ 1ь ~ д~ 2тс ~ дх,дна (69.10) Обратим внимание на нелинейность этого уравнения. Уравнение (69.10) можно переписать в виде уравнения непрерывности для магнитного момента: М* ~пн 0 д~ д*1 (69.11) где тснзор потока момента имеет вид Пи = '~' ~,„М'м К 2 ~'ан— 2 (69.12) Если Л > О, то равновесная намагниченность направлена вдоль оси симметрии - ось х (ферромагнетик типа «легкая осьн); если же Л ( О, то направление спонтанной намагниченности лежит в плоскости ху (ферромагнетик типа «легкая плоскостьа). Этого следовало ожидать заранее, поскольку в обменном приближении полный магнитный момент тела сохраняется. Учтем теперь, что наряду с обменными в ферромагнетике существуют также и значительно более слабые релятивистские взаимодействия электронных моментов: спин-спиновые и спин- орбитальные.
В макроскопической теории они описываются энергией магнитной анизотропии,плотность которой о' „ зависит от направления вектора намагниченности по отношению к кристаллической реп|етке; этими взаимодействиями устанавливается равновесное направление спонтанной намагниченности ферромагнетика.
К релятивистским относится, как уже было указано, также и взаимодействие М с магнитным полем Н. В одноосном кристалле энергия анизотропии имеет вид 67О 369 МАГНОНЫ В ФВРРОМАГНЕТИКЕ. СПЕКТР В кубическом кристалле энергия анизотропии может быть пред- ставлена в виде К (~ ~гй1г + Мг~~г + Мгмг) 469 1З) где оси х, у, е направлены вдоль трех осей симметрии четвертого порядка (ребра кубических ячеек). Если К' > О, то равновесный вектор М направлен вдоль одного из ребер кубических ячеек, а если К ( О, то вдоль одной из пространственных диагоналей ячеек '). Для определенности, будем рассматривать одноосный ферромагнетик. Добавив к подынтегральному выражению в (69.5) член У „(69.12), получим после варьирования дополнительный член — КМ,зАСМ, где г4 единичный вектор в направлении оси симметрии кристалла.
Таким образом, для эффективного поля находим д'М Н ф = сх4Р + КМ,Р + Н. (69.14) * й .а*, Легко видеть, что этим изменением эффективного поля исчерпываются изменения, которые учет релятивистских эффектов вносит в уравнение движения (69.9). Действительно, в отсутствие диссипации правая часть уравнения движения попрсжному должна быть перпендикулярна Н,ф, т. е. должна иметь вид ~М'Н,ф), где М' может отличаться от М лишь за счет релятивистских поправок, всегда малых по сравнению с болыпой величиной М и потому несущественных. Релятивистские же члены в Нзф добавляются к величине, малой в силу медленности изменения М вдоль тела; эти члены могут стать существенными при достаточно болыпих длинах волн. 9 70. Магноны в ферромагнетике. Спектр Применим полученные в предыдущем параграфе уравнения к распространению волн, в которых плотность магнитного момента совершает малые колебания, прецессируя относительно своего равновесного значения Мо.
Мы будем рассматривать однодоменный образец, во всем объеме которого Мо постоянно, и ограничимся случаем волн с длиной, много меньшей размеров образца. Тогда среду можно рассматривать как неограниченную. ") Безразмерные величины К, К' для различных ферромагнетиков имеют значения, лежащие в широком интервале от десятых долей единицы до десятков. Порядок же величины ОтнОшения релятивиСтских вэаимодействий к обменному характеризуется величиной азПав(Т, и составляет обычно ГΠ— 4 Ш вЂ” 4 370 млгнвтизм гл. чп Рассмотрим сначала вопрос с учетом только обменных взаимодействий, т.
е. на основе уравнения (69.11). Положим М = = Ме+ пт, где гп — малая величина, и линеаризуем уравнение, отбросив члены второго порядка по пт; поскольку абсолютная величина М = Ме, то в этом приближении гп ) М0. Получим гп = — асй Ме (70.1) (здесь и ниже полагаем д = 2). Для пт, засисящего от координат и времени как ехр [г()сг — ы1)), находим или = — ай (птМ0), )е! 2 (70.2) ГДЕ а = а(П) = а1ЬППь, П ЕДИНИЧНЫЙ ВЕКТОР В НаПРаВЛЕ- нии волнового вектора 1с.
Раскрыв зто уравнение в компонентах, имеем иот, = — аМа ту, )е! 2 тс поту — — — — аМЙ тп (е( 2 гпс (ось г .. в направлении Мо). Отсюда находим закон дисперсии сливовых волн') м = а(п)й . (70.3) тс Мы видим, в соответствии со сказанным в начале предьсдущсго параграфа, что в обменном приближении частота стремится к нулю при )с -+ О.
Вектор тп в спиновой волне вращается в плоскости ту с постоянной угловой скоростью ю, оставаясь постоянным по абсолютной величине. В квантовой картине формула (70.3) определяет энергетический спектр магнонов е = йсо'): е()с) = 2)3М а(п)к2. (70.4) ) Квадратичный закон дисперсии спиновых волн был впервые найден с помощью микроскопической теории Ф. Блоком (г. В1осй, 1930). Выражение этого спектра через макросконические параметры дано Л.Д. Ландау и Ь', И. Лифшицем (1945).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
