IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Воспользовавшись оценкой (69.7) для сг и оценив намагниченность как М )3/аз (на одну элементарную ячейку приходится магнитный момент порядка нескольких )3), находим отсюда аа « 1, т. с. условие применимости результатов 2 70. «Магнонные» части термодинамических величин ферромагнетика вычисляются как термодинамические величины идеального бозе-газа с равным нулю химическим потенциалом. Так, для магнонной части термодинамичсского потенциала Й имеем Й = Т 1п(1 — е '~~)— (71.2) (2я)з (см. Ч, (54.4)).
Отсюда для магнонного вклада во внутреннюю энергию ') д П ТдПмаг ~ е ~'д'1 (71 3) дТ,/ сыт 1 (2я)з ' Магнонный же вклад в спонтанную намагниченность даст ее изменение с температурой. Он вычисляется как производная М.аг = М(7) — М(6) = — """- 0 — го по внешнему магнитному полю (ср. ЧН1, (31.4)). Дифференцируя выражение (71.2), получим (71.4) дгз б 0 еыт 1 (2я)з' Производная — (де/дЯ) представляет собой собственный магнитный момент магнона. Вычислим интегралы (71.3), (71.4) при температурах Т» 2«г)3М'); тогда для спектра магнонов можно пользоваться ) При химическом потенциале и = 0 (а потому н Ф = Жр = О) имеем Е = = Ф+ТБ-РЪ' = ТБ-~-П; энтропия же Я = — дП7дТ.
Выражение (71.3) можно было бы, конечно, написать и непосредственно, без обращения к формуле (71.2). ) Для типичного значения М = 2 10 Гс это условие дает Т» 11г. г з71 магноны В ФеРРомАГнетике. теРмодинАмические величины 377 предельным выражением (71.1). В виду быстрой сходимости интегралов интегрирование можно распространить по всему 14-пространству (вместо одной ячейки обратной решетки).
Полагая величину а постоянной (для кубических кристаллов) и заменив с1 Й вЂ” Р 4тгй г4Й, после очевидной подстановки получим 1 тз~з /' з~з и тз~зт(5!2)Г(572) Емаг — / 4ггзАзгз / е* — 1 4а.з 4згз о где для краткости обозначено А = 2ВМа (так что е = Айг) '). Для теплоемкости См,„= 6Е „(6Т находим отсюда С 1г зг(5/2)~(5~2 Т872 = 0,113 ~т ~згг ь, (71.5) 8 зАз!з 'А/ от"' 7 *и' * маг 2 .з 1згз / е* 1 а (71.6) откуда М(Т)=М(0)-" (7',""гг)=М(0)-0,117В(Т7А))гг (71.7) 2згзАзгз (магнонный вклад исчерпывает, конечно, все изменение намагниченности, поскольку фононы не несут с собой магнитного момента).
Таким образом, изменение спонтанной намагниченности в области температур 2згрМ « Т « Т, следует закону Тзгг (Е. В1осй, 1930). Наличие щели (70.10) в спектре магнонов приводит к экспоненциальной зависимости См„и Мм„от Т в области еще более низких температур. При Т «ВКМ С, Мм, гх ехР ( — 2(3КМ7'Т). (71.8) ') О вычислении интегралов такого типа см. 4г, З 58. Напомним, что это выражение дает лишь магнонную часть теплоемкости; наряду с ней теплоемкость кристалла содержит еще и обычную фононную часть.
Обращаясь к интегралу (71.4), подставляем, согласно (70.11), значение — 2;9 для магнитного момента магнона. В результате при Т» 2тгВМ получим 378 гл. »и млгввтиэм Величина, стоящая в числителе экспоненты, — наименьшее значение энергетической щели, достигаемое при д = 0 и д = к (см. также задачу 1). Если спонтанная намагниченность ферромагнетика в основном состоянии равна наибольшему возможному (как говорят, номинальному) значению, отвечающему параллельности всех атомных моментов в теле, то это значение уже не изменится при наложении (в том же направлении) внешнего магнитного поля, т. е. восприимчивость г в этом направлении равна нулю. Учет релятивистских взаимодействий уменыпает спонтанную намагниченность (при Т = О) по сравнению с ее «обменным» значением и приводит к появлению отличной от нуля восприимчивости ( Т.
НоЫе»п, Н. Рг»т~йоД, 1940). Хотя этот эффект и очень мал, его вычисление представляет принципиальный интерес. При вычислении вьппс магнитной части термодинамических величин мы опустили нулевую энергию «магнитных осцилляторов», не дающую вклада в температурную зависимость этих величин. Нулевая энергия отвечает числам заполнения магнонных состояний, равным 1/2: ЕЯма» = /'-'.(й) '"," Соответственно для «нулевой» намагниченности имеем (71.9) Этот интеграл расходится при больших й, т. е.
он определяется главным образом коротковолновыми магнонами (йа 1), которые вообще нельзя рассматривать макроскопически. Однако изменение намагниченности под влиянием релятивистских эффектов определяется, как мы увидим, длинноволновой областью спектра магнонов и может быть вычислено с помощью полученных в з 70 формул. Для простоты будем рассматривать кубический кристалл и пренебрежем малой в этом случае константой анизотропии, т, е. будем писать спектр магнонов (70.10) в виде е(1«) = 2~3((6|~+Я)(66и+Я+4хМэ1п В))~7~, (71,10) где 6 = оМ; релятивистским эффектам отвечает в этом выражении член 4кМ э1п~ О, возникающий от учета магнитостатической энергии.
Искомое изменение бМ намагниченности под влиянием релятивистских эффектов получается вычитанием из (71.9) ~ 71 магноны В ФНРРОМАГнетике. теРмсдинАмические величины 379 такого же интеграла с е б()с) = 2)3бах + 2Щ вместо е()с): бМ = — — / — [е(14) — еоб(1с)) — 3. (71.11) дбМ 4лэфМ ~ ~ 3!Н40 2яй2 ай 31п041д ДМ (2я)3 / ~ (А)42 ь б)122 1332 + е + 4яМ 31п2 о)3/2 о а Ввиду сходимости интегрирование по 43)с можно распространить до оо. При зз = 0 интеграл легко вычисляется; интегрируя затем по М, получим 3/я)3 ЫХ =— (71.12) $,1332 ' Эта величина очень мала: БМ/М 10 о. Если же внешнее поле велико (Я» 43гМ), можно пренебречь членом 4НМ эш2 д в знаменателе подынтегрального выражения.
После этого вычисление приводит к результату 2 РМ1" 15 оэ/2Я1/2 (71.13) При зз — 3 оо бМ стремится, как и следовало, к нулю. В заключение отметим, что если бы мы попытались тем жс способом, который был применен в этом параграфе к трехмерному случаю, рассмотреть температурную зависимость намагниченности двумерного ферромагнетика, то (в чисто обменном приближении) мы получили бы вместо (71.6) логарифмически расходящийся интеграл.
Это означает, что спонтанное намагничение в двумерной системе с обменным взаимодействием в действительности отсутствует при всех Т ф О. Эта ситуация аналогична той, которая была отмечена в 2 27 для двумерной бозе-жидкости (и в Ъ', 3 137 для двумерного кристалла). Независимость энергии системы от направления магнитного момента приводит к тому, что в ее выражение входят только производные ') Во избежание недоразумений отметим, что поправку к энергии основного состояния этим способом определить нельзя: без дифференцирования по 33 интеграл от 3 — е б расходится при использовании длинноволновых выражений для спектра магнонов.
Этот интеграл уже сходится при больших )с '). Для вычисления удобно сначала продифференцировать его по М при постоянном 13 ( для этого и введено обозначение 13 в (71.10)). После простых преобразование получим 380 гл. оп млгнвтизм вектора М; в свою очередь, зто приводит, в конечном итоге, к расходимости флуктуаций (в двумерном случае), разрушающих намагничение. Учет релятивистских взаимодействий, зависящих от направления М, стабилизирует флуктуации и делает возможным существование двумерного ферромагнетика. Задачи 1.
Вычислить магнонные части термодинамических величин при температурах Т «е(0). Решение. Существенны магноны с малыми квазиимпульсами 1с, распространяющиеся в направлении, где щель минимальна, т, е, вблизи В = 0 и В = я; оба зги значения дают одинаковый вклад. Например, при малых В имеем, с требуемой точностью, е(1с) = 2)гКМ 4- Ак~ + 4хВМВ~, где А = АМ о для кубических кристаллов или А = 2ДМ ог для одноосных кристаллов типа »легкая ось». Распределение магнонов при рассматриваемых температурах можно считать больцмановским (т. е. можно пренебречь единицей в знаменателях подынтегральных выражений) и заменить везде в предзкспоненциальных множителях е(1с) на е(0). Интегрирование по к и по В распространяется до оо,и в результате находим ехр ~— 32дзггАзгг 1 Т /' ' $ КМ' При вычислении теплоемкости следует дифференцировать только экспонен- циальный мнОжитЕль Смог = 2~3КМТ Емаг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
