IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Те же рассуждения, которые привели нас в 355 к функциям Блоха для электрона в периодическом поле, показывают, что для правильного учета трансляционной симметрии эта линейная комбинация должна иметь вид 386 магнетизм гл. чп Эта формула дает точный закон дисперсии магнонов в системе, описываемой гамильтонианом (72.1). В предельном случае малых 1с она переходит, естественно, в квадратичный закон: е(1с) = — ~й11сь ~~~ 7чтч1хчь + 2Щ (72.14) 2 ч~о Точка Кюри рассматриваемой системы лежит при температуре Т, 7, так что при температурах Т» .7 система уже заведомо парамагнитна. При таких температурах можно, в первом приближении, вовсе принебречь взаимодействием между атомами.
В этом приближении магнитная восприимчивость системы будет совпадать с восприимчивостью идеального газа атомов со спином Я и даваться формулой Х 419~3(Я-Ь 1) (72.15) Г зт (см. У, 252); восприимчивость отнесена к единице объема. Это выражение является первым членом разложения функции улТ) по степеням 1)Т. Следующие члены разложения уже зависят от взаимодействия атомов; определим первый из них. Восприимчивость (в нулевом поле) определяется как производная т = дМ/ду1 при з1 — э О, а намагниченность М вычисляется как производная от свободной энергии; Ъ'М = — дЕ,1дУ1. Для решения поставленной задачи надо вычислить г' с точностью до членов 1(Т . Исходим из формулы Е = — Т 1пЯ, где Я статистическая сумма Т ( в. Я'„Я„') и и суммирование производится по всем уровням энергии системы ').
Полное число уровней в спектре рассматриваемой системы конечно и равно числу всех возможных комбинаций ориентаций атомных спинов относительно решетки. Каждый спин имеет 23+1 различных ориентаций; поэтому указанное число есть (23+ 1)~. Обозначая чертой над буквой простое арифметическое усреднение, перепишем Я в виде Я=(2Я+1)'[1 — 'Е+ ' Е ' Ь~~ ') Последующее вычисление свободной энергии соответствует вычнсленням в У, 1 73, продлевая нх до следующего члена разложения. 387 спиновый ГАмильтониан Среднее значение Е"' = ЯрЙ'"7'(2Я + 1)~.
По известному свойству следа оператора он может вычисляться по любой полной системе волновых функций; пусть это будут функции, отвечающие всем возможным наборам ориентаций атомных спинов. Тогда усреднение сводится к независимому усреднению каждого из спинов по его направлениям; при этом Е = О. Логарифмируя теперь г и снова разлагая по степеням 1(Т, с той же точностью получим Г = — МТ1п (2Я -)- 1) — — Е2 + ЕЗ. 2Т 6Тз (72.16) Средние значения (Е .Е *) = Ф .Е,) = О, М.) = ЕФ+ 1)Л Таким образом, 2 32 2 оо(Е ) 2 2 2 Е2(Е )2 ~~- и отсюда окончательно восприимчивость 4)1~5(Я+ 1)1У ЗТЪ Я(Я+ 1) ЗТ (72.17) Обратим внимание на то,что знак поправочного члена в квад- ратных скобках зависит от знака обменного интеграла.
Задачи 1. Найти магнитную часть теплоемкости системы, вписывающейся гамильтонианом (72.1), при температурах Т» з. Решение. Первый член разложения теплоемкостн по степеням 1)Т возникает от члена -гз72Т в свободной энергии (72.16). Усредняя тем же способом квадрат гамильтониана (72.1), получим Ф чГе 13* В этом выражении нас интересуют члены, содержащие Я; 2, только эти члены дадут вклад в восприимчивость.
Опустив все остальные члены и заметив, что при усреднении нечетные степени компонент спина обращаются в нуль, получим и п~гп 388 гл. Тп магнетизм (так как Я;Я„. = Я(Я -> 1) ды/3). Для теплоемкости находим в результате в соответствии с У, (73.4). 2. Пренебрегая взаимодействием между спинами, вычислить намагниченность парамагнетика при произвольном соотношении между,ЗУ1 и Т. Решение. Статистическая сумма (для одного спина в поле) / 2ВЯ 1 вЬ [2В71 [В+ 1/2)/Т] Т / эЬ 1ВУэ/Т) Вычисляя свободную энергию и дифференцируя ее по о, находим намагни- ченность 1У а 2ВЛ ( / 1 ) 2,Зй (В + 1/2) 1 Вб '[ (Л.
Вп11оигп, 1927). При Вуэ « Т это выражение переходит в (72.13), В обрат- ном пределе, при Д~ >> Т, намагниченность стремится к своему номиналь- ному значению по закону 2ВЛВ'1 ~ й,бй~~ 3 73. Взаимодействие магнонов Хпп = [4~[2 о 1)] оп — оп-Хо ж „= (25) ~У У„Хо, пт 71 и; (73.1) Существенный методический интерес представляет вопрос о вкладе в магнитную часть тсрмодинамических величин ферромагнетика, происходящем от взаимодействия магнонов; напомним, что вычисления в 371 были основаны на представлении об идеальном газе невзаимодействующих магнонов.
Рассмотрим этот вопрос для системы, описываемой обменным спиновым гамильтонианом (72.1). Имея в виду нахождение вклада только наиболее низкого порядка по малому отношению Т/Тю мы можем ограничиться лишь парным взаимодействием магнонов. Это значит, что надо рассмотреть двухмагнонные состояния системы, в которых проекция полного спина равна ХЯ вЂ” 2. Такой проекции отвечают волновые функции 389 Взлимодвйствик магиоиов поскольку операторы спина различных атомов коммутативны, то Хп»п=Хппт ').
ФУнкции (73.1) ноРмиРованы Условием Х,'п„Хп,п=1, в чем легко убедиться, раскрывая произведение таким же образом, как это было сделано для проверки нормировки в (72.9). Тем же способом можно убедиться н во взаимной ортогональности различных фУнкций Хн,п. Функции (73.1) не являются сами по себе собственными функциями гамильтониана.
Волновые же функции двухмагнонных стационарных состояний системы должны представлять собой определенные линейные комбинации функций Х „, которые запишем в виде 1 — "чтппХп»п + ~~' 'тппХпп п (73.2) (посколькУ Х п и Хп — одно и то же, то надо полагать и Фгпп =— Фпп»). Совокупность коэффициентов гр»пп составляет волновую функцию в представлении, в котором независимыми переменными являются номера атомов в решетке. Множитель 1/~/2 в первой сумме в (73.2) введен для того, чтобы квадрат модуля ~ Х ~~ был равен сумме Е~«р, ~~, в которой каждая из различных ф~„встречалась бы лишь один раз. Тем же способом, которым было найдено уравнение (72.11) для волновых функций одномагнонных стационарных состояний, найдем, что функции (73.2) должны удовлетворять аналогичному уравнению ~Х 2~' аге (Й~ Йп» вЂ” Йп — ) ХО+ »пап ') Если спин Я = 1/2, то двукратное применение одного и того же оператора Я к функции основного состояния Ха обращает ее в нуль.
В этом случае, следовательно, все «диагональные» функции Х„= О. +~2' 2 Я 2о — 1 П'(.Б' оп оп )ХО, (73.3) п где теперь Е = Š— ЕО энергия двух взаимодействующих друг с другом магнонов (а скобки (...) означают коммутатор). Раскроем коммутаторы в правой стороне уравнения (73.3). Для этого замечаем, что (В, Й Й„) =(Й, Й ф„+Й (Й, Й„), и используем выражения (72.12) для коммутаторов (Й, Уп ). После этого с учетом правил коммутации (72.4) переставляем 390 млгнетизм гл. чп операторы о', в крайнее правое положение, где они, воздействуя на функцию )(О, умножают ес на Я. В результате получим (77 ~ -Б -'7)(О = З ~,' [.7ш1Ф вЂ” — ~1-) Б -+ 1 +оп!Фи — ~! — )ош — ) ХО+ошп2~' 7п!оп — о! — ХО 7шпош — оп — ХО+ ! + 4Фб~ш-~п-)(О; (73.4) для упрощения записи формулы ограничения, налагаемые на индексы суммирования, не выписываются — — суммирования производятся по всем значениям 1, но при этом подразумевается, что все «диагональные» .7п = О.
Дальнейшая процедура сводится к подстановке (73А) в уравнение (73.3) и приравниванию коэффициентов, стоящих при одинаковых функциях )(, „в обоих сторонах равенства. Вычисления элементарны, хотя и довольно громоздки. Они приводят в результате к следующей системе уравнений для величин !р, „: (3 гс Е)Фшп = О~2' (71шФ!п + 71пФ!ш) + 7шпФшп ! — Ас Ушп(фшш+ аппп) + 26шп,~,7!ш«)!1ш, (73.5) 1 где и введено обозначение,7 длЯ сУммы 2 ,',7п1, не зависЯщей, очевид- 1 но, от индекса и ').
Перейдем в этом уравнении от координатного представления (независимые переменные — координаты атомов г„, гп,) к импульсному, т. е. положим !К(г «т„)/2 ~~, ть(К 1с) Пь(г — г„) (73 б) Вектор К играет роль суммарного квазиимпульса двух магнонов, а 1с - квазиимпульса их относительного движения; суммирование производится по Х дискретным значениям 1с, допускаемым для решетки объема ХО (Л число атомов в решетке, ) Эти уравнения справедливы и в случае спина о=1/2, когда все ф„„ произвольны. Обратим внимание на то, что при о=!/2 все «днагональные» величины 1О вообще выпадают вз уравнений с гп ф и. Уравнения же с гп = и в этом случае надо просто считать отсутствующими. 391 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МАГНОНОВ В -.
объем ее элементаРной Ячейки). Вместе с 7(77ВВ наДО пРеДставить в виде ряда Фурье также и обменные интегралы; 7 ~~, ' 9)9(г — г ) 7(1С) 7(1С) ~ ~7 — 9)9(г9 — г ) (73 7) Х (поскольку,УВ9В =,7ВИ9, то 7(1с) = 7( — 1с)). Опустив простые промежуточные выкладки, приведем сразу окончательный результат преобразования уравнения (73.5)( '(е( — + 1с) + е( — — 1с) — б~ 7) (К7 1с)+ + ~У(К, 1с, 1с') 47(К7 1с') = О, (73.8) где ЖУ(К, 9, 9) = А '(9 ( —;9) .99 ( — — 9) 9-9 ( —;9) 9- ....7 ( — -9)) -) (Л(9-9) -,-7(9-,-9)). (799) К+1 1 К 1 1, К+1с 2 ' 2 2 В этом смысле У (К, 1с, 1с') целесообразно записать в виде 97( 77 (1с 1, 1с 2; 1с1, 1сз) = АЯ (,7(1с1) + 7(1с2) + 7 (1с 1) + 7(1с 2)) — -' (,7(1, — й',) +.7(1, — й',)]. (73.10) 2 В общем случае уравнение (73.8), (73.9) очень сложно. Мы ограничимся вычислением поправки к термодинамическим величинам в предположении Я» 1.
Простота этого случая связана 1с2 = — — 1с 2 а е(1с) энергия одного магнона, определяемая формулой (72.13); суммирование по 1с' заменено интегрированием по одной ячейке обратной решетки. Таким образом, точная (в рамках гамильтониана (72.1)) задача о двухмагнонных состояниях системы сводится к решению уравнения, вполне аналогичного уравнению Шредингера для системы двух частиц в импульсном представлении (ср. П1, (130А)). При этом функции е(1с) играют роль кинетических энергий частиц, а ядро интегрального уравнения Г)' (К, 1с, 1с') роль матричного элемента энергии бг их взаимодействия для перехода (рассеяния) из состояний с импульсами км 1сз в состояния с импульсами 1с1м 1сз Где 392 млгнвтизм гл.
хп с тем, что энергия магнонов е(1«) пропорциональна 5, а их взаимодействие УУ не зависит от Я (при Я» 1 коэффициент в (73.9) А« — 1/4). Поэтому УУ можно рассматривать как малое возмущение. Тогда поправка й„(от взаимодействия магнонов) к термодинамическому потенциалу й будет даваться просто средним значением УУ. Взяв «диагональный матричный элемент» УУ (1«1, 1«2; 1с1, 1«2) = — 1,У(1«1)+,У(1«2) — У(1«1 — 1с2) —,У(0)], (73.11) Ъ'~ 0~1«п1~1«2 йвв = /п(1«1)п11«2)УУ (1«1, 1«2; 1«1; 1«2), (73.12) 12к)« где п(1«) = 1ехр(е(1«)/Т) — Ц " функция распределения Бозе. При низких температурах интеграл определяется областью малых значений 1«1, 1«2, соответственно чему следует разложить все е(1с) и,У(1«) по степеням 1«.
Тогда е(1«) дается квадратичным выражением (72.14). Поскольку У11«) -- четная функция 1«, то кввдратичны также и первые члены ее разложения: .У(1«) = У(0) + а;ьй;Йы Тогда УУ (1«1, 1«2, '1«1, 1«2) = пйскпк2ь Но при подстановке этого выражения, нечетного по 1«1 и 1«2, в (73.12) интеграл обращается в нуль в результате усреднения по направлениям 1«1 и 1«2. Поэтому в разложении У(1«) надо учесть члены четвертого порядка, в результате чего в интеграле (73.12) функция УУ(1«1, 1«2, .111, 1«2) оказывается формой четвертой степени, причем отличный от нуля вклад в интеграл дают члены этой формы, квадратичные по 1«1 и по 1«2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
