IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 77
Текст из файла (страница 77)
(75.12) Соотношения же (75.9) принимают вид А, (г) = — — Рпь(ш; г, г') )ь (г') с1~х'. бс „/ (75.13) 4з, гыО с с где П . -- электрическая индукция; в общем случае аниэотропной среды Р связано с напряженностью Еы соотношениями Р;„= = Егй(О1) ЕЬ,,„ЕСЛИ СрЕда НЕОдНОрОдНа, тО тЕНЭОр дИЭЛЕКтрИЧЕСКОй ПРОНИЦаЕМОСтИ ЯВЛЯЕТСЯ тахжЕ И фУНКЦИЕй КООРДИНат: Егй(а1, Г). В выбранной нами калибровке потенциалов (75.1) имеем В„= гоФА, Е = з ~А, с (75.14) где  — магнитная индукция, связанная с напряженностью Н соотношениями В; = )геьНЕ '). Поэтому для потенциала имеем уравнение'). ! — 1 .э ) 4г. ГОФгвэ(/Л„,в ГО1вй) — — Ееэ АЬ„= — 7'„,.
Подставив сюда А,„в виде (75.13), найден|, что функция Р~~ должна удовлетворять уравнению ! 2 го1, (и 1 гой„1) — — еп Рьй(оз; г, г')= — 4ЯБ51ь6(г — г'). (75.15) ) Напомним, что в макроскопической электродинамнке среднее значение микроскопической электрической напряженности принято обозначать через Е, а среднее значение магнитной напряженности — через В и называть магнитной индуклией. э ) Здесь и ниже пользуемся обозначением говн = е,ыд/дты где е,ив единичный антнсимметричный псевдотснзор. При этом (го1 А)г = госпАЦ Среднее значение А есть не что иное, как векторный потенциал макроскопического (полностью усредненного см. начало параграфа) электромагнитного поля в среде; ниже черту нвд А (а также и нвд другими макроскопическими величинами) не будем писать.
Учтем теперь, что макроскопическое поле, создаваемое классическим током 1, удовлетворяет уравнению Максвелла 411 ГРИНОВСКАЯ ФЯНКЦНЯ ФОТОНА В СРЕДЕ Это уравнение существенно упрощается для изотропных (в каждом своем элементе объема) сред, когда тензоры з,ъ и )г;ь сводятся к скалярам. Магнитная проницаемость обычно близка к 1, и ниже в этом параграфе мы будем считать ее равной 1. Положив зеь = еб;ь и )геь = бей, получим уравнение ! — 5пла — Бп —, а(оз; г)~ Рд„(оз; г, г') = дх,дх~ с' — — — Р~ь(1; г, г ) 1 д н г с дс или, в компонентах Фурье, 1 — Рф,ш; г, г'). с (75.17) Аналогичным образом, роль вектора Н (совпадающего при )з = 1 с В) играет го$пР;ь(ш; г, г').
(75.18) ) Отметим, что функция Р~е оказывается функцией Грина уравнений Максвелла в известном из математической физики смысле — решение уравнений поля с точным источником, удовлетворяющее условию запаздывания (опережающая функция Р,"ь удовлстворяла бы такому же уравнению с е* вместо е). ) Граничные условия для нормальных компонент В н Р не дают в данном случае ничего нового в соответствии с тем, что в поле, мсняющсмся со временем как е * ~, уравнения сйтР = О, 41ТВ = О являются следствием уравнений гое Е = ЫВ/с, гое Н = — иЛЭ/с.
= — 4кб б;ьб(г — г'). (75.16) Таким образом, вычисление запаздывающей функции Грина для неоднородной среды сводится к решению определенного дифференциального уравнения (И. Е. Дзялошинский, Л. П. Питоевский, 1959).'). На границах между различными средами компоненты тензора Р~~ь должны удовлетворять определенным условиям.
В уравнении (75.16) вторая переменная г' и второй индекс й не участвуют в дифференциальных или алгебраических операциях, производимых над тензором Рпо т. е, играют лишь роль параметров. Поэтому граничные условия должны ставиться только по координатам г для функции Р~~(ш; г, г'), рассматриваемой как вектор по индексу 1. Эти условия соответствуют непрерывности тангенциальных компонент Е и Н'). Поскольку Е = — А/с, то роль вектора Е играет при этом производная 412 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛККТЕАЦИИ ГЛ.
МП! — ~й,)й — днй~ + дн — е(ш) Пфш, 11) = 5;ы (75.19) 4Л11 ) Г Решение этих уравнений: Н ~ ) 4кл ~5 ссИ~ИА ~ шге(ш)/Гг ьг ~ шге(~,,)) (75.20) Согласно (36.21), функция Грина О;Р для однородной среды выражается через запаздывающую функцию Ю;ь формулой ПГА(ш, 1с) = НеОД(ш, 1с) +гс1Ь вЂ” 1гп.0Д(ш, 1с). (75.21) При Т вЂ” + 0 эта формула дает Ю;ь(ш, 1с) = Ке.0Д(ш, 1с) + 1э16пш 1пт1)Д(ш, 1с). (75.22) Функция Х)иь дается выражением (75.20): если учесть, что Нее(ш) четная, а 1пте(ш) нечетная функции ш, то мы найдем1 что при Т = 0 В,ь(ш, 1с) = 1)Д(~ ш ~, 1с). (75.23) В пустоте е(ш) = 1.
Но поскольку во всякой материальной среде 1пте(ш) > 0 при ш > О, то вакууму отвечает предельный переход е — > 1+ 1 в16пш. При этом получаем выражение О(0)( 1с) 4КЬ 1 5 Г Е*1гг шг/Гг Ьг, 16 1 шг совпадающее с известным результатом квантовой электродина- мики (см. 1Ъ', з г76). 3 76. Флуктуации электромагнитного поля Как уже было указано в начале предыдущего параграфа, при рассмотрении флуктуаций электромагнитного поля речь идет о колебаниях со временем величин, усредненных только по физически бесконечно малым элементам объема (но не по движению частиц в нем). В таком же смысле надо понимать и квантовомеханические операторы этих величин. Для пространственно-однородной неограниченной среды функция 1),ъ зависит только от разности г — г . Для компонент н 1 фурье-разложения по этой разности дифференциальное уравнение ~75.16) сводится к системе алгебраических уравнений 413 елткттьции элвктгомьгнитного полл Основные формулы теории электромагнитных флуктуаций могут быть написаны непосредственно исходя из общих формул флуктуационно-диссипационной теоремы (Ъ', 2 125).
Напомним, что для дискретного набора флуктуирующих величин х, спектральное распределение флуктуаций выражается через обобщенные восприимчивости а ь(ь1) формулои (татЬ)ш (ПЬа Г"аЬ) С111 — ~ Ьл ~ Ь~~ 2 2Т где сама величина (х хь) представляет собой компоненту фурье- разложения по времени корреляционной функции а х,(1) гейзенберговские операторы величин т,. В случае распределенных величин т (г) (функции координат точки в теле) эта формула записывается в виде (та ть )и = с1(т Ноьа(ы( г2~ г1) ~-'"аь(1с( г1~ г2))~ (76'1) где индексы (1) или (2) означают, что значение величины берется в точке г1 или г2. В предыдущем параграфе было показано, что если величинами х являются компоненты векторного потенциала А(г)/с, то соответствующими обобщенными восприимчивостями будут компоненты тензора — Р;ь(ы: г1; г2)/Йс . Поэтому сразу находим Е= — —, с то такая же функция для компонент Е Е 1 д А 1 д А Я д 1 д 1 ~ 1 Ь с п или, в фурье-компонентах: (Е(ПЕ(2)) ь (А(1) ~(2)) с~ (76.3) (А АЬ ),„= — с111 — ~(Р~Ь(сс; г1, г2) — ~РЬЬ(Ы; г2, г1))').
(76.2) Спектральные функции флуктуаций напряженностей поля получаются из (76.2) простым способом. Пусть Ьс,'~~(11, г1; 12, г2)-- корреляционная функция флуктуаций векторного потенциала; выражение (76.2) есть компонента фурье-разложения этой функции по Ь = 11 — 12. Поскольку электрическая напряженность ГЛ. УШ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ Аналогичным образом, учитывая связь В = го1 А, получим (76.5) Выражая корреляционные функции электромагнитных флуктуаций через запаздываюпгую функцию Грина, формулы (76.2)— (76.5) сводят задачу об их вычислении к решению дифференциального уравнения (75.15) или (75.16) с надлежащими краевыми условиями на заданных границах тел "). Ниже мы будем считать, что среда немагнитоактивна.
Тогда функция Пей обладает свойством симметрии (75.12) и выражение (76.2) принимает вид (А, А~, ),„= — с$Ь вЂ” 11п 01ь~(оз; г1, г2). (76.6) Обратим внимание на то, что выражение (76.6) вещественно. Вместе с ним вещественны и (76.3), (76А), а (76.5) мнимо. Это значит, что функции временной корреляции компонент Е и компонент В друг с другом четны по времени 1 = 11 — 12 (как и должно быть для корреляции между величинами, которые обе четны или обе нечетны по отношению к обращению времени). Функция же временной корреляции компонент Е с компонентами В нсчетна по времени (как и должно быть для двух величин, из которых одна четна, а другая нечетна относительно обращения времени).
Отсюда следует, что значения Е и В в одинаковый момент времени не коррелированы друг с другом (нечетная функция 8 обращается в нуль при 1 = 0). Вместе с корреляционной функцией обращаются в нуль также и средние значения от любых билинейных по (взятым в одинаковый момент времени) Е и В выражений, например, от вектора Пойнтинга. Последнее обстоятельство, впрочем, заранее очевидно: в теле находящемся в тепловом равновесии и инвариантном относительно обращения времени, не может быть внутренних макроскопических потоков энергии. 9 77. Электромагнитные флуктуации в неограниченной среде В ОдНОрОдНОй НЕОГраНИЧЕННОй СрЕдЕ фуНКцИИ Т)гй(Ы; Г1, Г2) зависят только от разности г = г2 — г1, причем четны по этой переменной (уравнение (75.15) содержит только вторые производные ') Теория электромагнитных флуктуаций была развита в другой форме С.
М. Рытоеым (1953), а в форме, эквивалентной (76,2) — (76.5), — М. Л. Левиным и С. М. Рытов м (1967). ~ 77 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ 415 (А — Ас2) ' = — 477б(г), (77.5) а вторая получается дифференцированием первой. В результате найдем Рп,(ы: г) = — 6)б;А+ — — ехр) — — А~ — ЕГА~, ы'с дх)дхА~ Г ( с (77.6) где г = )г1 — г2 ~, а корень |( — е должен быть взят с таким знаком, чтобы было Ве;/ — а ) 0; для пустоты надо положить е = 1, т)7 — е = — 4 (см. ниже). Отсюда, согласно (76.6) и (76.3), сразу находим =7 77 — 7 )) ~)— ' А -7 ! - Р( — ~l- )) )777) 2Т ) с ~ с7 дх;дхА1 т с по координатам, и потому Р7Ь(О); г) и Р7Ь(ы; — г) удовлетворяют одному и тому же уравнению).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
