IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 76
Текст из файла (страница 76)
(Учтено, что число узлов, по которым производится суммирование, равно теперь Л,У2, где )т' (1) полное число узлов в решетке.) Введенная выше величина Уо( ) есть не что иное, как У, (Г) Используя эти формулы, легко приводим (74*.4) к виду Й с2(У(2) У(Г)) „ + ~~1 ~(А~,/2)(а~~6+~, + аи6 и) + (В~,/2)(а~~а~, + 6~~6~,))1 (74*.0) 404 гл. кп млгнетизм где (74".8) ии = сЬ аь, рр — — вЬ аи. (74*.10) При подстановке (74~.8), (74".9) в (74".6) члены, недиагональные по числам заполнения магнонов, выпадут, если параметр аь в формулах (74*.10) определен согласно с1Ь(2аь) = — — ". Аь Окончательно гамильтониан приобретает вид Н = Ее+ 1 е(1с)(си~с~, + с~„"4,), (74*.11) где е(к) энергия магнона с квазиимпульсом йк, равная (Ц=1 ~в„' — 1.
П4'Ае Согласно (74*.7) Вь е = Аь е. Разложение же этих величин по степеням компонент и начинается с квадратичных членов. Поэтому при малых к энергия е(к) линейна по ~1с~ в соответствии с результатом макроскопической теории предыдущего параграфа. А1 = 25,7, В1 = 2Я (.7о 7а Уй ) (74к 7) Гамильтониан (74*.6) формально аналогичен гамильтониану (25.11) слабонеидеального бозе-газа, отличаясь от последнего только смыслом коэффициентов Аь и Вь и наличием двух типов операторов аь и бю Диагонализация (74*.6) достигается преобразованием, аналогичным (25.8).
Положим аи = ииси + ь~,д ю аи — — иис1, + р~,Х и, Выражения для би отличаются от (74*.8) перестановкой операторов си и с~~,. би = и~,с~~, + ь~,с~~„б~, —— и~,с~~~ + рьс и. (74*.9) Новые операторы сю си и с~~„й~,, имеют смысл операторов рождения и уничтожения магнонов двух независимых поляризаций. Они будут удовлетворять бозевским правилам коммутации, если, как и в з 25, наложить на ии и рь условие 2 2 ии — ри — — 1. Мы, однако, произведем диагонализацию гамильтониана несколько другим способом, чем в ~ 25.
Указанному условию можно удовлетворить тождественно, если положить: 74 АнтиоеРРОмлгнитное сОстО11ние спинОЕОГО ГАмильГОнилнА 405 Отметим также, что, как видно из (74".11), вырождение по поляризации магнонов в обменном приближении имеет место при любых 1Г. Энергия основного состояния Ео дается выражением: Ео = с (7о 7о )+ЕЖ") -той) (74 18) 2 аналогичным (25.13). Второй член справа представляет собой квантовую поправку. Он очевидно имеет порядок 17'Б по отношению к классическому первому члену.
Квантовые эффекты приводят к уменьшению намагниченности подрешеток по сравнению с классическим значением равным Я, если относить его к одному узлу. Из (74*.2) следует, что (о',) = Я вЂ” — „"(а~~аа) = Я вЂ” — ~~ (акай). а й Выражая операторы а~, ай через магнонные операторы с помощью (74*.8) получаем при Т = О, когда (сРсй) = (с~~д~,) = О, формулу, аналогичную (25.18): в, (айай) = 4е(11) 2 Подставим это выражение в формулу для (О',) и перейдем от суммирования по 1Г к интегрированию по Р"71зй/(277)з1 (Я,1 = Я вЂ” / ( —" — -') — "',, (77'.77) где 77 - объем элементарной ячейки подрешетки.
Интегрирование в (74".14) производится по ячейке 1с-пространства, соответствующего подрешетке. (Напоминаем, что в (74*.5) суммирование производится по узлам подрешетки.) Численный расчет для простой кубической решетки с взаимодействием между ближайшими соседями дает (с ) с 0 08 Отметим, что в этом случае поправка к классическому значению оказывается малой даже при экстраполяции к значению Я = 1772. Намагниченность подрсшетки может, однако, оказаться существенно меньше номинальной для решеток с «фрустрапиейа '), в которых существенно взаимодействие с отдаленными соседями, причем его знак, в отличие от знака взаимодействия между ближайшими соседями, соответствует ферромагнетизму.
) От английского «Ггнвегасгон» вЂ” разочарование. ГЛАВА Ъ111 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ й 75. Гриновсквя функция фотона в среде Приступая к изучению статистических свойств электромагнитного поля в материальных средах, напомним прежде всего, в чем заключается смысл усреднений, которым подвергаются электромагнитные величины в макроскопической элсктродинамике.
Если исходить, для наглядности, из классической точки зрения, то можно различать усреднение по физически бесконечно малому объему при заданном расположении всех частиц в нем и затем усреднение полученной величины по движению частиц. В уравнения Максвелла макроскопической электродинамики входят полностью усредненные величины.
При рассмотрении же флуктуаций поля речь идет о колебаниях со временем величин, усредненных лишь по физически бесконечно малым объемам. С квантовомсханической точки зрения говорить об усреднении по объему можно, разумеется, не для самой физической величины, а лишь для се оператора; второй же шаг заключается в определении среднего значения этого оператора с помощью квантовомеханических вероятностей.
Фигурирующие ниже в этой главе операторы поля будут пониматься как усредненные только в первом смысле. Статистические свойства электромагнитного излучения в материальной среде описываются гриновской функцией фотона в среде. Для фотонов роль ф-операторов играют операторы потенциалов электромагнитного поля. Фотонные функции Грина определяются через эти операторы таким же образом, как они определяются для частиц через у-операторы.
Потенциалы поля составляют 4-вектор А'" = (Ае, А), где Ао = у — скалярный, а А — векторный потенциалы. Выбор этих потенциалов в классической электродинамике неоднозначен: они допускают так называемое калибровочное преобразование, никак не отражающееся ни на каких наблюдаемых величинах (см. П, з 18). Соответственно в квантовой электродинамике такая же неоднозначность имеет место в выборе операторов поля, а с ними †. и 407 ГРИНОВСКАЯ ФИНКЦИЯ ФОТОНА В СРЕДЕ в определении гриновских функций фотона.
Мы будем пользоваться калибровкой, в которой скалярный потенциал равен нулю: АО= =О, (75.1) так что поле определяется одним лишь векторным потенциалом. Такая калибровка обычно оказывается удобной для задач, в которых речь идет о взаимодействии электромагнитного поля с нерелятивистскими частицами, —.
как это и имеет место для поля в обычных материальных средах. В этой калибровке функция Грина представляет собой трехмерный тензор второго ранга .0,ь(Х1, Х2) = — г(ТА1(Х1)Аь(Х2)) (75.2) (г, 1с = т, у, е трехмерные векторные индексы), где угловые скобки обозначают (как и в (36.1)) усреднение по распределению Гиббса для системы, состоящей из среды вместе с находящимся с ней в равновесии излучением; поскольку фотоны являются бозонами, то перестановка операторов А„АР при их хронологизации не сопровождается изменением знака произведения.
Напомним также, что операторы А, - . самосопряженные (чем выражается истинная нейтральность фотона); поэтому в (75.2) не делается различия между А; и А,' '). В качестве первичного понятия для построения всех видов фотонных гриновских функций следует, однако, пользоваться не (75.2), а запаздывающей функцией Грина, определенной согласно ~ (А,(Х1)АР(Х2) — Аь(Х2)А1(Х1)), 11 ) 12, ~ О, 11 < 12 (75.3) (знак минус между двумя членами в угловых скобках отвечает определению (36.19) для статистики Бозе). Для замкнутой системы функция Грина зависит от моментов времени 11, 12 только через их разность 1 = 11 — 12.
Что же касается координат г1, г2 то в общем случае неоднородной среды они входЯт в фУнкцию независимо дРУг от дРУга: Б,ь. (г; г1, г2). соответственно фурье-разложению эта функция будет подвергаться ') В общем случае произвольной калибровки потенциалов фотонная функция Грина является 4-тензором О„(в калибровке же (7бя): 47ее = О, Пе, = 0).
Общие тензорные и калибровочные свойства фотонной функции Грина в статистике — такие же, как и в квантовой злектродинамике поля в вакууме. Отметим, что определение (75.2) отличается знаком от принятого в т. 11Г. Оно выбрано здесь единообразно с определением гриновских функций других бозонов (в том числе фононов). 408 электгомАГнитные ФлуктуАции ГЛ. УП! только по времени; компонента этого разложения Рнь(ы; г1, гз) = ~е™Р~~(1; гг, гз) сЫ. (75.4) о Рассматривая величины, усредненные по физически бесконечно малым объемам, мы тем самым ограничиваем себя рассмотрением лишь длинноволновой части излучения, в которой волновые векторы фотонов удовлетворяют условию Йа«1 (75.5) (а — межатомные расстояния в среде).
В этой области частот гриновская функция фотона может быть выражена через другис макроскопические характеристики среды ее диэлектрическую и магнитную проницаемости е(ы) и 1А(оз). Для этого запишем оператор взаимодействия электромагнитного поля со средой: 1 Гт з У' = — — /,)Ад т, с (75.6) где ) оператор плотности электрического тока, создаваемого частицами среды').
Ксли же в среду внести некоторый классический «сторонний» ток 1(1, г), то с ним будет связан оператор взаимодействия (75.7) Это выражение позволяет установить связь с общей теорией отклика макроскопической системы на внешнее воздействие.
Напомним, что в этой теории (см. У, 5 125) фигурировал дискретный ряд величин то(а = 1, 2, ...), характеризующий поведение системы под действием определенных внешних воздействий. Эти воздействия описываются «возмущающими силами» Яг) такими, что оператор энергии взаимодействия имеет вид Р = -~~.*-., а ') См.
1Ъ', 5 43 (в т. 1У ток обозначается через е), т. с. элементарный заряд е выносился из определения 1). Оператор (75.6) подразумевает использование релятивистского выражения для оператора тока. В нерелятивистских задачах можно пренебречь в ф-операторах (из которых строится оператор тока 1) частями, связанными с отрицательными частотами, т. е. с античастицами.
Это означает, в частности, пренебрежение радиационными поправками, которые изменяют фотонную функцию Грина в вакууме за счет виртуального рождения электронно-позитронных пар. Эти поправки пренебрежимо малы при длинах волн Л»5/тс — условие, заведомо выполненное в области (75.5). гл. чш элкктгомвгнитные Фляктуэции В силу (75.10) отсюда сразу следует (для немагнитоактивных сред),что Р$(гс; г, г') = РД(оэ; г', г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
