IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Введя опять гриновскую функцию в вакууме в <о) отсутствие тела, имеем А~0(гг) = — — Р~~(ьб гг) о2,„(22)АЩ~(0), йс2 так что 2 (А00А[~)) = — ~ Рл(; ) (А~~)(0)А(е)( )) Корреляционную функцию (А А ) берем снова из (76.2). При этом, по~о) (а> скольку нас интересует только тейловое излучение, надо опустить в этой формуле нулевые колебания,т. е. заменить 1 622 1 1 1 — ссЬ + 2 2Т гэ ~т 1 2 ех ~т 1' В результате находим для вклада рассеянного черного излучения в корре- ляционную функцию 2 604(А,2А22) = [Р~~(пй г2) сп 1шРлэ(ай гз)+ йс2(ей (т 1) + Р~ь~*(ай г2) о2 1ш Р~,(22; гг)]. (3) Окончательно, чтобы найти флуктуационное поле в холодной среде, надо вычесть (3) из (1).
После простых преобразований с использованием симметрии тензоров Р,ь и ош получим 2 2 6~*~(А,2А22) = Рп(ь2; гг)[1шоь„(и))Р *„(ьб гз) (4) йс2(ех (т 1) (Т вЂ” температура тела). Здесь выписан лишь тепловой член; член с нулевыми колебаниями в (1) остается без изменений. Обратим внимание иа то, что выражение (4), определяющее тепловое излучение тела, зависит от мнимой части поляризуемости. Поток энергии, вычис22енный по выражению (4), уже не равен нулю, а дает интенсивность теплового излучения нагретого тела в окружающую холодную среду. 421 ФЛУКТУАЦИИ ТОКА В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ 8 78. Флуктуации тока в линейных цепях Еще одно интересное применение флуктуационно-диссипационной теоремы представляет вопрос о флуктуациях тока в линейных цепях, впервые рассмотренный Найквисгаом (Н.
Нуди1е1, 1928). Флуктуации тока представляют собой свободные (т. с. происходящие в отсутствие приложенной извне электродвижущей силы) электрические колебания в проводнике. В линейной замкнутой цепи наибольший интерес представляют, естественно, те колебания, при которых возникает текущий вдоль провода полный ток 7.
Ниже мы предполагаем выполненным условие квазистационарности " размеры цепи малы по сравнению с длиной волны Л с/м. Тогда полный ток 1 одинаков во всех участках цепи и является функцией лишь от времени. Выберем этот ток 7 в качестве величины х(г), фигурирующей в общей формулировке флуктуационно-диссипационной теоремы в у',8124. Для того чтобы выяснить смысл соответствующей обобщенной восприимчивости а, предположим, что в цепи действует внешняя электродвижущая сила с. Тогда диссипация энергии в цепи Я =,7с. Сравнив с выражением 1А'= — х1, служащим определением «силыу Т" (см. у', (123.10), мы видим, что Г"= — б или для фурье-компонент б,„= иу~,„.
С другой стороны, ток и ЭДС в линейной цепи связаны соотношением б =Я(ы),У, где х (о~) —. комплексное сопротивление (импеданс) цепи. Поэтому имеем 1Ф = ЕФ,~У = и Х,!Я и, сравнив с определением обобщенной восприимчивости в соотношении (х) = с«(ю)1', находим а(ю) = ги/Я(и). Ее мнимая часть: 1ш о = 1ш ™ = ~ Л(ь ), Т Дг где Н = В.е2. Согласно флуктуационно-диссипационной теореме, (х ),„= 6 с$Ь вЂ” 1шс«(ы), 2Т находим теперь для спектральной функции флуктуаций тока 422 гл. Рш ЗЛЕКТРОМАГННТНЫЕ ФЛККТЕАЦИН Эту формулу можно представить в другом виде, описывая флуктуации тока как результат действия «случайной» ЭДС Е„= Я.7 .
Для нее имеем (г2) = нь1Л(ь1) с111 ~~~. (78.2) В классическом случае (ЬЦ1 « Т) (с~) = 2ТГТ(ь1). (78.3) Подчеркнем лишний раз, что зти формулы совершенно не зависят от природы явлений, ответственных за дисперсию сопротивления цепи. 3 79. Температурная функция Грина фотона в среде Температурная функция Грина фотона в среде строится по мапубаровским операторам потенциалов злектромагнитного поля подобно тому, как временная функция Грина (75.2) строится из гейзенбсрговских операторов; Р;ь = — (ТТАм(т1, Г1)А1м(т1, г2)).
(79.1) Здесь учтено, что в силу зрмитовости шредингсровских операторов поля мацубаровские операторы Ам и А (определенные согласно (37.1)) совпадают друг с другом. Эти операторы, однако (в отличие от гейзенберговских), сами уже не эрмитовы; ввиду вещественности параметра т имеем ( Ам(т г) 1« — ун'~АА(г)Р— й7 ь)" — е — й'~АА(г) е'нз а или ~А (т, г)) = Ам( — т, г). Из сравнения этих двух выражений видно, что 'П1ь( — т; Г1, Г2) = Ры(т; Г2> Г1). (79.2) Поскольку функция (79.1) зависит только от разности т = т1 — т2 (ср. 237), то можно написать (положив, например, т > О) 721ь(т; г1, г2) = — (Ам(т; г1)А1м(0, г2)), '01ь( — т; г1, г2) = — (Аь~(т; г2)Ам(0, г1)).
з 79 ТЕМПЕРАТУРНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА ФОТОНА В СРЕДЕ 423 Функция Ю!А может быть разложена в ряд Фурье по переменной т: ЮГА(т; гы г2) = Т ~~! ЮГА((;; гГ, г2)е '~"~, (79.3) причем «частоты» !",, пробегают (ввиду статистики Бозе, которой подчиняются фотоны) значения Ги,! = 2!ГЕТ (ср. (37.8)). Для компонент этого разложения из (79.2) слецует аналогичное соотношение х~!А(~А; гГ, гз) = РьГ( — ь; гм г2) Согласно общему соотношению (37.12) эти компоненты связаны с запвздывающей функцией Грина равенством ЮГА(~,; гГ, ге) = 1у;А.(г!„; гя, г!) при положительных !„.
В З75 было показано, что функции .0ГА(ц!; гГ! г2) можно в известном смысле РассматРивать как Л обобщенные восприимчивости, фигурирующие в общей теории отклика макроскопической системы на внешнее воздействие. Отсюда следовало свойство симметрии этих функций, выражаемое (для немагнитоактивных сред) равенством (75.12), а ввиду связи между функциями ЮД и Р,ь таким же свойством обладают и последние: ю!АКА, г1, г2) = пь!КА, г2! Г1). (79.5) Из этого равенства, вместе с равенством (79.4), следует теперь, что функции А!Гь(~,; гГ, гз) четны по дискретной переменной !',„ так что при всех (положительных и отрицательных) ее значениях имеем (79.6) Ю,ь(~,; гГ, г2) = В!в(г ~~,~; гГ, г2).
Далее, функция РГА~,(!и; г!, г2), как и всякая обобщенная восприимчивость, вещественна на верхней мнимой полуоси ш (см. Ъ', З 123); из (79.6) следует поэтому, что функция Х>ГА(~,; гГ, г2) вещественна при всех значениях ~,. Наконец, из этих свойств следует, в свою очередь, что и исходная функция Р,ь(т; г!, гз) вещественна и четна по переменной т: (79.7) 'рчь(Т; г1, г2) = т)!А( — Т; г1, г2). Связь (79.6) между температурной и запаздывающей функциями Грина позволяет сразу написать дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция Ю,ь в неоднородной среде; для этого достаточно произвести замену и! -+ г ~ !'„~ гл. уш электгомАгнитные ФлуктуАцин в уравнении (75.15) или (75.16).
Так, для изотропной немагнито- активной среды с )2 = 1 находим уравнение ! а2 42 — диь + — ' е(2 ~~,~, г) бп ю~ь(~,; г, г') = дя2 дя, ' сз = — 4пйдеь о(г — г'). (79.8) Для однородной неограниченной среды функция Ю;ь(~,; г, г') разлагается в интеграл Фурье по разности г — г'. Компоненты этого разложения удовлетворяют системе алгебраических уравнений ~2~~ — бп~' — бн — ", 42~6~) ~~%(~А, )с) = бгь (799) г г г и даются формулой ') 43е('ЮУ '+й' ~ 4'е1'~4.~)) Поскольку функция А22ь(~,; )с) выражается (в длинноволновой области йа «1) через е(со), то диаграммная техника для ее вычисления становится тем самым техникой для вычисления диэлектрической проницаемости среды.
При этом последняя имеет также и определенный диаграммный смысл, который будет сейчас выяснен. Будем изображать точную ь-функцию жирной, а функцию 'еде) в вакууме тонкой штриховой линией по правилу') -- — = — 'р ь, ~0) $ 2Ь (79.11) Вся совокупность диаграмм, изображающих Х>-функцию, может быть изображена рядом (вполне аналогичным ряду (14.3) для функции С): — — =---+ --О--+ ---О - С)- + " (79.19) где кружок изображает совокупность диаграммных блоков, не распадающихся на две части, связанные только одной штриховой линией; обозначим зту совокупность через — Ргь/4я.
) В реальных применениях (ср. 880) функция ьчь всегда фигурирует в произведении с 4~; поэтому расходимость при 4,=0 фактически устраняется. ) Использование штриховой линии для обозначения З-функций не может вызвать здесь недоразумений, так как в этом и следующем параграфах не будет фигурировать в явном виде энергия парного взаимодействия частиц среды 1для которой ранее использовалось это обозначение). 3 79 ТЕМПЕРАТУРНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА ФОТОНА В СРЕДЕ 425 Функцию Р;ь (аналогичную собственно-энергетической части гриновской функции частиц) называют поллризационным операпзороА4.
Диаграммное равенство (79.12) эквивалентно уравнению (79.13) (ср. переход от (14.3) к (14.4)). В аналитическом виде оно дает (79.14) (все множители --. функции одинаковых аргументов („1с). Умножив это равенство справа на обратный тензор ь 1 и слева —— на Ю( ), перепишем его в виде (79.15) Наконец, взяв А, 1 из левой стороны уравнения (79.9) и такое же выражение с е = 1 для Ю1„, найдем (о) — 1 2 'Ргь(~,; 14) = — — ' [е(2)~,~) — Ц бгь, (79.16) йс2 чем и определяется диаграммный смысл функции е(о2) — 1 в дискретном множестве точек на верхней мнимой полуоси ш. Аналитическое продолжение функции е(4'р',2)) на всю верхнюю полуплоскость должно, в принципе, производиться с учетом того, что е(о1) не должна иметь особенностей в этой полуплоскости и что е(о2) -+ 1 при ~о2) — э ОО ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
