IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 82
Текст из файла (страница 82)
В области 0 < х < 1 функции Руу и Р„определяются уравнениями (81.3), (81.4) с к=1, и=о~э=(~~+у~)~'~. В областях 1 (х < 0) и к (х ) 1) они удовлетворяют тем же уравнениям без правых частей (поскольку здесь х ф х ) соответственно с кп ю1 и к2, ы2 в качестве к, ш. Необходимое, согласно (80.17), вычитание сводится к тому, что из всех функций Ррк в области щели следует вычесть их значения при к1 = к2 = 1. Вследствие этого, в частности, можно сразу опустить второй член справа во втором из равенств (81.5), так что в области щели (81.7) З к* Прежде чем приступить к решению уравнений, сделаем еще одно замечание. Общее решение уравнений (81.3), (81.4) имеет вид г' (х — х') + ~" (х + х').
Используя уравнения (81.3), (81.4), (81.7) и определение функций Р~~ и РНв, можно показать, что части гриновских функций, зависящие от суммы х+ х', не вносят никакого вклада в выражение (81.1) для силы. Мы нс останавливаемся здесь на этом, так как этот результат заранее очевиден из физических соображений: положив х = х' в решении вида ('э(х+х'), мы бы получили поток импульса в щели, который 438 ГЛ. ТП1 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛЪ'КТЪ'АЦИИ с ~ ьгз — —,~ Ргг(х, х') = О, х > 1, 2 4' с ~г '1 ьгз — — ) А „ (х, х') = — 4ггб(х — х'), 0 < х < 1. (81.8) Отсюда находим Х1„= Ве '*, х >1, Х1„ = Ае~г*, х < О, Ргг=С~е г*+Сте "'* — е 3~* *, 0<х<1.
гг — 3 В последнем выражении учтено, что в силу третьего из уравне- ний (81.8) производная дР„/дх испытывает при х = х' скачок, Равный 42Г. ОпРеделив А, В, См Сг (фУнкцни х') из гРаничных условий непрерывности Аггг и ггпу„/Ггх, получим ь Ю,, = — сЬьгз(х — х ) — — е ~3~* ~, 0 < х < 1, мз 3."г Мг где 22231 (211+ 213)(ггг+ 213) — е (211 — ггг) (ггг — мг) Вычтя значение Х>,, при 221 = ы2 = ыз (при этом 1/Ь = О), имеем окончательно г „= сЬцгз(х — х'). Аггее Аналогично, решая уравнение для Ю„„, получим (после вы- читания) ггА, СЬюз(х — х ), 22131 (31323 Т 211)(32213 Т 112) (31Ы3 — 221) (32223 — мг) зависел бы от координаты — в противоречии с законом сохранения импульса.
В дальнсйтпсм мы будем поэтому приводить в результате только выражения для частей гриновских функций Р,ы не зависящих от х + х'. Перейдем к нахождению функции ьггг. Она удовлетворяет уравнениям: г 881 молккзлягныв взьимодвйствия мвжду тввгдыми твлвми 439 и, используя (81.7), 72 = 71у, = —, ' в)гага(т — т'), *У У* ьгг,а Ю, = —, ~ сЬ агз (т — х'). ~'юга ВЫЧИСЛИВ ТЕПЕРЬ ФУНКЦИИ Вгвз И Вгзю ПРЕОбРаЗОВаВ ИХ ЗатЕМ Е Н согласно (81.2) и подставив в (81.1), получим Наконец, перейдя к новой переменной интегрирования р, согласно д = ~„хггР2 — 1, и возвРатившись к обычным единицам, мы придем к окончательному выражению для силы г', действующей на единипу площади каждого из двух тел, разделенных щелью шириной 1: оо — 1 г(С= г ~'с' ( ' зсг / ((вг — р)(вг — р) г с п=о г 1 (зг +Рвг)(вг + Рег) ! 2рь„(1 1 ( (81 9) (вг — р вг)(вг — р ег) с где е1, е2 функции мнимой частоты аг = г~„; напомним в этой связи, что е(г~) положительная вещественная величина, монотонно убывающая от своего электростатического значения ее при ~ = 0 до 1 при ~ = со').
Положительные значения г' соответствуют притяжению тел. Подынтегрзльное выражение в каждом из членов суммы в (81.9) положительно и при каждых заданных р и ~п монотонно убывает с ростом 1'). Отсюда г) Формула (81.9) выведена в предположении изотропии обоих тел. Позтому ее применимость к кристаллам связана с возможностью пренебрежения анизотропией нх днзлсктричсской проницаемости. Хотя зто в большинстве случаев вполне допустимо, следует иметь в виду, что анизотропия тел приводит, вообще говоря, еще и к специфическому эффекту — появлению момента сил, стремящегося повернуть тела друг относительно друга. г) В этом легко убедиться, заметив, что для в = (в — 1+р )гзг (где р » ц имеют место неравенства вр > з > р при в > 1.
440 гл. уш электРОМАгнитные ФлуктуАции следует, что Г > О, дй'/)11 < 0 т. е. тела (разделенные пустой щелью) притягиваются с силой, монотонно убывающей с увеличением расстояния. Общая формула (81.9) очень сложна. Она, однако, может быть существенно упрощена в связи с тем,что влияние температуры на силу взаимодействия обычно совершенно несущественно'). Дело в том, что благодаря наличию экспонент в подынтегральных выражениях в (81.9) главную роль в сумме играют лишь те члены, для которых ),и с/1 или п сгг!1Т. В случае 1Т!с"11 « 1 существенными будут, таким образом, болыпие значения и и в (81.9) можно перейти от суммирования к интегрированию по г)п = йг)Г!2тгТ.
При этом температура исчезает из формулы, и мы приходим к следующему результату: со со — 1 ) ) ! 1 ) ) , + )1 ) ) 2 1 )) 2ягсг,)',) ((з~ — р)(ег — р) ! с о ! г — ! + ~" ~Р")("+Р") ("~ 1) — 1~ арф„, (81.10) ((М вЂ” рег)(зг — рег) 1 с Согласно сказанному, эта формула применима для расстояний 1 «сй(Т; уже при комнатных температурах это дает расстояния примерно до 10 «см. Формула (81.10) допускает дальней!нее существенное упрощение в двух предельных случаях.
8 82. Молекулярные силы взаимодействия между твердыми телами. Предельные случаи Остановимся сначала на предельном случае «малыхя расстояний, под которыми подразумеваются расстояния, малые по сравнению с длинами волн Ло, характерными для спектров поглощения данных тел. Температуры, о которых может идти речь для конденсированных тел, во всяком случае малы по сравнению с играющими здесь роль йоге (например, в видимой части спектра), поэтому неравенство а заведомо выполняется. Благодаря наличию экспоненциального множителя в знаменателях подынтегрального выражения при интегрировании по др существенна область, в которой р~1/с 1.
При этом р >> 1, и поэтому при определении главного члена в интеграле можно положить з1 — зг = р. В этом цриблнжении первое слагаемое в 1 ) Говоря о влиянии температуры, мы отвлекаемся от того влияния, которое связано просто с зависимостью от температуры самой диэлектрической проницаемости. Гл. уш элвктгомАгнитные ФлуктуАции Выразив е(24',) через 1ше(о2) на вещественной оси а2, согласно (80.18), получим 6 /// 221222 1ш«1(221)1шЕ2(222) 88я«12 / / / (ыг + ~2)(ыз + Р) О 6 П1т ( )1те( )Ж„,(„(822) 1 2 162ЧЕ,/,/ ы1+ыг 0 Эта сила соответствует взаимодействию атомов с энергией 11( ) 36 / / 1ш«1(221) 1шЕ2(222) 8п п1 п2г,/,/ 221 + 222 где т расстояние между атомами; пы пз плотности чисел атомов в обоих телах').
Эта формула совпадает с известной квантовомеханической формулой Лондона, получающейся с помощью обычной теории возмущений, примененной к дипольному взаимодействию двух атомов (см. 111,889, задача). При сравнении следует учесть, что мнимая часть е(ы) связана со спектральной плотностью «сил осцилляторов» /(о2) соотношением 222 2 о2 1ше(а2) = пДь2) (е, т заряди масса электрона; см. у'111 8 82); силы же осцилляторов известным образом выражаются через квадраты матричных элементов дипольного момента атомов (см. 1П, (149.10)). Перейдем к обратному случаю «больших» расстояний: 1 » ЛО.
При этом, однако, будем считать, что расстояния все же не столь велики, чтобы нарушилось неравенство 1Т/6с «1. В формуле (81.10) снова вводим новую переменную интегрирования х = 2р1~/с, но в качестве второй переменной оставляем теперь не 1'„а р. Тогда е1 и е2 окажутся функциями аргумента 24„= Етс/2р1.
Но благодаря наличию е* в знаменателях подынтегрального выражения в интеграле по е(х играют роль значения х 1, а поскольку р > 1, то аргумент функции е при больших 1 близок к нулю во всей существенной области переменных. В соответствии с этим можно заменить е1, е2 просто их значениями ) Если потенциальная энергия взаимодействия атомов 1 и 2 есть (1(г) = = — аг, то полная энергия парных взаимодействий всех атомов в двух полу— е пространствах, разделенных щелью ширины 1, равна (Гнал — — — аяпгп2/121 . 2 Сила же есть Е = 1111пол/4(1 = алпгп2/612. В атом и заключается соответствие между формулами (82.2) и (82.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
