IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Взяв фурье-компоненты по г от обеих сторон равенства (76.2), получим (А, Аь ) и = — стп — 1Р7ь(О)7 1с) — (Р~А7(О)7 )с)1" 1. (77.1) Для немагнитоактивных сред, с учетом (75.12), эта формула записывается в виде (А)ВАЬ()) И = — с1Ь вЂ” 1тР~~(О7, 1г). (77.2) В изотропной немагнитной ()А = 1) среде функция РНА(ш, )с) дается формулой (75.20). Задача же об определении пространственной корреляционной функции флуктуаций сводится к вычислению интеграла Р;ь(О7:, г) = ~Р7ь(О7, 1г)е' (77.3) Интегрирование осуществляется формулами )7 43~ А7 ) Я (2,„)З (77.4) 'е,'е с™ Все д с КТ+ 77с (2К)с дх,дх 4КГ ' из которых первая получается путем взятия компонент Фурье от известного равенства гл.
уш ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ (С. М. Рытов, 1953). Свериув это выражение по индексам 2', й (и воспользовавп2ись формулой (77.5)), получим 2 (Е~РЕФЬ=22.рР— 1 (-' ~ — ° р (-су-„) .р2 2(о~ ) . (77.8) Аналогичным образом, вычисление по формуле (76.4) приводит к выражениям для корреляционных функций магнитного поля, отличающихся от (77.7), (77.8) отсутствием множителя 1/в перед квадратной скобкой; при этом член с 5-функцией под знаком 1щ в (77.8) становится вещественным и выпадает из ответа. Связь выражений (77.7), (77.8) с мнимой частью в ясно подчеркивает связь электромагнитных флуктуаций с поглощением в среде. Но если произвести переход к пределу 1гп в — 2 0 в формулах (77.7), (77.8), мы получим конечные, отличные от нуля выражения.
Это обстоятельство связано с порядком перехода к двум пределам бесконечным размерам среды и равной нулю 1птв. Поскольку в бесконечной среде уже сколь угодно малое 1НТ в приводит в конце концов к поглощению, то при использованном нами порядке перехода к пределам получающийся результат относится к физически прозрачной среде, в которой, как и во всякой реальной среде, сколько-нибудь отличное от нуля поглощение все же имеется. Произведем, например, указанный переход в формуле (77.8). Для этого замечаем, что при малом положительном 1гп в (при 2о > 0) ~/ — в = — 2'ъ~йев (1+ 2 ) 222ее (с учетом требования Вс уР— в > 0). Поэтому в пределе 1птв -+ 0 получим (Е10Е~~1)„= — (Н(ОН121) = э1п сФЬ вЂ”, (77.9) 222 срт с 2Т где п = ур в -- вещественный показатель преломления.
Ввиду отсутствия члена с 5-функцией это выражение остается конечным и при совпадающих точках гг и г2. (ЕОО) = — (НОО) = СЬ вЂ”. (77.10) П2 сз 2Т Предельный переход к случаю прозрачной среды можно было бы произвести и на более ранней стадии вычислений в гринов- ской функции. Учтя, что знак 1гпв(2о) совпадает со знаком Ц2, 77 эббектРОмАГнитные ФлуктуАции В неОГРАниченнОЙ сРеде 417 найдем, что в этом пределе функция (75.20) принимает вид ыгпгббсг — ег+2О вбепьб '1 ыгпг 1 (М. и. Рязанов, 1957). Мнимая часть этой функции связана толь- ко с правилом обхода полюсов пб = ~ей/и; отделив ее с помощью формулы (8.11) и подставив в (77.2), получим (Я е ) 00 (2) ( — б; — ' ')(б( — — б) — б("— 1-1)) 72 —.
(77.12) Аргументы д-функции в этом выражении имеют простой физический смысл: они показывают, что флуктуации поля с заданным значением 1с распространяются в пространстве со скоростью с(п, совпадающей со скоростью распространения электромагнитных волн в данной среде. Фурье-обращением выражения (77.12) можно, разумеется, снова получить (77.7). Энергия флуктуационного электромагнитного поля в прозрачной среде )А = 1 в спектральном интервале гббо дается (в единице объема пространства) выражением — [2(Б2)ы + 2(н )221— (см. Ъ'11112 80) ').
Подставив сюда (77.10), получим после просто- го преобразования ! йбл йьб ~ ьбгпг 74(пьб) 2 ех гт 1) хгсг й„ (77.13) Первый член в скобках связан с нулевыми колебаниями поля. Второй же член дает энергию термодинамически равновесного электромагнитного излучения в прозрачной среде, т. е. энергию черного излучения. Эту часть формулы можно было бы получить и без рассмотрения флуктуаций, путем соответствующего обобщения формулы Планка для черного излучения в пустоте. 14 Е.М.Л ф Ч,Л.П.П А 2 в ') Полная энергия получается интегрированием по 71ьб от О до оо; множители же 2 в квадратных скобках связаны с тем, что по принятому нами определению спектральных функций флуктуаций среднее значение (х ) получается интегрированием (хг) по 747Л772х от — со до оо (см. У,(122.6).
418 гл. тш эляктгомлгннтные Флткть'Ации Согласно последней, энергия черного излучения (в единице объ- ема) в интервале волновых векторов с(~)с дается формулой йы 2п" (с ев !т — 1 (2п)з (множитель 2 учитывает два направления поляризации). Соответственно для получения спектральной плотности энергии надо заменить с( )с на 4п)с ЙЙ и подставить )с = ш/с. Для перехода же от пустоты к прозрачной среде достаточно положить Й = пш)с, т. е.написать В2,О,,2 М „Рп' 1( )Д Жы се сЫ что и дает требуемый результат.
Задачи 1. Найти флуктуации электромагнитного вшибя вдали от тела, погруженного в прозрачную разреженную среду, с которой оно находится в тепловом равновесии; длина волны излучения и расстояние от тела к точке наблюдения велики по сравнению с размерами тела.'Гело обладает анизотропной электрической поляризуемостью пы(ы), Р е ш е н и е.
Разреженную прозрачную среду рассматриваем как вакуум. Искомые флуктуации определяются малым (на больших расстояниях) изменением вакуумной функции Грина, выЗванным приСутствиЕм тЕла. Для вычисления этого изменения исходим из аналогии, согласно которой вакуумную функцию Р ь(ш; г, г ) (при заданном индексе (с) можно формально рассматривать как электрическое поле Е,(г, г'), создаваемое в точке г некоторым источником, находящимся в точке г . Эта аналогия основана на том., что поле Е,(г, г') (как и его потенциал А;(г, г')) удовлетворяет при г ~ г' такому же уравнению, как и функция Р;ь(ав г, г') — уравнение (75.16) с е = 1. Пусть тело находится в точке г = О. Поле Е~(0, г ) = Рй(ы; О, г') г— н Р1ь(ы; г ) (где Рм(кч г) — гриновская функция в пустоте в отсутствие тела, даваеи мая выражением (77.6) с е = 1) поляризует тело, создавая тем самым в точке г = 0 дипольный момент б, = онРп(ш; О, г~).
Поле же, создаваемое, в свою очередь, этим дипольным моментом в точке г, и дает искомое изменение бРпь(ьд г, г ). Согласно известной из электродинамики формуле (см. Н, з 72), поле, создаваемое в точке г находящимся в точке г = 0 дипольным моментом Й (зависящим от времени как е ™), есть Е; =ф — бп+ причем расстояние т должно быть большим только по сравнению с размером ~ 77 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ 419 тела, но нс с длиной волны; это выражение можно представить в виде 2 и Е, = — — Рп(эб г) ф бс2 (напомним, что функция Ри(эд г) четна по переменной г). С написанным выше дипольным моментом находим, следовательно, 2 бР22(22; г, г') = — — Ри(ьд г)оп Рии(аб г'). без Искомые корреляционные функции флуктуаций даются теперь общими формулами (76.3) — (76.6) с бР,А вместо Р,ю Окончательно получаем и и 6(А А ) = — — + 1ш(Р 1(ай г2) ся Р А(ш; гэ)).
(Ц О~ (2) 2'2 (1 1 1 и и бс2 ~ 2 еь (т Напомним, что тело находится в точке г = О, а г2 н гз — две точки вдали от тела. Отметим, что вклад во флуктуации возникает не только от мнимой, но и от вещественной части поляризуемости; последний можно рассматривать как результат рассеяния на теле черного излучения, заполняющего прозрачную среду. 2. То жс для тела с магнитной поляризуемостью а,э (ш) ).
Решение. В этом случае рассматриваем гогпРд(22; г, г ) как магнитное поле Н;(г, г ), создаваемое в точке г источником, находящимся в точке г (уравнение того жс вида, что и для функции Ри, удовлетворяет не не само поле Н„а его потенциал А,). Это поле намагничивает тело, создавая в точке г = 0 магнитный момент т2 = — Ол го21 Р А(эд О, г ) (дифференцирование по г заменено дифференцированием по г' с учетом того, что Р „зависит только от разности г — г ).
Искомое жс изменение н 2 грнновской функции совпадает с векторным потенциалом магнитного поля, создаваемого этим магнитным моментом в точке г; А, = гоги ~- нне2 '~')' (см. Н, з 72, задача 1). Таким образом, 7 '2 5Р,2(ьд г, г ) = — гоги ) ои гос „Рлэ(эд О, г ).
г Наконец, подставив Р~и из (77.6), находим бР22(эд г, г ) = б госп он гос и (2) (использовано,что гос 27„ = е А„'(7227 = 0). ') Наличие магнитной поляризуемости не обязательно означает,что тело состоит из магнитного материала. Так, речь может идти о вытеснении магнитного поля из тела за счет скин-эффекта. 14* 420 гл. чш электгомхгиитные Флъ'ктъ'Ации 3. Определить флуктуации электромагнитного поля в условиях задачи 1, считая, однако, что температура среды много ниже температуры тела. Р е ш с н и е. Вычисленное в задаче 1 поле естественно делится, в соответствии с иаличисм двух членов в фигурной скобке в (1), на нулевые флуктуации и тепловое черное излучение.
Последнее, в свою очередь, состоит из двух частей — теплового излучения самого тела и поля, возникшего при рассеянии черного излучения среды на теле. Если температура среды низка, вторая часть отсутствует. Для решения задачи мы вычислим ее отдельно, а затем вычтем из (ц. Положим А(г) = Айй + А~0, где А~٠— флуктуационное поле в отсутствие тела, а А~0 — поле, рассеянное телом. На больших расстояниях, где А мало, можно при вычислении б(АпА22) пренебречь 00 членами квадратичными по Аб~. Для вклада от рассеяния имеем поэтому Рассеянное поле снова дается формулой из П, 2 72, но теперь под дипольным моментом надо понимать просто момент, индуцированиый черным излучением: ф = о2ьА„(0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
