IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 81
Текст из файла (страница 81)
С другой стороны, по определению поляризационного оператора, гриновская функция в рассматриваемом приближении изображается суммой 3 80 тензог напгяжеиий Влн-дег-Влальсовых сил 481 где светлый кружок поляризационный оператор Ргй(477. Вариация же этой функции дает, следовательно, диаграмму (80.7) с бР,ь~4п в качестве заштрихованного кружка. Все дальнейшие члены разложения в (80.3) представляют собой поправки различных порядков к штриховой линии и к кружку на диаграмме (80.5).
Эти поправки превращают штриховую линию в точную функпию Згь. Длинноволновые же поправки к бР,ь, как уже говорилось, малы, так что под бРгь сразу можно понимать вариалию точного поляризационного оператора. В аналитическом виде этот результат записывается (после перехода к фурье-разложению по переменной т) как ') бе=бес — ~~' 2 (Р1й(1э)г1~Г2)' — бРм(1э1Г2~Г1)гг х112 х2 (80.8) Согласно (79.17) изменение поляризационного оператора выражается (для изотропной среды) через изменение диэлектрической проницаемости; бРьг(би; г1, г2) = ~~ба б(г1 — г2) бе(г ~~.~ г1); наличие здесь б-функции устраняет одно из интегрирований в (80.8).
Учитывая также чстность функции Р,ь по (ю перепишем (80.8) в виде бг' = бгс — — ~~~ / ~~~Оп(1„,; г, г) бе(г' ~~,~, г) г(~х, (80.9) э=с где суммирование производится только по положительным зна- чениям л; штрих у знака суммы означает, что нулевой член дол- жен быть взят с множителем 1/2 (этот член имеет конечное зна- чение: множитель 1,~ устраняет расходимость в ЮИ при 1„= О). Для записи дальнейших формул будет удобно ввести помимо функции Ргь еще две другие функции: юга(1,,; г, г') = — ~,Реь(1,",; г., г'), (80.10) Р;~(~,; г, г') = го(Иго(Ь Ю1 (~,; г, г'), г) Мы не даем общего правила определения знака диаграмм типа (80.3) (диаграммы без свободных концов). В данном случае его легко установить, записав в явном виде соответствующие члены разложений в (80.3) и (80.6).
Достаточно, впрочем, заметить, что этот член в (80.3) содержит одну свертку пары А-операторов, а в (80.6) -- две пары; поскольку свертка одной пары дает — ьчю то диаграммы (80.3) и (80.7) имеют противоположные знаки, что и приводит к знаку минус в (80.8). 432 гл. уш ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ построенные по аналогии с выражениями (76.3), (76.4). Тогда БР запишется окончательно в виде бР = дГо + — ~ ~/ Хф~,; г, г) де(г (~,~, г) ~1йх. (80.11) Используем теперь формулу (80.11) для определения сил, действующих в неоднородной среде.
Изотропия среды уже была предположена; будем считать теперь ее также и жидкой, так что изменение состояния в каждой ее точке (при заданной температуре может быть связано лишь с изменением плотности р. рсдставим себе, что среда подвергнута изотермической малой деформации с вектором смещения п(г). Соответствующее изменение ес свободной энергии есть дГ = — /Йлд т, (80.12) где Г --- объемная плотность действующих на среду сил. С другой стороны, это же изменение можно определить из (80.11), выразив через тот же вектор смещения вариации бРо и бе.
Пусть Ро(р, Т) -. давление без учета ван-дер-ваальсовых поправок при заданных значениях р и Т: соответствующая плотность объемных сил есть Го = — ЧРо, так что бРе = ~иЯРо ~1йх, Далее, изменение плотности связано с вектором смещения уравнением непрерывности бр = — йу(рп). Поэтому изменение диэлектрической проницаемости бе = — бр = — — бйу (рц). де де др др Подставив это в (80.11), произведя интегрирование по частям по всему объему тела и сравнив затем получившееся для бР выражение с (80.12), найдем 4' = -т7Ро — — ~ р8гас1 ~Хф~,; г, г') — 1 . (80.13) 4к др1 Эта формула позволяет, в частности, сразу определить поправку к химическому потенциалу тела.
Для этого напишем условие механического равновесия; Г = О. При этом учтем, что при постоянной температуре ЦРе(р Т) = Р про(р Т) 3 80 тензОР ИАНРяжения ВАИ-деР-НААльсовых сил 433 где ре1р, Т) - невозмущенный химический потенциал тела 1т " масса частицы). Тогда получим это условие в виде рад = О, где р = 1йе(р., Т) + ~ ~Рп 1~,; г, г') —. 180.14) С другой стороны, условием механического равновесия всякого неоднородного тела является постоянство вдоль него химического потенциала; ясно, что выражение (80.14) и определяет этот потенциал.
Наиболее полное описание действующих в среде сил осуществляется, как известно, так называемым тензором напряжений Сйди СВЯЗаННЫМ С КОМПОНЕНтаМИ ВЕКтОРа Г СООТНОШЕНИЯМИ Уг— 180.15) дей Для преобразования выражения (80.13) к такому виду перепишем его сначала в форме Т ' д и — — 51г) — Р((1г, г) фх д*, 1в цслах кРаткости аРгУменты й'„и в пРомсжУточных фоРмУлах не выписываем). Первые два члена уже имеют требуемый вид. Третий же член представим как т 1, д д) — — ~е(г ) — + е(г) — ~ Р(( 1г, г ), фе ~ д*, д*;.)' разделив дифференцирования по первому и второму аргумен- ту функции Р((1г, г); отождествление г = г' произведем в кон- це вычисления.
Вычисление производится путем использования уравнений (см. 179.8)) Л(1 Р(ь(г, г') = — 4П бйь б(г — г'), Л',1 Ры 1г, г') = — 4х дйь Б(г — г'), где Лн = (, ~51г) б,( + го1ье го1 1 = ~~~ е(г) бй( + — бй(Ь. дх,де( В результате получим равенство (при г = г ) д и д Г и и( д н е — Рл — — 2 (15Рйь + Рйь( — — Рп дгм дей ' ' " де( 15 Е. М. Л ф иц, Л. П. П й 434 гл.
уш ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ и окончательно следующее выражение для тензора напряжений: О,А= — РЮдгЬ вЂ” — ~~' ~ — — ба ~Е(г~„Г) — Р " ~ Х>~~'(~,: Г, Г)+ т ( 1 ( . ае(г4..,т)) й А=О др + 2 ) ы1ше(ы) / г+~г о (80.18) +е(Ц„ г)Х>;„'(~,; г, г) — — б;ь71д (~,; г, г) + Ю,„(~,; г, г)) . 2 (80.16) Полученные формулы еще не имеют, однако, прямого физического смысла.
Дело в том, что функция Х>;ь(г, г ) стремится при г' -+ г к бесконечности, как 1/~г — г'~ (в чем легко убедиться с помощью уравнения (79.8)). Эта расходимость возникает от вклада больших волновых векторов (й 1/~г — г'~) и связана лишь с неприменимостью уравнения (79.8) при й ~ и. Это затруднение можно устранить, не вводя явным образом обрезания на больших й.
Для этого заметим, что коротковолновые флуктуации не имеют отношения к интересующим нас эффектам, связанным с неоднородностью среды. Их вклад в термодинамические величины в каждой данной точке тела одинаков для однородной среды и для среды неоднородной, но с тем же значением е(г) в данной точке. Для придания формулам однозначного смысла, не зависящего в действительности от характера обрезания, надо поэтому произвести в формулах соответствующие вычитания. Именно под гриновской функцией 'Аггь(~,; г, г) надо понимать пРедел Разности 1пп~ЮИЕ(~; г г') — Ю.
(~, г. г')), (80.17) где Ю,.ь .. гриновская функция вспомогательной однородной неограниченной среды, диэлектрическая проницаемость которой совпадает с проницаемостью истинной среды в данной точке г; этот предел уже не расходится. Во избежание излишнего усложнения записи формул оставим их в прежнем виде, подразумевая в них под Ю,ь уже разность (80.17). При этом Рп(р, Т) есть давление в неограниченной однородной среде при заданных значениях р и Т. Как в формулу (80.16), так и в уравнение (79.8), определяющее гриновскую функцию Ю,Ы свойства среды входят только через е(1~) - - диэлектрическую проницаемость как функцию мнимой частоты. Напомним в этой связи, что эта функция связана простым соотношением с мнимой частью диэлектрической проницаемости при вещественных частотах: е 881 молвкулягиыв взаимодайствия между твведыми типами 435 (см.
у'П1, 8 82). Можно сказать поэтому, что единственной макроскопнчсской характеристикой, определяющей ван-дер-ваальсовы силы в материальной среде, является, в конечном итоге, мнимая часть ее диэлектрической проницаемости. Формула (80.16) по виду в точности соответствует известному из макроскопической электродинамики выражению для максвелловского тензора напряжений в постоянном электромагнитном поле, причем квадратичные комбинации компонент Е н Н заменены соответствующими функциями — Р,.~ и — Ю,~. Этой аналогии нс следует, однако, придавать сли|пком глубокое значение: она отнюдь не означает существования для переменного электромагнитного поля как такового общего выражения для тензора напряжений в поглощающей среде (содержащего в качестве характеристики среды лишь ее диэлектрическую проницаемость).
В данном случае мы имеем дело не с произвольным электромагнитным полем, а с термодинамически равновесным собственным флуктуационным полем в среде. 8 81. Молекулярные силы взаимодействия между твердыми телами. Общая формула Применим полученные в предыдущем параграфе общие формулы к вычислению сил, действующих между твердыми телами, поверхности которых сближены до очень малых расстояний, удовлетворяющих лишь одному условию: они должны быть велики по сравнению с межатомными расстояниями в телах. Именно это условие позволяет подойти к вопросу с макроскопической точки зрения, в которой тела рассматриваются как сплошные среды, а их взаимодействие как осуществляющееся посредством флуктуационного электромагнитного поля.
При этом существенны те флуктуации, длины волн которых порядка 1 х величины характерных размеров задачи ширины щели между телами'). Вудем обозначать индексами 1 и 2 величины, относящиеся к двум твердым телам, а индексом 3 .. величины, относящиеся к пространству щели между ними (рис. 17). Щель будем предполагать плосконараллельной; ось х направим перпендикулярно ее плоскости (так что поверхностями тел 1 и 2 будут плоскости х = 0 и х = 1, где 1 -- ширина щели).
Сила г', действующая на единицу площади поверхности, скажем, тела 2, вычисляется как поток импульса, втекающего в тело через эту поверхность. Этот поток дается компонентой ') Результаты 5 81, 82 принадлежат Е. и. Лифчиичу П954). 15* 436 ГЛ. РП! электгомАГнитные ФлрктрАции оее электромагнитного тензора напряжений в пространстве щели, взятого при х = 1. В пустоте а = 1 и выражение о, из (80.16) сводится к ') Р О Я ~ ~ 1 ( ) и 1 ч 1 1 ) + Р и 1 ч 1 1 ) О к ( ч 1 1 ) + ~ =о +Р~(~ 1 1)+Ю~(~ 1 1) — Х~~(~ .1 1)1 (811) (индекс суммирования обозначаем в этом параграфе буквой и).
В силу однородности задачи в направлениях у и е функ- ЦИИ Ь2;Ь(1',а; Г, Г') ЗаВИСЯт ТОЛЬКО От РаЗНОСтЕй У вЂ” У' И Е вЂ” Х' (аргументы у — у' и е — г' в (81.1) не выписаны); Р,ь (1,„, с1; х, х') -- фурье-компоненты по этим переменным. Тогда А 1ь(с,„; г, г) = ~ с 1ь(~„, с1; х,х) " . 181.2) (зя)г ' ДЛя фуНКцИй Ю;Ь(1,о, Ей Х, Х') ураВНЕНИя (79.8) ПрИНИМаЮт вид (ось у направляем вдоль вектора с1) ы — —, Ю„(х, х') = — 42гб1х — х'), 4х2/ о1 — 9 — —, Юрр(х, х') + 2д — с,р(х, х') = — 4кб(х — х'), г 1 о2 Р~р(х, х ) + 2У вЂ” Ррр(х, х ) = О, 4х 1о~Ю (х, х') + тд — З,,1х, х') = — 42гб(х — х'), ГдЕ Ы = (Е1,„+ д ) 1~, а Е = Е(21,а), а Х' ИГраЕт РОЛЬ ПараМЕтра (компоненты же Юе, = Яре — — О, поскольку уравнения для них оказываются однородными). Решение этой системы сводится к решению всего двух уравнений ~2 юз — — ) Ю22(х, х1) = — 42гб(х — х'), (81.3) .*) о2~ — — 22рр(х, х') =, б(х — х'), (81.4) ) В промежуточных вычислениях полагаем о = 1, с = 1.
~ 81 молккрлягиык взлимодквствия мкждр твкгдыми ткллми 437 после чего Рку и Ркк определяются как щ ~1Р ( ~) об( ы2 ж ух Ю При этом надо учесть, что в силу (79.5) Ру (г, г') = Р у(г', т), н поэтомУ Рук(ч; х, х') = Рку( — 93 х', х). Краевые условия, соответствующие непрерывности тангенциальных компонент напряженности электрического и магнитного полей, сводятся к требованию непрерывности величин Руы Р,ы Руы Р,ы или, что то же, к непрерывности величин Н Н Руы Ры, го4у1 Ри~ го4м Рйе Используя первое из равенств (81.5), получим, что на границе раздела должны быть непрерывны д к 4 Р- — Р- Ру — — Руу. (81.6) 4х и <Ь Поскольку мы имеем в виду вычислить тензор напряжений лишь в области щели, то можно сразу считать, что 0 < х' < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
