IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 80
Текст из файла (страница 80)
В неоднородной среде поляризационный оператор является (как и ЭЗЬ) функцией координат двух точек. Повторив весь вывод в координатном представлении, получим вместо (79.14) уравнение ы Ь(Г1, Г2) = = Ю2в (Г1, Г2) + — ь'22 (Г1, ГЗ)РЬп(ГЗ, Г4)ь~ть(Г4, Г2)с( УЗЫ т4 4к,/ ) Для анизотропной среды надо писать Р22(~.; 14) = (4,'/йс')(422(2 !4.)) — б22) Отметим, что в таком виде это выражение остается справедливым и при наличии пространственной дисперсии, когда е,э зависит не только от частоты, но и от волнового вектора. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ ГЛ.
УП! (аргументы ~, для краткости не выписываем). Подействовав на зто равенство слева оператором д2 У2 — б„гЬ|+ —; 6„2 де2 дхп С и учтя, что Р(о~ удовлетворяет уравнению (79.8) с е = 1, получим 2 Рп(гы гз)Юп (г~, г2) с22~2; = (е(г1) — 1) — 'Юц,(гм г2), с откуда ~2 Рь(~,; гы г2) = — 'б2ьб(г2 — г2)~Е(2~~2~, г1) — 1]. (79.17) С 22~ Рсо = — — „, (е(2К.0- Ц, ЬС2 Ро' = ' ' ' [е(2 ~6.~) — 1) (79.18) Структура конденсированной среды, а с нею и ее диэлектрические свойства определяются силами, действующими между ее частицами на расстояниях порядка атомных размеров а. На зтих расстояниях можно (при нерелятивистских скоростях частиц) пренебречь запаздыванием взаимодействий, которое становится существенным лишь для длинноволновых (в смысле Йа « 1) компонент поля; другими словами, при вычислении пщгяризационного оператора можно пренебречь длинноволновой частью поля.
В диаграммах же для самой гриновской функции Р;ь длинноволновое поле фигурирует лишь через тонкие штриховые линии в правой стороне (79.12). Рассмотренный в этом параграфе трехмерный тензор Р,ь является, конечно, лишь пространственной частью поляризационного 4-тензора Р„,. Подчеркнем, во избежание недоразумений, что его временная Роо и смешанные 'Ро; компоненты отнюдь нс равны нулю. Более того, как и в квантовой электродинамике, зтот 4-тснзор вообще не зависит от калибровки потенциалов. В нерелятивистской теории эта калибровочная инвариантность очевидна уже из указанной только что возможности вычисления поляризационного оператора с учетом одних только незапвздывающих сил, не зависящих от калибровки длинноволнового поля.
Компоненты Рос и Рги можно найти из условия поперечности 4-тензора: Р ,Ы' = О, где 12" = (2~„ 1с) волновой 4-вектор: з 80 427 ТЕНЗОР НАПРН1КЕНИЙ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСОВЫХ СИЛ 8 80. Тензор напряжений ван-дер-ваальсовых сил Хотя структура конденсированных тел в основном определяется (как было отмечено в конце предыдущего параграфа) силами, действующими между его частицами на атомных расстояниях, определенный вклад в термодинамические величины тела (скажем, в его свободную энергию) вносят также и так называемые ван-дер-ваальсовы сильс силы, действующие между атомами на расстояниях, больших по сравнению с атомными размерами а.
Напомним, что для свободных атомов энергия этого взаимодействия убывает с расстоянием, как г' в (см. П1, з 89), а после того, как становятся существенными эффекты запаздывания, как г 1 (см. 117, 8 85). В конденсированной среде, разумеется, ван-дер-ваальсовы силы не сводятся к взаимодействию отдельных пар атомов. В то жс время тот факт, что их радиус действия велик по сравнению с межатомными расстояниями, позволяет подойти к вопросу об их влиянии на термодинамические свойства тел с макроскопической точки зрения.
В макроскопической теории ван-дер-ваальсово взаимодействие в материальной среде рассматривается как осуществляющееся через длинноволновое электромагнитное поле 1Е. М. Лифшиц, 1954); напомним, что это понятие включает в себя не только тепловые флуктуации, но и нулевые колебания поля. Важное свойство вклада этого взаимодействия в свободную энергию состоит в его неаддитивности: он не просто пропорционален объему тел, а зависит еще и от параметров, характеризующих их форму и взаимное расположение. Именно эта неадцитивность связанная с дальнодействующим характером ван-дер-ваальсовых сил, является тем свойством, которое выделяет их вклад в свободную энергию от гораздо большей ее аддитивной части.
В макроскопической картине происхождение этого свойства связано с тем, что всякое изменение электрических свойств среды в некоторой области приводит в силу уравнений Максвелла к изменению флуктуационного поля и вне этой области. Фактически, конечно, эффекты неаддитивности оказываются заметными лишь при достаточно малых (хотя и болыпих по сравнению с атомными размерами) характерных размерах: для тонких пленок, для тел, разделенных узкой щелью, и т.
п. При вычислении вклада электромагнитных флуктуаций в свободную энергию каждый раз существенны длины волн порядка величины характерных размеров неоднородности среды (толщина пленки, ширина щели и т. п.). Именно это обстоятельство является в макроскопической теории причиной степенного закона убывания ван-дер-ваальсовых сил; если бы были существенны флуктуации с некоторой фиксированной длиной волны Ло, то это 428 гл. пш элкктгомагннтные Флтктуации привело бы к экспоненциальному закону убывания сил с показателем г)ле. Далее, поскольку характерныс размеры, а с ними и характерные длины волн флуктуаций много больше атомных размеров, все свойства этих флуктуаций и их вклад в свободную энергию полностью выражаются через комплексную диэлектрическую проницаемость тел. Наша цель будет состоять в вычислении макроскопических сил, действующих в неоднородной среде').
В качестве предварительного этапа вывода начнем с определония изменения свободной энергии среды при малом изменении ее диэлектрической проницаемости (магнитными свойствами вещества будем пренебрегать, т. е. магнитная проницаемость )т = 1). Будем считать, что изменение е вызывается изменением гамильтониана системы на некоторое малое бН.
Тогда изменение свободной энергии дР = (бй), (80.1) где усреднение производится (при заданных температуре и объеме системы) по распределению Гиббса с невозмущенным гамильтонианом Й. Представим последний в виде') Й= Йо+Р Р = — 1тА0 х (80. 2) где Рдл описывает взаимодействие частиц с длинноволновым электромагнитным полем, а в Йо включены все остальные взаимодействия вместе с членами, отвечающими свободным частицам и фотонам (строго говоря, в интеграле в (80.2) должно подразумеваться обрезание на некотором волновом векторе ло«1/а; в окончательный результат, однако, параметр обрезания не входит).
Оператор А — оператор векторного потенциала длинноволнового поля; существенно, что ответственный за изменение диэлектрической проницаемости оператор ой не содержитв себе А, поскольку диэлектрическая проницаемость определяется лишь взаимодействием частиц на атомных расстояниях. Перейдем теперь в (80.1) к мацубаровским операторам в представлении, которое можно назвать «длинноволновым представлением взаимодействия»: зависимость операторов от т в этом представлении определяется всеми членами в гамильтониане, ) Излагаемая ниже теория принадлежит И.
Е. Дзллогпинсиому и Л. П. Питаеесиому (1959). ) В этом параграфе полагаем 6 = 1, с = 1. 5 80 429 тензОР ПАпРнгкеннй ВАн-деР-ВААльсоных сил 1(т 6Г = (ТтбН а)а., 11 = Тт ехр О,~мА™ дзх ат, (80.3) (а)е о где (...)е означает усреднение по распределению Гиббса с гамильтонианом Йо. Согласно смыслу выбранного представления, мацубаровские операторы определены как А (т, г) = ехр(тНе) А(г) ехр( — тйе) (80.4) и аналогично для 6Й и для ф-операторов, из которых составляется оператор тока частиц Зм'). Поскольку Йо не содержит взаимодействия длинноволновых фотонов с чем бы то ни было, то Ам совпадает с оператором (мацубаровским) свободного фотонного поля; для ф-операторов частиц это, конечно, не так, поскольку Йо включает в себя взаимодействие между частицами.
Следуя общим принципам построения диаграммной техники, разложим экспоненту в (80.3) по степеням Чд '). При этом в каждом члене разложения произведение операторов свободного поля Ам обычным образом усредняется в виде попарных сверток согласно теореме Вика. Нулевой член разложения, не содержащий Ам, дает ого изменение свободной энергии без учета длинноволновых флуктуаций. Следующий, линейный по Ам член обращается в результате усреднения в нуль. В квадратичном же по полю члене свертка двух операторов (А~А~~) дает Э,ь — гриновскую функцию свободных фотонов; этот член (а) можно изобразить диаграммой .©, 4р1г1 1 г (80.5) (выделен численный множитель 1/2!, возникающий при разложении экспоненты). Светлая штриховая кривая обозначает ') Индекс О, которым следовало бы снабдить дополнительно операторы в атом представлении, опускаем во избежание загромождения обозначений.
г ) Достаточно проследить за разложением числителя в выражении 6г'. Как обычно, роль множителя (11) с в знаменателе сводится к устранению диаграмм, распадающихся на две или более несвязанных друг с другом частей. за исключением лишь агля. Тем же способом, как и при выво- де (38.7), получим 480 ГЛ. ТШ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛККТЕАЦИИ А ( )-функцию, а заштрихованный кружок -- результат усреднения всех остальных множителей. Явный вид этой последней величины мы не будем выписывать; важно лишь, что это есть не что иное, как дР,А(4«Г, где 6Р;» изменение поляризационного оператора при изменении гамильтониана системы на 6Й. В этом легко убедиться, рассмотрев тем же способом изменение ь>-функции.
В том же представлении операторов эта функция дается выражением Ю,»(т>, г>, т2, г») = — (Т„Ам(ты гг)Аь (тгм гг) >г)о, 0»)а где теперь >/т >т = т ехр / ( — Р~~ — БЙ~) сьа во «взаимодействие» включается не только 1Глл, но и 5Й. Искомое изменение дР>» дается линейным членом разложения этого выражения по степеням 6Й бЮ>ь= ( Тт /бй йт А~(т>, г>)А~~(тз, гэ) ехр ~~~~А~йх Г1т>) . ,то, / lо (80.6) При разложении оставшейся экспоненты по степеням Рлл нулевой член должен быть отброшен: ему отвечает несвязанная диаграмма (свертка (АмАь>н ) отделяется от других множителей, не содержащих переменных гм гз).
Член первого порядка содержит нечетное число А-операторов и обращается в нуль при усреднении. Наконец, член второго порядка дает в бР;ь выражение, изображающееся диаграммой 6Р' =---©--- а> >ь (80.7) с тем же кружком, что и в (80.5) (множитель 1/2 в этом случае устраняется за счет двух способов свертки «внутренних» А-операторов, происходящих из операторов 4Гдл, с «внешними» А>Р> и А~~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
