IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 75
Текст из файла (страница 75)
) Частоту ы(0) = е(0)/Гг называют частотой антиферрвмегнитного резв- накса. 399 мАГноны В АнтиФеРРОмагнетике (СЬ. Кзззе1, 1951). Обратим внимание на то, что щель в спектре оказывается пропорциональной корню из константы анизотропии (а не ее первой степени, как в (70.12)). Поскольку малость релятивистских эффектов выражается относительной малостью константы анизотропии, то в антиферромагнетике эти эффекты, вообще говоря, существеннее, чем в ферромагнетике. Магнонный вклад во внутреннюю энергию антиферромагнетика вычисляется по формуле (71.3).
(Правая часть этого равенства должна быть удвоена, поскольку магноны имеют два направления поляризации.) В области температур е(0) « Т « Тм (74.16) (ТРà — температура исчезновения антиферромагнетизма, точка Нееля) можно пользоваться спектром (74.12). В одноосном кристалле 23(й) = 71а 7 (Г21(12 + Й„) + азй,). 4„2та С„, = 1г 15у37заз/2(гз гг2)3/223 (74.17) При температурах же Т «а(0) магнонный вклад в термодинамические величины экспоненцивльно мал. Для того чтобы определить температурную зависимость антиферромагнитного вектора Ь, добавим к энергии единицы объема тела член вида (74.18) где 2' сопряженное вектору Х вспомогательное поле, приложенное вдоль его равновесного направления. Тогда равновесное значение Ь можно определить, дифференцируя по С свободную энергию: Ь = — (1/1г)(дГ/дС)т. (Ср.
формулу (54.4)(см. Ъ') для случая магнитного поля.) В результате получаем аналогичную (71.4) формулу 7'маг ЦТ) — Т'(О) = — / — ~ т 3 ' (7 1'19) Наличие поля С приводит в законе дисперсии магнонов к замене Вычисление интеграла (71.3) приводит к следующему результату для магнонного вклада в топлоемкостен 4(Е гл. чп млгнвтизм ег(п) а~ — 1 а(п) к2 + с/1.. Дифференцируя, находим де 6 уйа дС 2е Подставляя в (74.18) и интегрируя, получаем окончательно для области температур (74.15): Т,(Т) — ЦО) =— 127г,гаг/г(о ог)ига' Заметим, что в обменном приближении интеграл (74.18), как и в случае ферромагнетика, расходится для двумерных систем, что приводит к разрушению антиферромагнитного дальнего порядка. Задача Найти спектр магнонов в одноосном антиферромагнетике типа «легкая плотность» (К ( 0).
Решение. Равновесный антиферромагнитный вектор Ве лежит теперь в плоскости перпендикулярной оси симметрии кристалла -- оси г. Выберем направление оси в вдоль Ье, Энергия анизотропии имеет вид Уан —— (К((п,1)г/2, где п, и далее пг — единичные вектоРы вдоль осей г и У. В выражении для Нг, появляется дополнительное слагаемое — (К((п,1)п„ так что первое из уравнений (74.11) и уравнение (74.12) не меняются, а второе уравнение (74.11) приобретает вид — ггыпг = — уй о(п)Й (1 и( — чг (К((п,1)п,.
В резулглвте для магнона с поляризацией вектора 1 вдоль оси у закон дисперсии имеет прежний вид (74.13), а для магнона с 1 вдоль г в формуле (74.13) он~ заменяется на он~ + (К(. Анизотропия в атом случае снимает вырождение по поляризациям. 3 74*. Антиферромагнитное состояние спинового гамильтониана В 372 мы видели, что в ферромагнитном случае можно точно определить энергию основного состояния спинового гамильтониана (72.1) и закон дисперсии элементарных возбуждений магнонов. Такое точное решение невозможно для антиферромагнетнка. Сама картина двух подрешеток с противоположно направленными спинами в их узлах носит, по существу, классический характер и нарушается возможностью обмена электронами между подрешетками. В результате этого суммарные проекции спинов подрешеток не имеют определенных значений и не являются хорошими квантовыми числами для характеристики основного и возбужденных состояний. 74 АнтиФеРРОМАГнитное сОстОяние спинОВОГО ГАмильтОнианА 401 Картина вставленных друг в друга ферромагнитных подрешеток может, однако, служить правильным нулевым приближением в квазиклассическом случае, когда спин каждого узла подрешетки велик.
В этом случае квантовые эффекты малы и нх можно учесть по теории возмущений.') Условие Я» 1 не выполняется для реальных антиферромагнетиков. Тем не менее решение этой задачи представляет болыпой интерес и излагаемый ниже метод полезен при исследовании многих вопросов теории магнетизма. Отметим, что в этой модели в простейшем случае взаимодействия только с ближайшими сосе- ДЯМИ ПРИ ОтРИЦатСЛЬНЫХ ЗНаЧСНИЯХ ОбМСННЫХ ИНТСГРНЛОВ,Упп1 В (72.1) заведомо возникает антиферромагнетизм.
Действительно, в первом приближении основное состояние определяется просто минимизацией этого выражения по направлениям классических векторов Яп. Минимуму соответствует состояние, в котором ближайшие соседи каждого узла имеют противоположное направление спина, т. е.принадлежат к другой подрешетке. Мы воспользуемся спиновым гамильтоннаном в форме (72.6) и в качестве первого шага выразим входящие в эту формулу опетаторы О„Я,, О через операторы с бозевскими правилами коммутации. Запишем спиновые операторы для спина Я в виде Б = ЛЯат 1 в , Б~ — — зУ 2Б а 1— Нетрудно убедиться в том,что егти операторы а+,а удовлетворяют обычным бозевским правилам коммутации аа+ — а~а = 1, то операторы У„Я Г и Я будут удовлетворять правильным соотношениям коммутации (72.4).
Имеем, например, 1/2 1о„о.ь1 = — ъ'2О 1 — у) 1а+, ауа = Уь 2о в соответствии со второй формулой (72.4). (1Ригурная скобка обозначает коммутатор.) Аналогичным образом можно проверить, что СО2 Я ОО + ОО2+ Я ООГОО+ 1) ') Теория возмущений при условии Я » 1 уже была использована в конце 173 для исследования взаимодействия магнонов. 402 гл. тп млгннтизм Наконец, из (74".1) следует, что, как это и должно быть, равен нулю результат действия оператора У» на состояние с максимально возможным значением Я, = Я (т.
е. с а а, = О), равно как и результат действия У на состояние с 5, = — Я, а«а = — 2Я. Таким образом, формулы (74*.1) дают обладающие всеми необходимыми свойствами точное представление спиновых операторов, причем операторы а+ и а имеют смысл операторов рождения и уничтожения в данном узле решетки «частицы» с проекцией Я, = — 1').
Начиная с этого момента нам будет удобно ввести разные обозначения для узлов, принадлежащим к разным подрешеткам. Будем нумеровать узлы первой подрсшетки векторными индексами а, а второй индексами 6. Направим ось квантования момента вдоль направления намагниченности подрешетки а. В рассматриваемом квнзиклассическом случае болыпих Я квантовые флуктуации малы и эта намагниченность близка к номинальному значению.
(Ниже мы вычислим поправку к этому значению.) Это означает, что оператор а+а, а следовательно и сами операторы а+ и а следует считать малыми величинами и пренебречь ими в подкоренных выражениях в (74*.1). В результате (74".1) приобретает вид У = ъУ2Ба, У» = 172Ба, Я, = Я вЂ” а'а . (74*.2) Что касается второй подрешетки, то ее намагниченность направлена вдоль отрицательного направления оси л. Поэтому для ее операторов справедливы соотношения в точности аналогичные (74*.2), но в системе координат х' = х., у' = — у, л' = — г. (Изменение знака, а также и оси у, необходимо для того, чтобы «штрихованая» система координат была правосторонней.) Штрихованные операторы очевидно связаны с обычными следующим образом о' = У, У' = Уж, У,' = — У,.
Поэтому, если ввести бозевские операторы 6ь уничтожения «частицы» с проекцией спина Я, = +1 на узле Ь, получаем для второй решетки вместо (74».2) формулы ~ь — = тг2У6ь, Ьь-~ = ъ~2У6ь, Зь, = — З+ 6~~6ь (74* 3) ') Предсгввление (74*.1) для сниновык операторов было найдено Холштейном и Примаковым (Т. НоЫе1п, Н. Р»1тпакои, 1940). Они же впервые применили преобразование (74*.Ц в теории магнетизма. Излагаемая приближенная теория антиферромвгнетизмз принадлежит Андерсону и Кубо (Р. Р«'.
Апйегзоп, 1952; Л. Кобо, 1952). 74 АнтиаеРРОмАГнитное сОстОнние спинОНОГО ГАмильтОниАнА 403 Подставим (74".2) и (74".3) в выражение (72.6) для гамильто- ниана, оставив лишь члены не выше второго порядка по опера- торам рождения и уничтожения. Суммирование по узлам первой и второй подрешеток должно производиться в отдельности. За- пись формул, однако, можно упростить, если нумеровать узлы подрешеток одинаковым образом, т. е. так, чтобы было г — г =гь — гь при а — а =Ь вЂ” Ь.
l 1 (В силу эквивалентности подрешеток тогда,У = .Уьь .) После этого можно обозначать индекс суммирования по узлам второй подрсшетки той же буквой а. Несложные вычисления дают в отсутствие внешнего поля: Й = Б (Уо Уо ) + л(УОН вЂ”,Уо )'~ (а "а, +6 "а )— а — (,Уа~,,(аа аа' + ба аа') +,Уаа,(аа 6а, + аа6а')) (74 .4) аа' Мы ввели здесь обозначение У а, для элементов матрицы .У в (Г) том случае, когда узлы а и а' принадлежат одной и той же подре- шетке и У „если они принадлежат к разным подрешеткам, (2) а Запишем теперь гамильтониан (74*.4) в импульсном пред- ставлении, для чего положим, как в (72.7), ~~~ = (2,(Я ) ~~~ е (га га') У11 ~ УГГ = ~~' е (га га') аа = ~/(2~Я) ~~1 е'~""а~„а~, = )(( 2,1Х) ~ ~е '~"ааа, (74*.5) а ат = ))У(2/Ж) ~~1 Е™а~~, а~Г = 1У( 2/Я) ~ ~Е 1"Гаат, а и аналогично для других величин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
