IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Ввиду быстрой сходимости интегрирование может быть распределено по всему 1«-пространству. Заменой переменных 1« = Ы Т убеждаемся, что зависимость й„ от Т и Я имеет вид й,, = Ъ'Т'УЯ(Т), (73.13) причем 110) и ~'(0) конечны. Отсюда следует, что поправочный мы тем самым усредняем по состоянию с заданными квазиим- пульсами магнонов. После этого статистическое усреднение по равновесному распределению магнонов осуп1ествляется интегри- рованием 393 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МАГНОНОВ член в намагниченности М з = — — — — сонэ( Т в=с (73.14) Такому же закону следует поправочный член в теплоемкости '). Мы видим, что взаимодействие магнонов приводит к поправкам в термодинамических величинах лишь в высоком приближении по Ту Тс.
Напомним, что основные члены в намагниченности и в магнитной части теплоемкости следуют закону ТЗУ2. Между этими членами и поправками от 11„существуют еще члены, пропорциональные Т572 и Т У2., происходящие от следующих членов разложения энергии магнонов е()с) ио степеням )с . С помощью полученных уравнений можно рассмотреть также вопрос о связанных состояниях двух магнонов. Эти состояния проявляются как дискретные (при заданном К) собственные значения уравнения (73.8). Как функции переменной К, эти собственные значения Е(К) представляют собой новые ветви элементарных возбуждений в системс.
Исследование показывает, однако, что эти состояния существуют только при достаточно больших значениях К; поэтому они во всяком случае не влияют на термодинамические величины фсрромагнетика при низких температурах '). Задача .У(1с) = 2 Уе(сов в,а+ сов1сва -> созь,а), где Уе — обменный интеграл для пары соседних атомов, в а — длина ребра кубической ячейки. При малых Ус 4 У(14) Уо 2 — а А + — (й, + 14„+ lс,) 12 ) Эти результаты (в общем случае произвольного спина) были впервые получены Дайсоном (Р, Вузоп, 1956). В изложенном выводе уравнения (73.5) мы следовали в основном Войду и Усаллавэю (В. У. Воуа, У.
Сайашау, 1965) . ~) См. М. ИУоггсз // Раув. Веч. 1963. Ч. 132. Р. 85. Речь идет о трехмерной решетке. В двух- и одномерном случаях связанные состояния мвгнонов существуют при всех значениях 1с. В предположении Б» 1 найти попрввочные члены от взвимодейетвия мвгнонов в намагниченности и теплоемкости для кубической решетки, в которой обменные интегралы отличны от нуля только для соседних (вдоль кубических осей) пвр атомов. Р е ш е н и е.
Каждый атом имеет шесть ближайших соседних атомов. По определению (73.7),находим 394 гл. ап млгнктизм Отсюда гу гг г1 112 111 )г2) (~1*~~2а ' '212~22 г ~1 ~2*) 41г (опущены члены, нечетные по 111 и 112). Энергия магнона (согласно (72.14)) е(1г) = оааа 12 -~-2Губ. Вычисление интеграла (73.12) приводит к следующим результатам: Мвз Зя4(3,Г2)4(5,г2) ( Т ) 15я4~(5гг2)11г ( Т М 2оз ( 4з'Яза г' о 1,4яоаа,) (4 -- дзета-функция).
3 74. Магноны в антиферромагнетике Антиферромагнетики характерны тем, что магнитные моменты всех электронов в пределах каждой элементарной ячейки кристаллической решетки взаимно компенсируются (в состоянии равновесия в отсутствие магнитного поля). Плотность магнитного момента распределена, строго говоря, по всему объему ячейки. Но в кристаллах антиферромагнитных диэлектриков с хорошей точностью можно считать, что фактически эта плотность локализована у отдельных атомов, каждому из которых можно приписать определенный магнитный момент.
Эти моменты, повторяясь периодически во всех ячейках, создают магнитные подрешетки автифсрромагветика. Различные антиферромагнетики очень разнообразны по своей структуре. Вопрос об их магнитном эноргстическом спектре мы рассмотрим на типичном примере кристалла с двумя магнитными атомами, расположенными в эквивалентных точках каждой элементарной ячейки (т. е.
в точках, переходящих друг в друга при каких-либо преобразованиях кристаллографической симметрии кристалла). Средние плотности магнитных моментов, образованных этими атомами подрешсток, обозначим через М1 и М2 и ввЕдЕм два вЕктОра М = М, + М,, Ь = М1 — М2. (74.1) В основном состоянии антиферромагнетика М = О, Ь ~ О, между тем как у ферромагнетика было бы М ф О, Ь = О. Подчеркнем существенную разницу между основными состояниями в обоих случаях.
В обменном приближении, в основном состоянии ферромагнетика проекции спинов всех магнитных атомов имеют определенные (наиболыпие возможные) значения Я, = Я, чему соответствует номинальное значение намагниченности М. В основном же состоянии антиферромагнетика намагниченности 396 гл. хп млгнвтвзм где мы ввели эффективное поле Нь, соответствующее антиферромагнитному вектору Ь, согласно б~ = — /НьЛ. ~л~, (74.6) и использовали формулу (74.3) для варьирования по М. Окончательно уравнение для М принимает вид 'а4 = 7[ЬН,)+ (ам).
(74.7) Отметим некоторые общие свойства уравнений (74.4) и (74.7). Нетрудно проверить, что движение, описываемое этими уравнениями, является бездиссипативным. Действительно, диссипация энергии равна г— ' '= ( ~) =-) н,~нг~-') а~а и в силу (74.4) и (74.7) обращается в нуль. Далее, из уравнения (74.4) очевидно следует, что дЬэ/д~ = О. Как и должно быть, длина вектора Ь остается постоянной. Наконец, умножая (74.4) на М, а (74.7) на Ь и складывая, находим, что дЬМ/д~ = О, так что вектор М перпендикулярен Ь.
Для определения эффективнго поля Нн и угловой скорости й надо установить вид свободной энергии кристалла. В обменном приближении свободная энергия должна быть инвариантна относительно одновременного поворота всех магнитных моментов (и следовательно векторов Ь и М) относительно кристаллической решетки. Вместе с предположенной кристаллографической эквивалентностью положений двух магнитных атомов в ячейке отсюда следует также и необходимость инвариантности относительно перестановки М1 и М2, т. е. относительно преобразования Ь -+ — Ь, М вЂ” ~ М.
Ввиду инвариантности свободной энергии при этом преобразовании также и Нь -+ — Нь, й -+ й. Существенно, что в рассматриваемом нами длинноволновом пределе магнитный момент М является малой величиной. Это ясно уже из того, что если вектор Ь постоянен в пространстве, в обменном случае никакого магнитного момента, естественно, не возникает. В результате мы должны учесть члены не выше второго порядка по М и по первым производным Ь. Выражение, удовлетворяющее поставленным условиям, имеет вид (74.8) где коэффициент а положителен в соответствии с тем, что в 397 мАГноны В АнтихеРРОмАГнетике равновесии должно быть М = О. В [74.8) опущены члены, которые можно свести к написанным интегрированием по частям.
Члены, квадратичные по дМу'дап можно не учитывать, поскольку они заведомо малы по сравнению с М . Варьируя интеграл (74.8) (и произведя в нем интегрирование по частям), получим НЬ = — ГГ;Ь, й = уаМ. дхЬ 2 дх,дхА (74.9) В заключение отметим, что уравнение (74.7) для магнитного момента можно переписать в виде уравнения непрерывности (69.11). Тензор потока момента имеет теперь вид П„=7пь Ьд 1 дхй 1 1' Ь = Х 0 + 1 = иЬ+ Х, М ь— е гп, где 1 и гп — малые величины, и единичный вектор в равновесном направлении вектора Ьо. Линеаризованные уравнения движения (74.4) и (74.7) имеют вид — = Ь [йи], = уь [иНь] (74 10) Здесь учтено, что второй член справа в уравнении (74.7) тождественно равен нулю. Величины же й и Нь линейны по малым переменным и в них достаточно просто заменить 1 и М на 1и тп. Для плоской монохроматической спиновой волны уравнения движения (74.10) дают — иЛ = — уьа [гпи] — илп = — уьа(п)й [Хи], (74.11) где снова (как и в ~ 69) а(п) = ГГуьп,пь, п — единичный вектор в направлении 1с.
Умножив первое из этих уравнений векторно на и, получим уьагп = — ио [1и], (74.12) Мы видим, что в рассматриваемом случае длинных волн вектор гп действительно мал по сравнению с 1. Подстановка же этого Уравнение же для Ь, разумеется, не имеет вида уравнения непрерывности, поскольку «антиферромагнитный момент» ] Ь Л1 не сохраняется. Рассмотрим теперь малые колебания магнитных моментов, для чего положим 398 гл. чп млгнвтизм выражения во второе уравнение сразу приводит к следующему закону дисперсии спиновых волн: ш = "~Ай [а а(п)) ~ . (74.13) Таким образом, частота спиновых волн, а тем самым и энергия магнонов е = 6ы в антиферромагнетике в обменном приближении пропорциональны й, а не й~, как в ферромагнетике ').
Уравнения (74.11) устанавливают однозначную связь между 1 и пт, но обе компоненты 1 (в плоскости, перпендикулярной гг) остаются произвольными. Это значит, что спиновые волны имеют два независимых направления поляризации. Из уравнений (74.12) и (74.13) видно, что гп й(а/а)1791 « 1. Относительная малость тп уже была использована выше. Для учета магнитной анизотропии надо сделать более конкретные предположения о характере симметрии кристалла. Мы будем считать, что кристалл имеет одноосную симметрию, причем равновесное направление Ь совпадает с осью симметрии '). Выберем ее направление за ось ю Ввиду малости вектора гп достаточно учесть анизотропию, связанную с вектором 1.
Это также позволяет пренебречь, в отличие от ферромагнетика, возникающим при колебаниях магнитным полем. При сделанных предположениях плотность энергии анизотропии 17 „ = Х1~/2, причем Л ) О. Ее учет приводит к появлению дополнительного члена — Х1 в эффективном поле Нг„ которое для плоской волны становится равным Нг. = — [а(п)й~+ Х[1. (74.14) Отсюда видно, что с учетом анизотропии закон дисперсии спиновых волн получается из (74.12) заменой ай~ на ай~+ Л. В результате при й + О энергия магнонов будет стремиться нс к нулю, а к конечной величине ') е(О) = 6"~Ьъ' аХХ (74.15) ) Такой закон дисперсии для антиферромагнетиков впервые получен Хюльтеном (Ь.
Нивен, 1936). Вывод, использующий макроскопическое рассмотрение намагниченностей подрешеток, дан М. И. Когановььм и В. М. Цукерником (1988). г ) К такому типу относится антиферромагнетик ГеСОз, имеющий ромбоздрическую решетку (кристаллический класс ьгзз) с двумя ионами ге в элементарной ячейке. Магнитные моменты этих ионов направлены вдоль оси третьего порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
