IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 72
Текст из файла (страница 72)
2. Определить зависимость намагниченности от внешнего поля при условиях Я » 4лМ, Т » ~39. Решение. В указанных условиях можно пренебречь релятивистскими членами и писать е(1с) в виде (70.11). Продифференцировав выражение (71.4), находим лМ 4)4г (т 4» ь дя Т / (е 1т — 1)г (2к)з В интеграле существенны малые 1с. Поэтому Вй,/ ег (2я)з (2х)г,/ (о1огМо 4 й)г о (полагаем о = соней Мо — значение М при Я = 0) и окончательно дМ Т 00 бх(аМо)з/г0»!г' Таким образом, в рассматриваемых условиях М вЂ” Мо сс .9 гзг 3 о72 магноны в твггомагнвтикв. твгмодинамнчвскнв ввличнны 381 3.
Определить зависимость намагниченности при Т = 0 от внешнего поля в слабых полях. Решение. Дифференцируя интеграл (71.11) с е(1с) из (71.10) по Я, получим дМ 4х~дМо сйп 6 в~й дЯ (( аМоко + 4яМо э1п' д + Я)( аМок' + Я))о~' (2п)' При Я вЂ” э 0 интеграл по пх расходится логарифмически при малых й. Поэтому, ограничиваясь логарифмической точностью, можно положить в первом множителе в знаменателе й = О, Уз = О, а во втором Уз = О, но при этом обрезать интеграл снизу при й Уз/аМо и сверху — при й 4л/а. В ре- 2 2 зультате получим дМ д 4хМо 1и дЯ 32ь/лМо ао7о Напомним, что в (71.10) пренебрежено К. При Я « КМ в логарифме Я заменяется на КМо. 4.
В обменном приближении определить пространственную корреляционную функцию флуктуаций намагниченности на расстояниях г )) а. Р е ш е н и е. Операторы т, и то, удовлетворяющие правилу коммутации (70.6) и выраженные через операторы уничтожения н рождения магнонов, имеют вид (в шредингеровском представлении) т (г) = (ЗМ/Ъ)~~~ ~~~ (аье'ь'+йьье ™), то(г) = 1(дМ(У) ~~ (аье* — а„е * ), С помощью этих операторов вычисляем корреляционную функцию 3чь(г) = — (т,(го)ть(го) -~ ть(го)т~(го)), г = го — го 2 (индексы 1, й пробегают значения х, р).
Учтя, что отличныс от нуля диа- гональные матричные элементы имеют только произведения (йь аь) = пь, (аьаь ) = пь + 1 (где ьь — числа заполнения состояний магнонов), находим ,1о ь 1о ь(г) = б ь ~ 2дМ (пь + — ) е ь" 2 (2п)э Подынтегральное выражение прямо дает фурье-компоненту корреляцион- ной функции. Постоянный член в ней можно опустить: ему соответствует б-функционное слагаемое в д,ь(г), метлу тем, как все рассмотрение отно- сится лишь к расстояниям г » и. Таким образом, у,ь(1с) = 2дМпьб,ь = 2дМ(ец"В~ — 1) ' ба В классическом пределе,при е « Т,находим уоь(1с) = боьТ(ах~.
В кубическом ферромагнетике а = сопв1, и тогда ~ров(г) = б;ьТ(4хаг, г » (дМа~Т) ~~. 382 гл. гн млгнвтизм 9 72. Спиновый гамильтониан Для получения закона дисперсии магнонов во всем интервале изменения квазиимпульса (а не только в длинноволновом пределе) необходимо, разумеется, использовать более детальные представления о микроскопической структуре ферромагнетика. Рассмотрим диэлектрик, состоящий из атомов с равным нулю орбитальным моментом, но отличным от нуля сливом Я. Если не интересоваться высоко возбужденными состояниями, связанными с возбуждением электронных оболочек атомов, можно усреднить гамильтониан системы по орбитальным переменным электронов атомов в основном состоянии (и при закрепленных в узлах решетки атомных ядрах).
В результате мы получим спиновый гамильтониан системы, содержащий лишь операторы полных спинов атомов'). Если учитывать только обменное взаимодействие, занисищсе лишь от относительных ориентаций спинов, то операторы векторов сливов атомов могут входить в гамильтониан лишь в виде скалярных комбинаций.
Существенный методический интерес представляет исследование системы, описываемой простейшим гамильтопианом такого рода: Ноб = ~~' упп«НпКп«~,Упгп =,У(гп ггп), (72.1) гпмнп где суммирование происходит по всем атомам; «векторные» (с целочисленными компонентами) индексы гп и и нумеруют узлы решетки; г„их радиус-векторы. Числа 1„~ называют обменными интеграл ми (ср. 111,9б2, задачи)').
При независимом суммировании по гп и и каждая пара атомов встречается в сумме (72.1) дважды, причем, конечно, 1„~ = 1~„. В (72.1) все магнитггые атомы в решетке предполагаются одинаковыми (по одному в каждой элементарной ячейке). Основное же предположение, лежащее в основе такого гамильтониана, состоит в достаточной взаимной удаленности атомов в решетке. Обменный интеграл определяется «перекрытием» волновых функций двух атомов и очень быстро (экс1юнснциально) убывает с увеличением расстояния между ними. Для системы 1 ) Такая процедура аналогична тому, как строятся гамильтонианы отдельных атомов, описывающие тонкую структуру их уровней — ср. П1, З 72. ) Описание обменного взаимодействия спиновым гамильтонианом было введено Дираком 1Р.А.М.
Нггас, 1929). Гамильтониан (72.1) введен ван Флеком (Х Н, еап Иеск, 193Ц; его обычно называют гейзенберговским, поскольку он соответствует модели ферромагнетика, впервые рассмотренной Гейзенбергом. 383 спиновыя ГАмильтоннхн (72.2) (ось я . в направлении поля). Оператор 2 Я „ проекции полно- ГО СПИНа СИСТЕМЫ КОММУтатИВЕН КаК С Йоб, таК И С Р; СОСтОЯПИЯ системы можно поэтому классифицировать по собственным значениям этой величины. В ферромагнитном случае основному состоянию отвечает наибольшее возможное значение проекции суммарного спина, равное Гу'Я, где Х число атомов в системе (это не связано, конечно, с наличием внешнего поля, которое лишь выделяет избранное направление оси). Пусть уо .
- нормированная спиновая волновая функция основного состояния. Максимальное значение й7Я проекции полного спина может достигаться, лишь если и проекция спина каждого атома имеет свое максимальное значение Я. Поэтому то есть в то же время и собственная функция каждого из операторов Я„,; )со = Яхо (72.3) Введем необходимые для дальнейшего операторы Яь=Я жгЯю удовлетворяющие правилам коммутации Я+Я вЂ” У Я+ — — 2Я„Я,Яь — ЯьЯ, = ~Яь (72.4) (см. П1, (26.12)). Их матричные элементы; (Я.Ф-ьА — 1) = (Я. — 1Ф-Ф.) = (72.5) ) В таких условиях суммирование в (72.1) должно производиться, конечно, лишь по парам соседних атомов. Этим, однако, запись формул никак не упрощается, и потому мы не будем учитывать зто условие явным образом.
взаимно удаленных атомов можно поэтому считать взаимодействие парным, в связи с чем в (72.1) отсутствуют члены с произведениями операторов спина более чем двух атомов. С этой же точностью можно считать, что обменное взаимодействие между двумя атомами осуществляется каждый раз всего одной парой электронов —. по одному из каждого атома. Тогда оператор взаимодействия будет составлен билинейно по операторам спинов электронов, а после усреднения по состояниям атомов билинейно по атомным спинам (С.
Неггзпй, 1966) '). Система, описываемая гамильтонианом (72.1), ферромагнитна, если обменные интегралы ушп > О. Определим энергию основного состояния такой системыДопустим при этом наличие также и внешнего магнитного поля У1, добавив к (72.1) оператор 384 магнетизм гл. Тп (см. Ш, (27.12)); оператор У ~ увеличивает, а У - уменьшает на единицу значение проекции о',. Далее, пишем Е Е„=У,Е„,+ — (У,Е„+У У„) 2 и затем Й = — — ~ ,7 „(У ,Я„, + Я Я„е) — 273Уз ~ У „ (72.6) шип гп где использована симметрия .7гпп = .7ппг и коммутативность операторов, относящихся к разным атомам. Поскольку операторы Упт имеют матричные элементы лишь для переходов с увеличением чисел Я„то для состояния с наибольшими значениями этих чисел Я ЕХо = 6 (72.7) (что видно также и из явных выражений матричных элементов (72.5)).
Поэтому при воздействии гамильтониана (72.6) на волновУю фУнкцию хо полУчастсЯ вт~ = ( — 2 3 „Я вЂ” одоко)~ . гп~п Выражение в скобках и есть энергия Ео основного состояния. Заменив суммирование по ит и и суммированием по пг и по «1 = и — ги, запишем окончательно Ео в виде Ео = — — )17Ф ~~,7ч — 21Е717У). (72.8) чФО Полный магнитный момент системы в этом состоянии есть 2Щ)17.
Следующее, в порядке уменьшения проекции полного спина, состояние системы отвечает значению 1175 — 1 указанной проекции; оно соответствует возбуждению одного магнона с магнитным моментом — 2,9. Таким значением проекции полного спина обладает состояние с волновой функцией (2о') 7 о' -Хо, (72.9) в котором воздействием оператора Уп уменыпена на 1 проекция спина одного из атомов '). Эта функция, однако, не является ') Нормировку функции (72.9) легко проверить, заметив, что Ф»-Хо)" Ф--Хо) = Хо~. ~--Хо = ФФ-+~--Ф) = = (Я)Я„т)Я вЂ” 1)(Я вЂ” 1(Я„)Я) = 2о.
385 спиновый ГАмильтониАн ;си = (2й~~) ~ ~,е "Еи-,"со и (72.10) (множитель Х и ~ -- нормировочный). Постоянный вектор 1с есть не что иное, как квазиимпульс магнона. Энергия е(1с) магнона есть разность Еь — Ео между энергиями возбужденного и основного состояний системы. Поэтому (Й ео)же = е(1)А' Подставив в левую сторону этого равенства выражение (72.10) и заменив затем Еого на Йсо, получим е(1с),д, = (2%Я) ~7~ ~~~ е'~Г" (ЙУП вЂ” Уи Й)Со. (72.11) и Стоящий здесь коммутатор легко вычислить, записав Й в виде (72.6) и использовав правила коммутации (72.4). Снова учтя симметрию коэффициентов,У, „, найдем ЙЙП вЂ” Ьи Й = ~ ~.7 и(Я,߄— Я„,Я )+2~М„. (72.12) Наконец, подставив это выражение в (72.11), вспомнив (72.3) и перейдя к суммированию по с1 = и — п1, получим Выражение в фигурных скобках есть искомая энергия магнона.
Мнимая часть выражения под знаком суммы, будучи нечетной функцией гч, обращается в нуль в результате суммирования, так что окончательно е(1с) = 5' ~~'„,Уч(1 — соз1сгч) + 2~~ ч~о (72.13) (Р. В1осй, 1930). 13 Е. М. Л ф ц, Л. П. П с А собственной функцией гамильтониана системы; в ней не учтена еще трансляционная симметрия рс|пстки. Собственная функция гамильтониана должна быть построена как линейная комбинация функций (72.9) со всеми номерами п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
