IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Этой величиной можно пренебречь по сравнению с решеточным вкладом в энергию кристалла. 9 68. Электронный спектр вблизи точки вырождения В этом параграфе мы покажем на простых примерах, каким образом можно, исходя из соображений симе!етрии, найти вид энергетического спектра электронов или дырок в полупроводнике (или диэлектрике) вблизи определенных точек )с-пространства (обратной решетки), выделенных по своей симметрии '). Рассмотрим решетку, относящуюся к кубическому кристаллическому классу Оь, и будем интересоваться свойствами энергетического спектра вблизи точки )с = Π— вершины кубической ячейки обратной решетки; эта точка имеет собственную симметрию полной точечной группы Оь.
В качестве первого примера рассмотрим спектр без учета спина электрона, и пусть в самой точке )с = О уровень энергии в зоне двукратно вырожден, относясь к неприводимому представлению Е группы Оь '). При выходе из точки 1с = О вырождение снимается; задача состоит в нахождении всех ветвей закона дисперсии е(1с) вблизи этой точки. В 9 59 было объяснено, каким образом можно рассматривать отклонение от некоторой точки 1с = )се в )с-пространстве как возмущение.
Конкретный вид оператора возмущения для нас здесь несуществен. Достаточно знать лишь структуру выражений, определяющих поправку к энергии в каждом порядке по малой величине с1 = )с — )се (в данном случае )се = О, так что с1 = )с). В первом порядке поправки определяются сскулярным уравнением, составленным из матричных элементов (для переходов между состояниями, относящимися к одному и тому же вырожденному уровню) от оператора вида )су, где 7 некоторый векторный оператор.
В данном ш!учае ввиду наличия в группе симметрии центра инверсии все матричные элементы оператора 'у заведомо обращаются в нуль, так что эффект первого порядка по 1с отсутствует (ср. У, 9136). Во втором порядке 1 ) Ьез учета спина электрона этот вопрос формально тождествен с таким же вопросом для энергетического спектра фононов в кристалле; см. У! Э 136. ) Обозначение представлений точечных групп см.
Ш, З 9б, 99. з 68 ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР ВБЛИЗИ ТО !КИ ВЫРО2КДЕНИЯ 357 по 1с поправки к энергии определяются сскулярным уравнением, составленным из матричных элементов от оператора вида (68.1) где у,ь некоторый тензорный (симметричный по индексам г, !Б) эрмитов оператор; сюда входят поправки от линейных по к членов в гамильтониане во втором приближении теории возмущений и поправки от квадратичных по 1с членов в первом приближении.
Среди матричных элементов оператора (68.1) заведомо существуют отличные от нуля, но требования симметрии накладывают на них определенные связи. В смысле своего закона преобразования при операциях симметрии волновые функции, составляющие базис представления Е, можно выбрать в виде 'Фг т +ы у +и!Б, У!! Х +Н!У +!В В, где и! = е~~'!~, Б!~ = и!, 1+ы+ыз = О, знак означает здесь слова «преобразуется как!е Поворот Сз вокруг диагонали куба преобразует координаты согласно х, у, Б — + В, т, у; при этом функции !(!!, !(!з преобразуются как Поворот С4 вокруг ребра куба (преобразование т, у, г — Р т, — В, у) преобразует функции согласно С4: Ф! -+ Фз Фз †! 4ч и т.п.
При инверсии координаты х, у, В меняют знак, а функции ф!, фз не меняются. Отсюда легко сделать вывод, что все матричные элементы от недиагональных компонент 7;ь обращаются в нуль, а матричные элементы от диагональных компонент сводятся к двум независимым вещественным постоянным: (1 ! У, ! 1)=(2 / У, / 2)=(1 ! 7„„! 1)=...
=А, (1 ~'ухх ~2)=(2 ~'ухх ~1)— = В, (1~ 7„В ~2)=ыВ! (1 ~ ухх ~2)=н!~В. Теперь матричные элементы оператора (68.1): (1 ~ ~' ~ 1) =(2 ~ 1' ~ 2) =Айз, (1 ( 'Р' ! 2)=(2 ! 'Р' ! 1)"=В(1ЗИ+!В~~+БРКР'). Составив по этим матричным элементам секулярное уравнение 358 электРоны В кРистллли »еской Решетке и решив его, получим две ветви спектра: е! 2(ь) е(О) А)с2 л-В ()се 3()с2)с2+)с2)с2+ йг)с2)2)!!2 (68 2) Вырождение снимается при выходе из точки )с = О во всех направлениях, за исключением направления диагонали куба (й. = й„ = й,) ). В качестве другого примера рассмотрим спектр с учетом спина электрона; при этом уровням энергии отвечают двузначные (спинорные) представления группы симметрии. Пусть в точке )с = О уровень четырехкратно вырожден, отвечая неприводимому представлению Р' (или Р') группы Оь ').
Функции базиса этого представления можно выбрать так! чтобы они преобразовывались как собственные функции»1!~ (ги = — !', ..., !) момента !' = 3,12'). Это обстоятельство позволяет применить следующий прием, существенно упрощающий решение задачи (Х М. ЙЕ11туег, 1956). Для четырехмерного представления матрица оператора (68.1) будет равна 4 х 4, с 16 элементами.
Всякую такую матрицу можно представить в виде линейной комбинации 16 заданных линейно независимых матриц 4 х 4, в качестве которых выберем 15 матриц 2 3 2 2 У'*, У. 12* М- Ь, 12*, У', — Л 1»- и получающихся из них циклическими перестановками индексов т, У, е и матРицУ Вв, Ве, У,1» 1 (символ (...~» означает аитИКОММУтатОР). ЗДЕСЬ эв, УЮ ~, МатРИЦЫ ДЕКаРтОВЫХ КОМПО- нент момента у' = 3/2, взятые по отношению к четырем функци- 212 ям»)) . С другой стороны, при таком выборе функций базиса следУет считать, что сами опеРатоРы Ув, ую Ух пРеобРазУютсЯ при поворотах и отражениях как компоненты аксиального вектора. !) Тот же результат (б8.2) получается и для представления Е„(в точке к = О).
Вообще закон дисперсии вблизи заданной точки всегда одинаков для представлений, отличающихся друг от друга лишь умножением на какое- либо из одномерных представлений группы (в данном случае е =еехАг„). Очевидно, что в таких случаях матричные элементы дпя переходов между различными функциями базиса связаны друг с другом одинаковыми связями. ) Такая ситуация имеет место для дна дырочной зоны в алмазе, кремнии и германии, которые все имеют решетку одинакового типа. э) В задаче в 111,299 показано, что неприводимос представление П!эпа полной группы вращений остается неприводимым и по отноп!ению к группе О, совпадая с се представлением П'. 3 68 ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР ВБЛИЗИ ТОЧКИ ВЫРО?КДЕНИЯ 359 Это обстоятельство позволяет записать оператор Р,квадратич- ный по Й„йю Й„составив его из выражений, инвариантных по отношению ко всем преобразованиям группы Оь: 1Р = 3 ?к2+43 ~й2 2+ ь?,2 2+ ь?2 2)+ + 1?3('к,'Е„Ц„у'„)4 + И„'к )ую у',)4 + И,й,~д'„у',~ ), (68.3) где А ~32, ??3 — вещественные постоянные.
Матричные элементы оператора. (68.3) по отношению к функциям 3/2 3/2 3,?2 3/2 ?Р1 ???3/21 ???2 Ф1/2 ~ ?Р3 ??? — 1/2? Ф4 Т вЂ” 3(2 легко вычисляются теперь по хорошо известным матричным элементам момента (они даются формулами П1, (29.7) — (29.10)). Такое вычисление приводит к следующим выражениям: 944 = ф1 + 3~32)(/42 + й2) + (Д + 9,6~) й2, ~" 3 = (А + 7?32Нй,' + й„') + (А + А) й,', — Р34 = — дзк А+За,), /з 2 Р24 = 2 1 Зр21КР— К~) + — р34К ?гю Р23 = О. Р22 = (68.4) Р13 = 114 = (68.5) Комбинируя эти два набора, мы можем, следовательно, нало- жить на величины у„одно дополнительное условие, в частно- сти — обратить в нуль одну из них; пусть ~р4 = О.
Тогда уравнение (68.5) с п = 4 даст Р41ч?1 + ?'421Р2 + 1 43У3 О. Подставив отсюда значение уз в уравнения с и = 1, 2, получим Составление секулярного уравнения можно упростить, заметив, что расщепление уровня заведомо не может быть полным должно оставаться двукратное (крамсрсовское) вырождение. Это значит, что каждый корень Л = е(14) — е(0) секулярного уравнения (собственное значение матрицы 1т) будет двойным. Другими сло- вами, каждому собственному значению Л будет соответствовать два линейно независимых набора величин у„(п = 1, 2, 3, 4) решений уравнений 360 электРоны В кРистллли 1есксй Решетке ГХ!. 1 1 систему всего двух однородных уравнений с двумя неизвестны- ми ез1 и 1Р21 с 1 11 Р41 Р13/Р43 Р12 г42 Р13/Р43 ~(1Р1 ) Л (1Р1 ) 121 — Р41 123/143 "'22 — 142 123/143! ~1'Р2/ 1,1Р2/ (уравнение же с п = 3 нс дает ничего нового).
Таким образом, задача о собственных значениях 4 х 4-матрицы сводится к задаче для 2 х 2-матрицы. Составив для нес секулярное уравнение и решив его (со значениями 1г„из (68.4)), получим Л = — (111+ Р22) ш [ — (Р11 — Р22) + 1Р121 + ~~'13~ 1 1 112 2 или окончательно е 2(14) — е(0) = АЕ2 ~ ф1с4+ Сф) 2+ гс212+ й2й2))1!2. (68 6) где А = Д + ба, В = 16Д2, С = 3 ( †)83 — 16,32) (С. Югеззейаиз, А. Г. Кгр, СЬ. К1Ие1, 1955). Уровень расщепляется при выходе из точки 14 = 0 во всех направлениях'). Остановимся кратко на вопросе о виде уравнений, описывающих поведение частиц вблизи вырожденного дна зоны в магнитном поле.
Для определенности будем иметь в виду второй из рассмотренных в этом параграфе случаев спектр (68.6). Прямое использование гамильтониана, составленного из (68.6) по общему правилу (56.7), натолкнулось бы на затруднения, связанныс с нсаналитическим характером спектра вблизи точки 14=0. Эти трудности можно обойти, если произвести замену 14 — + 14 = К вЂ” еА/бс не в (68.6), а в матричном гамильтониане (68.3) (для сохранения эрмитовости при этом должна быть произведена симметризация по компонентам 14).
Каждый матричный элемент гамильтониана превращается после этого в линейных дифференциальный оператор, действующий не только на спиновые индексы, но и на аргументы функций 1Р„(К) в уравнениях (68.5), которые превращаются, таким образом, в систему четырех линейных дифференциальных уравнений.
') Напомним, что применение теории возмущений к состояниям одного только вырожденного уровня предполагает малость интервалом е(к) — е(0) возникающего распгепления по сравнению с расстояниями до соседних зон, в том числе тех, которые отщепились из-за спин-орбитального взаимодейСтвия.
8 68 электРОВный спектР ВБлизи то 1ки ВыРО»кдения 861 Для учета спиновых эффектов при наличии магнитного поля к гамильтониану (68.3) надо еще добавить члены, непосредственно зависящие от Н, которые не определяются соображениями калибровочной инвариантности. Поскольку поле считается слабым, добавляемые члены должны быть линейны по Н; в то же время в виду предполагаемой малости к они не должны зависеть от М (ср. 859). В данном случае общий вид таких членов, инвариантных относительно всех преобразований симметрии кристалла, таков: ДН2+ ~б(НД.'+ НВу„з+ НД,'), (68.
7) В заключение этого параграфа упомянем об интересной ситуации, возникающей, если одна из соприкасающихся в точке вырождения 1«0 зон является зоной проводимости, а другая валентной зоной. Энергетическая щель в спектре такого типа равна нулю; для рождения электрона и дырки с импульсами, близкими к 1«0, достаточно сколь угодно малой энергии. Такис кристаллы являются в определенном смысле промежуточными между диэлектриком и металлом. Энергетическая щель отсутствует, но электронные и дырочные состояния не разделены только в одной точке К-пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
