IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Тонкая сплошная линия на этих диаграммах обозначает гриновскую функцию С й (1, г! — г2) (О) свободных электронов — не взаимодействующих ни с другими электронами, ни с решеткой. Согласно (9.6), эта функция удовлетворяет уравнению (! — + — '+ )т) С (1, г! — г2) = б„,~б(()5(гт — г2). д! 2т Применив слева к уравнению (14.4) оператор (...) и перейдя затем к фурье-компонентам по времени, получим искомое уравнение ( Ж)... з ! ш+)г+ — С,„в(ш; гы г2) — / Е„.,(ед гм г ) С,д(ш; г, г2) !1 х = 2т/ = Б,~б(г! — г2). (62.5) 329 ГРиновскАя Функци51 эт!ектРОНОВ В меГАлле Вблизи полюса С-функции (по переменной ы), правая часть уравнения может быть опущена, и получается однородное интегро-дифференциальное уравнение, собственные значения которого и определяют энергетический спектр системы.
При этом индекс )э' и переменная г2 не затрагиваются никакими операциями, т. е. играют в уравнении роль несущественных параметров. Для определения спектра можно писать поэтому уравнение вида') (от+)А+ — );~ (г) — /е (ы; г, г'))( (г') Г( т' = (ы — Х))т(г) = О. 2тп (62.6) Для электронной ферми-жидкости в металле оно заменяет собой обычное уравнение Шредингера. Его собственпыс значения определяют, как уже сказано, спектр согласно ы = е(тс) — )А; соответствующими же собственными функциями являются функции )т 1,(г) из (62.4) (как это очевидно из прямой подстановки (62.4) в (62.5)).
Поскольку затухание возбуждений вблизи ерми-поверхности мало, оператор Х при малых ы эрмитов с точностью до членов порядка ы). Для перехода к случаю наличия слабого внешнего магнитного поля надо заметить, что при калибровочном преобразовании векторного потенциала т(т-операторы преобразуются как волновые функции (ср. (44.3), (44.4)), а потому гриновская функция С 51(пт; г1, г2) преобразуется как произведение т)т-функций т(т(г1) тд*(г2). Это значит, что и функция )((г) в (62.6) должна преобразовываться как обычная т))-функция. Но, проследив за произведенными в 6 56 рассуждениями, легко обнаружить, что в них использованы только периодичность решетки кристалла, общие свойства. калибровочного преобразования и тот факт, что энергетический спектр определяется по собственным значениям некоторого гамильтониана; роль последнего играет в данном случае оператор Х в (62.6)').
Поэтому ясно, что и результат-- ') Для микроскопически однородной ферми-жидкости это уравнение в импульсном представлении сводится к уравнению (14.13) '" + и = е~ ~ (р) + ь(ьт р). ) Может показаться существенным отличием в этой связи, что в (62.6) оператор Х сам зависит от ьт. В действительности это означает лишь неявный способ записи Гамильтониана.
При малых а5 (вблизи фермиповерхноети) можно перейти и к явной записи, разложив Ь Ье + этЬ1 1 и умножив затем уравнение йеХ = а5(1 — Ьт) Х слева на оператор (1 — бт) ззо ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИ 1ЕСКОй РЕШЕТКЕ !"Х!. ! ! правило перехода от спектра в отсутствие поля к спектру при наличии слабого поля будет тем же: новый спектр определяется по собственным значениям гамильтониана е (К вЂ” — 'А(г)), г = !' —, (62.7) где е(к) —. спектр в отсутствие поля.
Разумеется, смысл самой функции е(к) теперь отличается от ее смысла в (56.7) в ней учитывается коллективное взаимодействие всех электронов в системе. Далее, поскольку проведенное в э 57,58 рассмотрение квази- классического случая целиком основывалось на существовании гамильтониана вида (62.7), то и эти результаты непосредственно переносятся на электронную жидкость.
При этом, однако, возникает вопрос о том, что именно следует понимать под напряженностью поля, действующего на электрон проводимости (а тем самым и под векторным потенциалом А). Строго говоря, это должно быть точное микроскопическое значение поля, создаваемого в данной точке г всеми электронами (и внешним полем). Но в квазиклассическом случае характерные размеры ги области, в которой происходит взаимодействие («ларморов радиус орбитэ), велики по сравнению с порядком величины межэлектронных расстояний (совпадающим с постоянной решетки а). Это обстоятельство приводит к автоматическому усреднению микроскопического поля.
Происхождение этого усреднения можно пояснить следующими рассуждениями. Представим микроскопическую напряженность в виде суммы ее среднего значения (которое, по принятой в макроскопической элсктродинамике терминологии, есть магнитная индукция В) и быстро меняющейся части Й. Векторный потенциал, отвечающий однородному полю В, возрастает на всем протяжении размеров орбиты, принимая характерные значения Вгл. Потенциал же, отвечающий осциллирующему на расстояниях а полю Й, не возрастает систематически и набирает лишь значения Ва, которыми можно пренебречь по сравнению с Втл. Между тем, как было объяснено в э 56, именно потенциал поля определяет квантование движения электронов.
Таким образом, мы приходим к выводу, что достаточно учитывать лишь потенциал А однородной индукции В = го1 А,которая и будет играть роль действующего на электрон поля (АА ЗЬоепбе~у, 1962). Мы увидим ниже (конец Э63), что это обстоятельство может привести к некоторым новым явлениям в намагничении металлов. 661 ЭФФект де ГААЭА — ВАн АльвенА Таким образом, правило квазиклассического квантования (58.7) для электронной жидкости в металле записывается как Я(е, е) = ' В(п+ Ч, (62.8) где теперь Я(е, й,) площадь сечения истинных изоэнергетических поверхностей электронов проводимости металла (близких к его ферми-поверхности).
Как и в задаче об одном электроне в решетке с центром инверсии '), учет спина электронов проводимости приводит к расщеплению уровней в магнитном поле на две компоненты: еве(йт) = ео(й ) + а~6Я )В, о' = ~1. (62.9) Величина Д1с,) представляет собой результат усреднения некоторой функции ~(1с) по квазиклассической траектории.
При этом, с достаточной точностью, все траектории можно считать лежащими на самой ферми-поверхности, так что результат усреднения зависит только от и,. Подчеркнем, что для электронной ферми- жидкости отличие величины ~(й,) от единицы (ее значения для свободных электронов) связано не только со спин-орбитальным взаимодействием,пои с обменным взаимодействием электронов друг с другом. 6 63. Эффект де Гааза — ван Альвена Магнитная восприимчивость металла в слабых магнитных полях (1зВ « Т, Д .— магнетон Вора,  — магнитная индукция) не может быть вычислена в общем виде.
Дело в том, что в рамках теории ферми-жидкости можно рассматривать только парамагнитную (спиновую) часть восприимчивости: эта часть определяется электронами проводимости вблизи ферми-поверхности, поскольку спины электронов в глубине распределения взаимно скомпенсированы. В диамагнитную же (орбитальную) часть восприимчивости вносят вклад все электроны, в том числе из глубины распределения, где понятие квазичастиц в теории ферми-жидкости уже теряет смысл. Между тем обе части восприимчивости, вообще говоря, одного порядка величины, а реальный физический смысл имеет только их сумма.
Обратимся к «сильным» полям, когда т<6В«д, (63.1) ') Фактически кристаллические решетки всех металлов обладают центром инверсии. 332 Э!!ЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИ 1ЕСКОЙ РЕШЕТКЕ !"Х!. 1 ! т. е. интервалы между уровнями Ландау сравнимы с температурой, но все еще малы по сравнению с химическим потенциалом. В этом случае пара- и диамагнитная части намагниченности вообще не могут быть разделены, но здесь ситуация меняется в том отношении, что в намагниченности металла появляется осцилляционная зависимость от напряженности поля (эффект де Гааза— еан Алъвева) '). Монотонная часть намагниченности и здесь зависит от всех электронов в металле и не может быть вычислена в рамках теории ферми-жидкости.
Осциллирующая же часть намагниченности определяется, как мы увидим, лишь электронами проводимости в окрестности ферми-поверхности и может быть рассмотрена в общем виде (И. М. Лифшиц, А. М. Косевич, 1955). Именно эта часть и будет интересовать нас здесь. Осцилляционная зависимость намагниченности от поля является следствием квантования уровней энергии орбитального движения элсктронон. Но квантованию подвер!аются только состояния, отвечающие движению электронов по замкнутым (в 1с-пространстве) траекториям.
Поэтому вклад в осцилляционную часть термодинамических величин возникает только от электронов проводимости на замкнутых сечениях изоэнергетических поверхностей плоскостями, перпендикулярными заданному направлению поля. Мы будем считать, что на этих сечениях выполняется условие квазиклассичности, т. е.что определяемые равенством (62.8) числа п велики: !бсЯгб~ е ~В >> 1.
(63.2) Для типичных ферми-поверхностей в металлах линейные размеры сечений 1ббп, так что Я а ~, и тогда условие (63.2) заведомо выполняется (ср. примечание на с. 302). Квазиклассические уровни даются (с учетом спина) выражением (62.9), где еи(й,) — решения уравнения (62.8); каждому уровню отвечает число состояний, даваемое формулой (58.10). Поэтому статистическая сумма, определяющая термодинамический потенциал й (функция гб, Т и объема 1г системы), имеет вид — Е й и= — Г!'! А' А ! 1»- б" '"'б'!)11,.
(бб.б! И б.бт Индекс э нумерует отдельные листы изознергетической поверхности; этот индекс и знак суммирования по нему ниже для краткости опускаем. Интегрирование по !бе, производится по такому ') Ср. Ъ', 160, где этот эффект расснвтрявался для Идеального электронного газа. 333 эФФект де ГААЭА — ВАн АльвенА ОО ОО ОΠ— Р(0)+~Р(п) = / Р(х)йх+2Ве ~~ ~Р(х)ет™дх. (63.4) в=1 о '=' а Первый член этой формулы, примененной к (63.3), дает неосцил- лирующий вклад в Й; опустив его, пишем Г) ~'(й"'опе С, 4ГГО сб (63.5) где 1~ .— осциллирующая часть интеграла 1~ = ~Г)п~Ьь (1+ ехр и '"( ') ) е2 и" сй, (63 6) 0 и введено также обозначение )А = р — НЯВ.
Для дальнейшего преобразования введем функцию к ) слЯ(е, к,) 1 2и(е (В 2 (63.7) (ср. (62.8)) и перейдем от интегрирования по Йп в (63.6) к инте- грированию по Ж: 11 = О)п (1+ ехр и )~с~ и" —" с()с, с(е; (63.8) 0 выбор нижнего предела интегрирования по де (условно положенного равным нулю) безразличен, так как в интеграле все равно будет существенна лип~ь окрестность значения е = )з,„. Поскольку функция п(а, к,) велика, экспоненциальный множитель в подынтегральном выражении в (63.8) — быстро осциллирующая функция Й,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
