IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 66
Текст из файла (страница 66)
ниже) конечной затраты энергии. Испускание же квази- частицей фонона (акустического) возможно, липгь если скорость и квазичастицы не меньше скорости звука и (см. примечание на с. 347). Возможные значения энергии электронов проводимости е" (1с) и дырок еио(1с) тоже заполняют зоны. Шириной энергетической щели в диэлектрике обычно называют сумму Ь = е ';„+ е ";„ <> ро наименьших возможных значений энергий электрона и дырки. Поскольку электрон и дырка появляются или исчезают вместе, то реальным смыслом обладает именно эта сумма, а не величины е ';„и е ";„по отдельности; обычно условно полагают е ";„= О.
(Е) ио Минимальные значения энергии могут достигаться для электронов и дырок при одном и том же или при различных значениях квазиимпульса 1с = 1со; в первом случае говорят о примой, а во втором о непрямой щели. Если уровни энергии в зоне невырождены (или вырождены только двукратно по спину как следствие симметрии по отношению к обращению времени), то вблизи своего минимума функции е(1с) имеют вид где с1 = 1с — 1со, а тгь и тзь тензоры эффективных масс элек- Ж тронов и дырок.
В литературе электронную зону нередко называют просто зоной проводимости, а вместо дырочной зоны говорят о валентной зоне, которая в основном состоянии кристалла полностью заполнена электронами. Возникновение пары квазичастиц электрона и дырки . - рассматривается при этом как результат перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости с оставлением дырки на покидаемом месте. На болыпих (по сравнению с атомными) расстояниях электрон и дырка притягиваются по закону Кулона. Поэтому они могут образовывать связанные состояния. Совокупность связанных электрона и дырки представляет собой электрически ) Затухание же при конечных температурах, разумеется, всегда имеется из-за рассеяния на других квазичастицах.
352 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИ 1ЕСКОЙ РЕШЕТКЕ 1"Л. ! 1 нейтральную квазичастицу, т. е. экситон. При заданном значении квазиимпульса связанным состояниям отвечают дискретные уровни энергии системы электрон+дырка; каждый уровень отвечает одной из зкситонных энергетических зон. Энергии экситонов расположены, таким образом, под энергиями электроннодырочных возбуждений (энергетическая щель в указанном в начале параграфа смысле не совпадает поэтому с величиной Ь, а меньше ее на величину, равную максимальной энергии связи зкситона) ').
Уровни энергии экситона легко вычислить в предельном случае слабо связанных состояний, когда средние расстояния между электроном и дыркой велики по сравнению с постоянной решетки а; такой экситон называют экситонол! Ванье-.Мотта. В обратном же предельном случае, когда расстояние между электроном и дыркой порядка атомного, говорят об экситоне Френкеля; разумеется, экситон Френкеля можно рассматривать как связанное состояние электрона и дырки лишь формально. Рассмотрим диэлектрический кристалл кубической симметрии.
Для экситона Ванье Мотта можно считать, что электрон и дырка притягиваются по закону Кулона, причем роль остальных атомов в решетке сводится лишь к созданию однородного диэлектрического фона, ослабляющего взаимодействие в е раз, где диэлектрическая проницаемость кристалла (взятая для значений частот, отвечающих по порядку величины энергии связи экситона); другими словами, энергия взаимодействия электрона и дырки записывается в виде П = — е (ег. Пусть щель в спектре прямая и для простоты будем считать, что минимумы энергий электрона и дырки лежат при )с = О.
В кубическом кристалле тензоры эффективных масс сводятся к скалярным константам т, и ть, так что е" (1с) = Ь+, епо(1с) = ', (бб.2) 2т, 2!пл В конце 2 56 было указано, что движение частицы в кристаллической решетке с наложенным на нее медленно меняющимся в пространстве внешним электрическим полем описывается уравнением Шредингера с гамильтонианом, в котором роль кинетической энергии играет функция е(к).
Поскольку в данном случае функции зев(к) — ст и е'А'(к) совпадают по форме с кинетическими энергиями обычных свободных частиц, то и уравнение Шредингера рассматриваемой системы совпадает по форме с таковым для системы двух обычных частиц, взаимодействующих 1 ) Экситонные состояния обладают, однако, конечным временем жизни, так как электрон и дырка могут рекомбинировать с испусканием, например фонона или фотона. 363 элвктРОны и дыРки В ПОЛРПРОВОдниклх по закону Кулона, т.
е. с уравнением Шредингера задачи об атоме водорода. Мы можем поэтому сразу написать уровни энергии системы,т. е. энергию зкситона в виде ( С. Н. Игаппгег, 1937). Первый член в этом выражении есть энергия движения зкситона «как целого» с квазиимпульсом 1«. Второй же член дает энергию связи электрона и дырки в зкситоне (т = т,ть/(т, + ть) — — приведенная масса системы).
При заданном 1« дискретные уровни энергии системы сгущаются по мере увеличения энергии к границе непрерывного спектра. Условие применимости формулы (66.3) состоит в требовании достаточно болыпой величины «РадиУса оРбиты> тех ггзепз/тез » а. Это условие заведомо выполняется при больших п, но в кристаллах с большим е может выполняться и для п 1').
В заключение этого параграфа вернемся к упомянутому в ~61 утверждению о существовании нижней границы для плотности числа электронов проводимости в полуметалле. В диэлектрике, где электроны и дырки прн Т = 0 отсутствуют, возможность образования ими связанных состояний означает лишь появление новых ветвей энергетического спектра. В компенсированном же металле такая возможность означала бы, что состояние со свободными электронами и дырками не является низшим, т, е, спектр металлического типа был бы неустойчивым.
Возможность образования связанных состояний устраняется экранировкой кулоновского взаимодействия между электроном и дыркой находящимися «между ними» другими квазичастицами. Другими словами, среднее расстояние между квазичастицами должно быть порядка величины или меньше размеров зкситона г,„(в его основном состоянии). Обратим внимание на то, что устанавливаемый этим требованием нижний предел допустимых для металла плотностей числа электронов и дырок падает с уменьшением их эффективных масс. 3 67. Электроны и дырки в полупроводниках Энергетический спектр чистых (или, как говорят, собственных) полупроводниковых кристаллов отличается от спектра диэлектриков только в количественном отношении меныпими ') Интересно отметить, что вблизи верхнего края (максимума) зоны, где аффективные массы отрицательны, могут образовывать связанные состояния два электрона (или две дырки).
Энергия таких состояний лежит в запрещенной области выше максимума суммарной энергии электронов. 12 в.м л ф «,л.п.п э«« 354 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИ 1ЕСКОй РЕШЕТКЕ 1Ч!. ! ! значениями щели гл, в результате чего при обычных температурах в полупроводнике имеется значительная (по сравнению с диэлектриком) плотность носителей тока. Ясно, что это различие условно, и к тому же зависит от интересующей нас области температур'). В примесных (или легированных) полупроводниках дополнительным источником электронов или дырок являются атомы примесей, для которых энергетическая щель по отношению к отдаче электрона в решетку (донорнал примесь) или его захвата из решетки (акцепторнал примесь) оказывается меньше, чем энергетическая щель в основном спектре. Рассмотрим подробнее вопрос о связи между величиной щели А1 и плотностью электронов проводимости и дырок в полупроводнике (или диэлектрике).
Попарное возникновение или исчезновение электрона (е) и дырки (и) можно рассматривать, с термодинамической точки зрения, как «химическую реакцию» е + Ь 1-- 0 (основное состояние кристалла играет роль «вакуума»). По общим правилам (см. !г, 9101) условие термодинамического равновесия этой реакции записывается в виде и. + )АЬ = О, (67.1) где )г, и )гь химические потенциалы электронов и дырок. Ввиду сравнительно небольшой плотности электронов (пе) и дырок (пь) в полупроводнике (при Т « га) распределение Ферми для них с большой точностью сводится к распределению Больцмана, так что электроны и дырки образуют классический газ').
Из условия (67.1) следует тогда обычным образом (см. Ъ',9101) закон действующих масс, согласно которому произведение равновесных плотностей п,пь = К(Т), (67.2) где справа стоит функция температуры, зависящая только от свойств основной решетки, на атомах которой и происходит рождение и уничтожение электронов и дырок; эта функция не зависит от наличия или отсутствия примесей. Вычислим функцию К(Т), приняв для определенности, что энергии электронов и дырок являются квадратичными функциями квазиимпульса (66.1). Распределение электронов (в единице объема) по квазиим- ) Приведем значения энергетической щели ст для некоторых полупроводников; Б! — 1,17, Се — 0,74, 1пВЬ вЂ” 0,24, СаАэ — 1,52, РЬЯ вЂ” 0,29эВ. Для типичного диэлектрика алмаза А = 5,4»В.
) Плотности электронов и дырок в полупроводниках при обычных температурах составляют 10'э — 10"! см 1, в то время как в металлах они составляют 10»~ — 10»э см 355 элвктРОны и дыРки В полгпРОВОдниках (в виду быстрой сходимости интегрирование можно распространить до бесконечности). Вычислив интеграл, находим (67.3) ~ 24зйз / Аналогичным образом, получим (67.4) Наконец, перемножив оба выражения и учтя (67.1), получим искомый результат (гп гпз) уз — Л/Т (67.5) 2хзбз В собственном полупроводнике, где все электроны и дырки возникли парами: ( )324 (67.6) '2К 'збз Приравняв же выражения (67.6) и (67.3), найдем химический потенциал электронов ") зз ЗТ тз Ззе — + 2 4 т, (67.7) ) В литературе ату величину часто называют уровнем Ферми.
Подчеркнем, однако, что химический потенциал электронов в полупроводнике отнюдь не имеет того смысла граничной энергии,которым он обладает в металлах. пульсам дается распределением Больцмана (множитель 2 учитывает два направления спина). Переход к распределению по энергиям осуществляется заменой Ч Газ Ал .4 (2х)з з.газ где т, = (т1тзтз) ~, а тм т2, тз главные значения тензоз,~з ра эффективных масс пззв~. Полное число электронов в единице объема, следовательно, равно зсг и ч т, елз!2 / уге д и — 447Ггзе е е Ь 356 ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИ 1ЕСКОй РЕШЕТКЕ 1"Л. ! 1 Что касается вклада электронов и дырок в термодинамические величины полупроводника, то при Т « Ь он экспонснциально мал. Учитывая, что на рождение одной пары электрон дырка требуется энергия, близкая к Ь, имеем для злектроннодырочного вклада во внутреннюю энергию Ееь = Ъ'пе!А с пе из (67.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
