IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 70
Текст из файла (страница 70)
) В этой главе )1 везде обозначает магнетон Бора: б = ~ е ~6/(2тс). В формализме вторичного квантования макроскопические величины, описывающие ферромагнетик, заменяются операторами, выраженными через операторы уничтожения и рождения ~70 371 МАГНСНЫ Е ФЕРРСМАГНЕТНКЕ. СПЕКТР магнонов. Покажем, как зто должно быть сделано для магнонов (70.4). Приведем в соответствие с классической величиной М векторный оператор М, компоненты которого удовлетворяют определенным правилам коммутации. Пусть Я(г)бЪ' — оператор суммарного спина атомов в физически бесконечно малом элементе объема д~' в точке г. Операторы Я(ГГ)бЪ~ и Я(гз)дрэ, относящиеся к различным элементам ЯГ1 и бРЕ, коммутативны. Компоненты же одного и того же оператора В(г)6$' удовлетворяют обычным правилам коммутации момента; Я,бЪ' ЯЕ5Ъ' — Я„б~' Я,б$' = 45,5Ъ', или Бейте — ЯРЯР = гЯ,/Й1 (и аналогично для остальных коммутаторов).
В пределе с1' — + 0 эти правила записываются для любых г1 и гэ в едином виде Я,(г1)ЯР(ге) — Яе(ге)Я,(г1) = гЯ,(г1) б(гт — ге). Умножив теперь это равенство на 4р' и заметив, что оператор намагниченности М = — 2~ЯЯ, получим М,(г1)МК(гэ) — Ме(г2)М,(г1) = — 21ЯМ,(г1) б(г1 — гэ). (70.5) В применении к спиновым волнам, в которых М испытывает малые колебания вокруг оси е, в первом приближении по малым величинам т, те можно заменить в правой стороне (70.5) оператор М, числом М, — М; тогда т (г1)те(г2) — те(г2)т,(г1) = — 24ЯМ 5(г1 — гз).
(70.6) Отсюда видно, что величины те и те играют (с точностью до постоянных множителей) в данном случае роль канонически сопряженных «обобщенных координат и импульсов» подобно тому, как у и р' играли такую же роль при квантовании звуковых волн в жидкости (З 24). Подчеркнем, однако, существенное отличие между обоими случаями. Правило коммутации (24.7) для фононных операторов является точным, не связанным с малостью колебаний (т, е, с малостью чисел заполнения фононных состояний). Правило же (70.6) является приближенным, справедливым лишь в первом приближении по малой величине гп. Исходя из правила коммутации (70.6) и соотношения между операторами т и тю отвечающего линейным уравнениям (70.1), можно найти выражения этих операторов через операторы уничтожения и рождения магнонов, подобно тому как это было сделано в 3 24 для фононов (см.
задачу 4 к 3 71). 372 млгнвтизм гл. чп Вернемся к изучению спектра магнонов и обратимся к учету влияния релятивистских эффектов на этот спектр. Теперь уже необходимо учитывать и магнитное поле Н, возникающее при колебаниях М. Оно будет того жс порядка малости, что и сп; обозначим его здесь как Ь. Уравнения Максвелла (69.10) дают [1сЬ[ = О, 1сЬ = — 4к1спт. Отсюда видно, что поле Ь направлено вдоль волнового вектора и равно Ь = — 4к(пгп)п.
(70.7) Подставив (70.7) в последние два члена подынтегрального выражения в (69.5), получим — гпЬ вЂ” ~ = 2к(пгп)~ (70.8) вгг (здесь опущен член МсЬ, который ввиду потенциальности поля Ь при интегрировании по всему объему преобразуется в интеграл по поверхности и обращается в нуль); эту часть энергии анизотропии в спнновой волне иногда называют магнитостатической. Пусть ферромагнетик одноосен и относится к типу «легкая осьэ, так что Мо направлено вдоль оси симметрии кристалла (ось л); Мо = иМ. Имея в виду дальнейшие применения, допустим также существование внешнего поля Я, параллельного тому жс направлению и; при этом образец надо представить ссбс как цилиндр с осью вдшгь и.
Тогда поле внутри тела Н = Я + Ь. Линеаризованное уравнение движения (которое мы выписываем уже умноженным на гг) — геьп = 29М (( ай~ + К+ — ) [ип1) — [иЬ)) . (70 9) Для одноосного кристалла а = агвш о+ аз сов д, где д — угол 2 между 1с н и. Подставив сюда Ь из (70.7), расписываем уравнение в компонентах (причем ось т удобно выбрать в плоскости, проходящей через направления и и п). Из условия совместности получающихся двух уравнений для т и тя находим закон дисперсии е(1с) = 23М '[(ай~+ К+ — ) (ай~+ К+ — + 4кв1п 0)1 (70.10) 373 МАГНСНЫ В ФЕРРСМАГНЕТИКЕ.
СПЕКТР е(1«) = 2рМ а(п)й~+ 2~33. (70.11) Первый член здесь совпадает с чисто обменным выражением (70.4). Внешнее жс поле добавляет к энергии магнона просто член 293. В этом приближении,сеедовательно,магион обладает проекцией момента на Ме, равной — 2~3. Возбуждение в теле каждого магнона уменьшает полный магнитный момент тела на 2,3. В обратном случае, цри 1« -» О, выражение (70.10) стремится к отличной от нуля величине, равной (при 9 = 0) е(0) = 2ДМК(1+ — Е1п~ О) (70.12) Отметим, что благодаря наличию члена сйпзд = йе/й~ разложение е(1«) по степеням компонент 1«не имеет простого степенного характера; это связано с дальнодействующим характером магнитных взаимодействий. Выражение вида (70.10), выведенное здесь для одноосного ферромагнетика (типа «легкая ось»), справедливо и для кубических кристаллов.
Это следует из того, что изменение энергии анизотропии при малых отклонениях вектора М от своего равновесного направления имеет в обоих случаях одинаковый вид. Так, для кубического кристалла с Х' > 0 изменение бС'е„при отклонении М от направления Мо вдоль ребра куба зависит только от угла д между М и МЕ и равно бУ„Н = Л'М~д~. Сравнив это с аналогичным выражением ПУ „= ХЙХздз/2 для одноосного кристалла, мы видим, что для перехода к случаю кубического кристалла с К' > 0 достаточно заменить в (70.10) К вЂ” » 2Х'. Аналогичным образом, легко убедиться, что для перехода к случаю кубического кристалла с К' < 0 (направлением Ме вдоль пространственной диагонали куба) надо заменить Л -» 4~К'~/3.
Отметим также, что в кубическом кристалле величина а(п) сводится к постоянной. Для одноосного же ферромагнетика типа «легкая плоскость» (К < 0) ситуация иная: изменение дУВВ при отклонении М от Ме зависит как от полярного угла, так и от азимута направления М относительно Ме, поэтому этот случай требует особого рассмотрения см. задачу. Напомним, что результат (70.10) относится лишь к начальной части спектра, в которой квазиимпульсы Й « 1/а и допустимо макроскопическое рассмотрение. Со стороны больших, но удовлетворяющих этому условию значений й (Ггее » 4х, К) выражение (70.10) сводится к 374 гл. чп млгнвтизм Таким образом, учет магнитной анизотропии приводит к появлению энергетической щели в спектре магнонов ').
Это естественно, поскольку при наличии анизотропии даже поворот магнитного момента как целого (т. е. при 1с = 0) связан с конечной энергией. Мы видим, что при малых 1с релятивистские эффекты, несмотря на их малость, приводят к относительно большим поправкам к спектру. Представление о магнонах как об элементарных возбуждениях относится к слабо возбужденным состояниям тела, а тем самым — к низким температурам. Поэтому в относящихся к магнонам формулах значения всех материальных констант (в том числе и намагниченности М) должны браться при Т = О. Вернемся к сделанному в ~ 69 предположению о слабости диссипации. В квантовой картине диссипация означает конечность времени жизни магнонов, обусловленную их взаимодействием друг с другом н с другими квазнчастицами.
Если сначала говорить о взаимодействии магнонов друг с другом, то прежде всего надо отметить, что в обменном приближении число магнонов не меняется (каждый магион дает в М, одинаковый вклад — 2)1, а обменное взаимодействие сохраняет М,). Поэтому в таком приближении возможны лишь процессы рассеяния. Их вероятность, однако, уменыпается с понижением температуры уже просто из-за уменьшения числа рассеивателей, так что обменное затухание во всяком случае стремится к нулю при Т = О.
Мы увидим ниже Я 72), что состояние с одним магноном в обменном приближении есть действительно строго стационарное состояние системы'). При Т = О затухание магнонов обусловлено только процессами их распада. Такие процессы возможны лишь за счет релятивистских взаимодействий, и уже поэтому их вероятность мала. Кроме того, при малых 1с вероятность распада всегда уменьшается за счет малости статистических весов (фазовых объемов) конечных состояний процесса. Затухание магнонов вызывается также и их взаимодействием с фононами (роль оператора возмущения играет здесь зависящая от деформации кристалла часть гамильтониана обменного взаимодействия).
При Т = О возможен процесс рождения фонона магноном; для этого, однако, квазиимпульс магнона должен ) Соответствуюшую частоту ы(0) = е(0)/6 называют частотой ферромагнитного резонанса. ) Отметим также, что сечение рассеяния двух магнонов друг на друге в обменном приближении стремится к нулю при уменьшении их энергии (см. 1 73). Это обстоятельство дополнительно уменыпает обменное затухание магнонов при низких температурах. При достаточно низких температурах релятивистские эффекты сугцественны и для процессов рассеяния.
~ 71 млгноны в «»кггомхгнвтикв. твгмодннлмнчвскнв ввлнчнны 375 быть достаточно велик .. скорость магнона де/6 д1с должна быть болыпе скорости звука (ср. примечание на с. 347). Вероятность процесса мала также и за счет малости статистического веса конечного состояния. Наконец, в ферромагнитном металле всегда возможно (за счет обменного взаимодействия с электронами проводимости) возбуждение магноном электрона из-под ферми-поверхности.
И здесь вероятность процесса при малых )с мала за счет малости статистического веса конечных состояний. Задача Найти спектр магнонов в одноосном ферромагнетнке типа «легкая плоскость» (К ( О). Решенно. Равновесная намагниченность Ме лежит в плоскости, перпендикулярной оси симметрии кристалла (осн з); выберем направление Мо в качестве оси х. Лннеаризованное уравнение движения магнитного момента имеет в этом случае вид — гегп = 211 (с«к~(п,гп) — )К~т,п„— (п«Ь)), где п„пэ единичные векторы вдоль координатных осей, а вектор гп лежит в плоскости ух, перпендикулярной Ме, Подставив сюда Ь из (70.7), расписав уравнение в компонентах и приравняв нулю определитель получающейся системы, получим спектр магнонов е(1«) = 2~ЗМ(п/«с(ой~ + )К~) -~-4хз1п~ В(о)«~ -~- (К) з1п 1г))м~, где В и 1с — полярный угол и азимут направления к относительно направления Ме (причем азимут отсчитывается от плоскости хэ).
Прн ой~ >> 1 мы возвращаемся к тому же квадратичному спектру (70.4), а при 1« -э 0 энергия магнона стремится к величине е(0) = 4(х)К!)Ц~)ЗМэ1пВгйп«э), обращающейся в нуль, когда вектор к лежит в плоскости тх, образованной осью симметрии и спонтанной намагниченностью кристалла. Это обращение в нуль является, однако, приближенным: учет в энергии аннзотропии членов более высокого порядка приводит к появлению аннзотропин и в плоскости ху и тем самым — к конечной энергетической щели во всех направлениях к ). 2 71. Магноны в ферромагнетике. Термодинамические величины Возбужденные в фсрромагнетике магноны вносят определенный вклад в его термодинамические величины.
Полученные в предыдущем параграфе результаты позволяют вычислить этот ') Напомним (см. »«1П, з 40), что разложение энергии анизотропин по степеням М есть в действительности разложение по релятивистскому отношению е/с (и нс связано с малостью М, т. е. с близостью к точке Кюри). 376 гл. чп млгнвтизм вклад при температурах, низких в том смысле, что Т « Т,. Действительно, в тепловом равновесии при температуре Т основная часть магнонов имеет энергии е Т. Для квадратичного спектра е(й) = 3)3М о(п)й2, (71.1) зто значит, что при температурах Т « Т, возбуждены магноны с квазиимпульсами и « (Т,))лМсг) У~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
