IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 84
Текст из файла (страница 84)
~ 83 АсимптОтикА кОРРеляциОннОЙ Функции в жидкости 449 (здесь использовано также, что хгг)(г, гл) = тг)4(г", г)). наконец, подставив сюда (83.8) и затем все вместе в (83.9), получим вто- рую вариационную производную ))г~~~) = г г Е ~в [ ' ~ 7~йв(~в~ гм г2) (83.12) в=о то в сумме будут существенны большие значения в, и суммиро- вание по дискретным «частотам» ),в = 2ггТН/Б можно заменить интегрированием по дв = йг14„/(2НТ): Функция Пь„получается из (77.6) заменой ы -» 4),.
Произведя дифференцирование и возведя в квадрат, получим 2 26г — 2)в т 2 6 6 3 ') 'П) — — — е ) 1+ — + — + — + — ), тг мг г)г мв ц) = т~,ЯЦ)/с. (83.15) Подстановка (83.15) в (83.14) приводит к довольно сложному выражению, которое, однако, упрощается в двух предельных случаях. В случае Фмалых» расстояний (т «Ло, ср. 2 81) в интеграле существенна область )", с/,))о; при этом т)",/с « 1, так что в (83.15) можно заменить экспоненциальный множитель единицей, а в скобках сохранить лишь последний член. Тогда найдем )' ) А 4 ЖТ 1 [дв(гг)1 )~У г' << ))о.
(83 16) тв ' 16ягпог,/ дп ег(гД ' о (т = ~г1 — г2~). Эта формула вместе с (83.7) и дает искомое общее выражение корреляционной функции )г(т) при т «Би/Т (М. П. Келгоклидзе, Л. П. Питаееский, 1970). Предположснное уже ранее условие (83.4) для волновых векторов эквивалентно условию т » Ьи/Т для расстояний. Если одновременно с этим условием ограничить область значений т Йс/Т » т » йи/Т, (83.13) 450 гл.
чш элвктгомлгнитные '»лъ'ктулции Фурье-образ этой функции') и(й) = — Ай, йЛо «1. 12 (83.17) В обратном случае «болыпих» расстояний (г» Ло в интеграле существенна область о„' с/г « с/Ло ще. Поэтому можно заменить е(з~) ее электростатическим значением ео и вынести (дао1дп)2 из-под знака интеграла в (83.14).
После этого интегрирование производится элементарно (причем все члены в (83.15) дают вклад одинакового порядка величины). В результате полу- чается -о Фурье-образ этой функции и(й) = — я Вйе )п (йЛо), йЛе « 1 зо (83.19) 3 84. Операторное выражение для диэлектрической проницаемости ) Непосредственным интегрированием в сферических координатах в к-пространстве можно получить 1 и 1,, льй й~ Г(г+ 2) ззп(™/2) л=+о / (2я)з 2язг +з Нужный для проверки формулы (88.17) интеграл есть 1». Интеграл же, нуж- ный для проверки формулы (83.19) вычисляется как д1 /ди при и = 4.
В этом параграфе мы получим полезное представление диэлектрической проницаемости среды через коммутатор оператора плотности зарядов (Р)з. Моязегел, Р. Рзпеа,1958). Эта формула аналогична формуле Кубо с учетом специфики электромагнитного поля. Будем рассматривать однородную среду, обладающую не только временной, но и пространственной дисперсией диэлектрической проницаемости. Это значит, что индукция П(1, г) зависит от значений напряженности Е(1, г) не только в предыдущие моменты времени, но и в других точках пространства. Такая ~ 84 выгАжвнив лля днэлвктгичвсков пгоницАвмости 451 зависимость может быть представлена в общем виде как Р,(г, г) = Е,(г, .г)+ Ц~а,(т, Г)Еь(г — т, г — г') г1~х'с1т.
(84.1) о Для монохроматического поля, в котором Е, П сг ехр11(1сг — мй)], эта связь сводится к (84.2) Р; = е;ь(ю, 1г)Еы где ы(~, 1) = йи+ дЛ (~, У( ' 1" ) с13*'й . (84.3) о Мы ограничимся случаем, когда среда не только однородна, но и изотропна и не обладает естественной оптической активностью. Тогда диэлектрическая проницаемость остается тензором, но составленным литпь с помощью вектора 1г. Общий вид такого тензора е1ь е~(~~~ ~) г + ес(~~~ ~) (ась а ) Скалярные функции е~ и ес называют соответственно продольной и поперечной проницаемостлми. Если поле Е потенциально, Е = — 17у, то для плоской волны Е параллельно волновому вектору (Е = — 11гсо) и тогда Р = е~Е.
Если же поле соленоидально (с1ЫЕ = 11гЕ = О), то Е перпендикулярно волновому вектору, и тогда П = есЕ. Напомним (ср. 'Л11, З 103), что при таком описании свойств среды уже не имеет смысла разделение среднего значения микроскопической плотности тока рч (р —. плотность зарядов) на две части; дР/д~ и сго$ М, где Р электрическая поляризация, а М намагниченность среды. Другими словами, уравнения Максвелла записываются в виде го1Е= — — —, го1В = —— 1 дВ 1ап с д1 с д8 без введения (наряду с магнитной индукцией  — средним значением микроскопической напряженности магнитного поля) еще и вектора Н.
Все члены, возникающие в результате усреднения 452 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ10ЛЪКТЪАЦИИ ГЛ. Мп! = / р(1, 1) Рр„(~, 1) 1.13* (84.5) где р(0, г) .. оператор плотности заряда в системе. Сопоставив это выражение с общей формулой (75.8) и рассматривая 0р„как «обобщенную силук 7", сразу находим, согласно формулам (75.9) (75.11), для фурье-компонент по времени от средней плотности зарядов р (г) = — — еС~~(р(г, г)р(9, г') — р(6, г')р(6, г))0р~'~1(г') !ах' Ж. о Перейдя здесь также и к фурье-компонентам по пространству и учтя, что в силу однородности системы среднее значение комму- татора зависит только от разности г — г', получим (84.6) где (, 0! = — Л !Р!Р !Р(0, О! — Р(0, 0)Р!, ЯР *0!. а (84.7) Средняя плотность зарядов связана с вектором поляризации среды соотношением р = — 01110 Р (см.
1!1П, Э 6). Для фурье- компонент отсюда следует р !, — — — 11сР !, = — 4 ' 1сЕ, ь. 4Т микроскопических токов, предполагаются включенными в определение Р = Е+ 40ГР, ртР = дР!!д~. Ббльший интерес в применениях представляет продольная проницаемость, для которой мы и выведем операторное выражение. Оно получается путем рассмотрения отклика системы на стороннее (т. е. созданное сторонними по отноп1ению к системе источниками) потенциальное электрическое поле Е,т = — А Рр„. Оператор взаимодействия системы с этим полем записывается квк ~ 84 выглжвнив для днэлвктгичвокой пгоннцАвмоотн 453 (ст) 4гг (ст) ггг гРк = — Рк Наконец, подставив эти выражения в (84.6), получим искомое выражение продольной проницаемости 1 1 4т ( 1) тг(ш )с) й~ (84.8) Под р(1, г) в (84.7) следует понимать, строго говоря, оператор плотности зарядов всех частиц в системе электронов и ядер.
Обычно, однако, во всем существенном интервале значений ш и )с вклад в проницаемость вносят главнылс образом электроны; поэтому под Р можно понимать е(й — и), где й — оператор электронной плотности, а и -- ее среднее значение. Формулу (84.7), (84.8) можно преобразовать еще дальше, выразив ее через матричные элементы фурье-компонент оператора Р. Для этого предварительно переписываем (84.7) в виде сс(ш, 1с) = — — ' / екл(р~,(1)р и(0) — Р гс(0)Ргс(1))сй, (84.9) И' / а (1т объем системы).
Матричные элементы гейзснберговского оператора Ри(г) выражаются через матричные элементы шредингеровского оператора согласно (Ргс(1))тгг = е (Рн)гггп. Раскрыв произведение операторов по правилу матричного умно- жения и произведя интегрирование согласно (31.21), получим окончательно 1 4т 2) 1 1 сг(ш )с) ОР)т ~-~ = 1+ ~ ~ИРк)на~ ),ш — ш а+ге ш+ш 0+го (84.10) где индекс 0 относится к заданному состоянию, для которого ищется проницаемость. С другой стороны, Ьгрст = — 4ггр,т, где р(„) .— плотность заря- дов, создающих стороннее поле; индукция жс Р связана с этой плотностью УРавнением с)(г И = 4ггрст.
Из этих двУх УРавнений находим гл. Рш ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛХКТЕАЦИИ 3 85. Вырожденная плазма Рассмотрим полностью ионизованную плазму, в которой ионы образу1от классический (больцмановский) газ, а электронная компонента уже вырождена. Для этого температура должна удовлетворять условиям еее « Т < еем 62и2!3!т «т < 62и2!3/т (85.1) (д„р; . химические потенциалы электронов и ионов в плазме; т„т, их массы; и — плотность числа частиц; при оценках ве делаем различия между и, и и;).
В го же время будем считать, что плазма лишь слабо неидеальна. Для этого энергия кулоновского взаимодействия двух частиц на расстоянии 1 и друг от друга должна быть мала по сравнению с их средней кинетической энергией е. Для ионов е Т, а для электронов е де ип~~~Б(те. Отсюда получаются условия т,е /6~ << и ~~ << Т(е . (85.2) В Ъ',380 было показано, что в этих условиях основным источником поправок в тсрмодинамичсских величинах плазмы (по сравнению с их значениями для идеального газа) является обменное взаимодействие электронов; энергия этого взаимодействия (отнесенная к единице объема плазмы) оказывается величиной е и ~ . Корреляционная жс поправка (являющаяся основной в классической плазме) в вырожденной плазме мала по сравнению с обменной в отношении 212~2, где 21 = тесе(6Бип~з << 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
