IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 86
Текст из файла (страница 86)
У, (80.4)). В результате найдем для корреляционной части й следующее выражение (обычные единицы): 3/2 Ъ'Тк 244'к РТе ~~~- 2 ( дв, ) (85 28) 12к 3 ~ '4,др /ГТ (А. А. Веденов, 1959). Согласно общей теореме о малых добав- ках, эта же формула, выраженная через другие термодинамиче- скис переменные, дает поправку к другим термодинамическим потенциалам. Отметим прежде всего, что интеграл оказывается сходящимся на нижнем пределе и основную роль в нем играют д ге. Для невы- рожденной ионной компоненты плазмы имеем дп,)44)44 = п,(Т, а для электроиов дп,(др, п,7')4,. Легко видеть, что в силу условий (85.2) ге « п~43, а потому и д << пч~з, т.
с. 1/д велико по сравнению с межчастичными расстояниями. Этим оправдывается использование условия равновесия (85.17). Для оправдания же пренебрежения всеми членами суммы в (85.15) кроме члена с з = 0 замечаем, что, согласно (85.14), поляризация плазмы при отличных от нуля частотах описывается диэлектрической проницаемостью е~(зг, с1). Согласно известному асимптотическому выражению при больших частотах, ег(зг) 1 — 4хпее~/(гпезг~), а потому ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛЪ'КТЪ'АЦИИ ГЛ. ЧН! Для невырожденной плазмы все производные дп,(др =и (Т, и тогда (85.23) переходит в формулу з72 -ЛЕЛР ~~~ Е Пе (85. 24) для поправки к свободной энергии, совпадающую с Ъ", (78.12).
В случае сильного вырождения электронов в плазме 1Т « р,) производная дп,(дд, п,(р., « п,~Т. В сумме по и в (85.23) можно тогда вообще пренебречь электронным членом, и мы снова получаем формулу (85.24) с той лишь разницей, что сумма в ней берется лишь по сортам ионов в плазме. Таким образом, при сильном вырождении электроны вообще не влияют на радиус зкранирования и на корреляционную часть термодинамических величин плазмы. ГЛАВА 1Х ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ й 86.
Динамический формфактор жидкости Рассмотренная в У, ~ 116 корреляционная функция флуктуаций плотности является частным случаем более общей функции, связывающей флуктуации плотности не только в различных точках пространства, но и в различные моменты времени. В классической теории зта функция определяется как среднее значение па(1,; гы г2) = (бп(сы г1)бп(12, г2)), (86.1) па(Ф, т) = — (бйп(1ы г1)бй($2., гз) + бй(1з, г2)бй(с~., гг)) (86.2) (в соответствии с общим способом определения согласно У, (118.4)).
Некоторые преимущества, однако, имеет в данном случае несимметричное определение па(1, г) = (бй(см г1)бй(1з, гз)), (86.3) для которого сохраним обозначение а(г, т) "). В противополож- ность функции а(1, т) функция а(с, т) не является четной по переменной 1; очевидно,что а(1., г) = — ~а(1, г) + а( — 1, т)1. (86.4) ') Именно эта функция является непосредственно наблюдаемой величиной, например, при неупругом рассеянии нейтронов в жидкости см. задачу. где 1 = 1г — 1з, из определения а вынесен множитель п = Я/Ъ' средняя плотность числа частиц. Для однородной и изотропной среды (жидкость, газ) функция (86.1) зависит от г1 и го только через расстояние т = )г1 — г2) между двумя точками, что и будет предполагаться ниже.
В квантовой теории аналогичная функция определяется с помощью симметризованного произведения зависящих от времени (гейзенберговских) операторов плотности как ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ гх!. !х Фурье-образ функции о(б, т) по времени и координатам (,8)г— е (,8)=11 '! '"! (б, )888* (888! о(Й) = о(бо, Й)е аа! — = о(бо, Й) —. (86.7) Шредингеровский (нс зависящий от времени) оператор плотности дается суммой й(г) = ~~~ б(г — г,), а (86.8) взятой по всем частицам среды; координаты частиц г, играют роль параметров (ср. (24.4)). Нам понадобятся ниже компоненты фурье-разложения зтого оператора по координатам -, =)б!.Ь " б' =б .-'"". а (86.9) Переход к зависящему от времени (гейзенберговскому) оператору происходит по общему правилу й(г, г) = ехр(8ЙТ(б!) й(г) ехр( — гйг/бб), (86.10) где Й .
- гамильтониан системы. Этот оператор может быть представлен выражениями (86.8), (86.9) с заменой в них г, на г (~) гейзенберговские операторы координат частиц. называют динамическим формфактором средь!. Ввиду изотропии функции о(1, !.) он зависит только от абсолютной величины волнового вектора. Из (86.4) следует, что фурье-образ функции о(1, г) о(бо, Й) = — [о(бо, Й) + о(-бо, Й)]. (86.6) Чисто пространственная корреляция флуктуаций плотности жидкости определяется функцией (86.1) при 1 = О: о(г) = о(т = О, г) = о(г = О, г). Эта функция связана с введенной в 1!, ~116 (и использованной в ~83) функцией 88(т) согласно о(г) = 88(г) + б(г); их фурье-образы: о(Й) = м(Й) + 1. Функцию о(Й) или ! (Й) называют статистическим формфактором жидкости.
Функции о(бо, Й) и о(Й) связаны друг с другом интегральным соотношением ДИНАМИЧЕСКИЙ ФОРМФАКТОР ЖИДКОСТИ Согласно основным принципам статистики, усреднение (...) можно понимать по-разному, в зависимости от того, через какие термодинамические переменные должен быть выражен результат. Так, если функция о определяется при заданных полной энергии и числе частиц системы, то усреднение производится по определенному (т-му) стационарному состоянию, т. е.
взятием соответствующего диагонального матричного элемента. Для однородной системы (жидкость) зависимость матричных элементов оператора бп(с, п) от времени и координат дается формулой (тобй(г, г) (1) = (т~бп(0) ~1)ехр(г(1о„,1с — 1с„яг)], (86.11) вполне аналогичной (8.4) (в правой части стоит матричный элемент шредингеровского оператора бй(г), взятого в точке г = О). С учетом этой формулы пишем по(С, г) = ~~ (т ~ бйЯ, г1) ~1)(1 ~ бй(1г, гз) ~ т) = ! (т ! бй(0) !1) !~ ехр(1(1О„,~Х вЂ” 1с,,1г)).
Фурье-образ этой функции по(1п, 1с)=(2к) ~ ~~ (т ~ бп(0) ~1) ~~б(О1 — 1о1 ) б(1с — 1с1 ). (86.12) Суммирование в этих формулах производится по всем состояниям системы с заданным (Х,„) числом частиц (поскольку оператор бп не меняет этого числа). Если же мы хотим выразить формфактор через температуру и химический потенциал жидкости, то выражение (86.12) должно еще быть усреднено по распределению Гиббса: по(1о, к) = =(2л) ~ ~ехр Р ~ (т ~ бп(0) ~1) ~~б(1о — иЬ,) б(1с — 1с1Р,) 1, гл (86.13) (причем во всех членах суммы %1 = М ).
Выписав такую же формулу для о( — О1, — 1с) = о( — О1, к), взаимно переобозначив в ней индексы суммирования 1 и т и заменив в экспоненциальном МНОжИтЕЛЕ Е1 = Е,„+ 61ОЬ„= Я,л + йСО (ПОСЛЕДНЕЕ РаВЕНСтВО следствие наличия б-функции), получим и( — со, й) = о (1о, 1с)е 16 е.м.л Ф ч,л.п.п А ~ А ГИДРОДИНАМИ !ВСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ гг!. !х и затем, согласно (86.6), сг(ш! Й) = — (1+ е У ) сг(ы, Й). 2 (86.15) Отметим, что из (86.13) (или (86.12)) следует, что функция п(ы, к) > О при всех значениях ее аргументов. Из соотношения же (86.14) следует, что при нулевой температуре о(ы, !с) = О при ш ( О, Т = О. (86.16) В макроскопическом пределе (1у, И вЂ” » со при заданном отношении Х/1г) «частокол» д-функций в (86.13) размазывается в непрерывную функцию, но б-функционные пики в п(ш, й) остаются при значениях ш = о!(А), отвечающих незатухающим элементарным возбуждениям (как это ш!сдует из рассуждений, подобных изложенным в 28).
Такие пики возникают, однако, лишь для возбуждений без изменения числа частиц'). Покажем, каким образом формфактор жидкости может быть связан с величинами, фигурирующими в общей формулировке флуктуационно-диссипационной теоремы (Р. Рйпев, РЬ, зуозгегев, 1958). Пусть на каждую частипу жидкости действует некоторое внешнее поле, сообщающее частице потенциальную энергию бг(1, г). Тогда оператор возбуждения, действующий на жидкость в це- лом, будет Р(1) = /б(1 )П(1 )1з* (86.17) бп(и!, г1) = — /!Т(н!! ) г1 — г2 ~ )П(и!, г2) д~х2, (86.18) где функция сг(о!, Р) играет роль обобщенной восприимчивости.
Фурье-компонента по времени от корреляционной функции д(с, г) есть, в обозначениях флуктуационно-диссипационной теоремы: по(ш, T) = (оп(г1) !!п(г2))Ф! Г = г1 — г2. ') Так, в ферми-жидкости о.(ю, /с) имеет Б-функционную особенность при ы = Йие (ие — скорость нулевого звука), но не имеет таких особенностей, отвечающих фсрмионной ветви спектра — см.
191. Подвергнув все входящие сюда величины фурье-разложению по времени, представим отклик системы (т. с. среднее значение вызванного возмущением изменения плотности) выражением вида ДИНАМИЧЕСКИЙ ФОРМФАКТОР ЖИДКОСТИ сг(ох, а) = — ей ' ' )(й(1, г) В(0, О) — й(0, О) В(1, г)) г)хг)эх. (86.21) =-.')' '""' о Выразив операторы плотности через ф-операторы (и = хг 'хг), можно привести зто выражение к виду двухчастичной функции Грина, для вычисления которой применима диаграммная техника. Задача 1. Выразить через динамический формфактор вероятность неупругого рассеяния медленных нейтронов в жидкости, состоящей из одинаковых атомов (С.
Р1асхек, 1952). Р е ш е н и е. Согласно методу псевдопотснциала (см. 111, 5 151), рассеяние медленных нейтронов может быть описано как результат взаимодействия с потенциальной энергией У(г) = ап(г) 2яй~ М где й(г) — оператор плотности (86.8); М вЂ” приведенная масса атома и нейтрона;а — длина рассеяния медленного нейтрона на отдельном атоме (т.
е. взятое с обратным знаком предельное значение амплитуды рассеяния). Вероятность перехода из некоторого начального (х) состояния системы жидкость + нейтрон в коночное (Г) состояние в некотором интервале диу есть г 1 — ~ 1~,,(~) 1~ 6~, й/ (2) Согласно этой теореме эта функция выражается через обобщенную восприимчивость формулой пег(ох, т) = 6С1Ь вЂ” 1ша(ы, г). (86.19) 2Т Такой же формулой выражается фурье-компонента по координатам с(ы, )с) через сг(ох, й) после чего, согласно (86.15), находим для динамического формфактора пгг(ох, й) = ась(ох, й). (86.20) Важность этих формул связана прежде всего с тем, что ими устанавливается связь динамического формфактора с функцией с известными общими аналитическими свойствами (по переменной ш); для функции сх(сс, )с) эти свойства описаны в У,8123.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
