IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 90
Текст из файла (страница 90)
е. рассматривая их как выражения для коэффициентов теплопроводности и вязкости. При этом корреляционные функции в левых частях равенства можно выразить, согласно их определению, через операторы некоторых величин, имеющих микроскопический смысл; в результате через эти операторы оказываются выраженными кинетические коэффициенты жидкости.
2 90 ВНРАжения для кинетических коэФФициентов 485 Прежде всего надо учесть, что отсутствие корреляции между флуктуациями Фслучайных» потоков энергии и импульса в различных точках пространства (б-функция б(г1 — г2) в формулах (89.20), (89.21)) является следствием гидродинамического приближения; последнее справедливо лишь при малых значениях волнового вектора. Чтобы выразить это условие в явном виде, запишем формулы в компонентах фурье-разложения по пространственным координатам (что сводится к замене множителей б(г1 — г2) единицей) и перейдем к пределу 1с -» О.
Так, формулу (88.20), свернутую по паре индексов г, к, (д01црй) = 3 б(гт — г2) БАЕТ с1Ь вЂ” Ке Аг(ы) 2Т запишем в виде Ве»г(ы) = 1Ь вЂ” 1пп(п )Фк. ЗФлТ 2Т и-»О (90.1) Легко видеть, что при такой записи можно заменить в этой формуле «случайный» поток тепла и на полный поток энергии, который обозначим через Е2. Последний, как известно из гидро- динамики, складывается из потока конвективного переноса энергии и потока тепла с1: А3 = — + и ру+ с1 = ржу — иЧТ+ я (90.2) 2 (ю . тепловая функция единицы массы жидкости; в последнем выражении опущен член с более высокой степенью флуктуационной скорости у).
Но при малых 1с флуктуации реальных физических величин (ч, Т, р и т. п.) содержат, по сравнению с флуктуациями случайных потоков, лишнюю степень 1г, и потому в пределе 1с -» 0 флуктуации я совпадают с флуктуациями Ц. Это сразу очевидно уже из того, что в уравнении движения гидродинамических флуктуаций (88.6) — (88.8) потоки и и В;» входят только под знаком пространственных производных, а указанные физические величины — также и в виде производных по времени; после перехода к фурье-компонентам, следовательно, вторые оказываются порядка Й/ю по отношению к первым. В отличие от и, полный поток энергии Ц есть величина, имеющая прямой механический смысл, и ей отвечает определенный квантовомеханический оператор ь1(г, г), выражающийся через операторы динамических переменных частиц среды.
Вспомнив определение корреляционной функции через операторы (гейзенберговские) соответствующей величины, приходим, таким ГЛ. )Х ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ образом, к формуле Ке РГ(в)) = — 1Ь вЂ” х 60ооТ 2Т а Оаа"-~)4(о, )(1(а,о)о(1(а,о)Ч(о,.))аР. (оаа) (М. Я. Стееп, 1954). Более целесообразное представление функции оо((0) получится, однако, если воспользоваться формулой, выражающей корреляционную функцию через коммутатор соответствующих операторов. если х,(г), хе(г) — две флуктуирующие величины (равные нулю в равновесии и ведущие себя одинаковым образом при обращении времени), то их корреляционная функция, согласно (76.1) и (75.11), может быть представлена в виде (х, хь ) = стЬ вЂ” Ке /еГ '(1т,(1, гт), хь(0, г2)))й, 2Т 0 где скобки 1., ) означают коммутатор.
Перейдя к фурье-разложению по координатам г = г) — г2, получим формулу (х,хь) в=сСЬ вЂ . Ве ед ' "'~(1х,(1, г), х(,(0, 0)))Жд х. 0 (90.4) Применив эту формулу к корреляционной функции Щ~) )о и подставив в (90.1), получим Веоо(0)) = 1пп Бе I е*'~ ' ь'1(Щ(Г, г), 4(0, 0)))Ж(1зх. ЗМТ Го — оо 0 Справа и слева в этой формуле под знаком Б.е стоят функции (0, стремящиеся к нулю при (0 — ~ оо и не имеющие особенностей в верхней полуплоскости комплексной переменной ы. Из равенства вещественных частей таких функций на вещественной оси ь) следует также и равенство самих функций, и мы приходим к окончательной формуле: х((0) = 1нн Уец ' ~'1Щ(~, г),ЩО, 0)))(1Г(1Ах. (90.5) ЗМТ )о — )0,)/ 487 динАмический ФФРмФАктсР ФеРми-жидкости Чтобы получить статическое значение коэффициента теплопроводности, надо затем перейти и к пределу ы -+ О.
Аналогичным образом можно преобразовать формулу (88.21) и получить операторное выражение для коэффициентов вязкости. Если ввести полный поток импульса п,ь = — Рд,ь + и!ь (п,ь нз (88.9)), то в пределе 1с — Р 0 флуктуации всех членов, кроме е,ь, обратятся в нуль, так что в этом пределе можно заменить коРРелЯЦионнУю фУнкЦию (в;ьэ~ ) и на (е;ьз~ ) и. В РезУльтате получим формулу О(ш)(дядь +б бм — — б;ьб~ ) + ~(ы) Б,ьд~ з * = — 1пп ~~ей~~ ~~~((й;ь(1, г), РП (О, 0)1) Н~1зт (90 6) оуу о где Эпь(г, .г) оператор плотности потока импульса (Н.
Моп, 1958). Свернув это равенство по парам индексов г, й и 1, т или г, 1 и Й, т, получим отдельные выражения соответственно для 9(; или 10 и+ 3 ~. 9 91. Динамический формфактор ферми-жидкости К ферми-жидкости неприменимы формулы (87.4) — (87.6) для формфактора при Т = О, поскольку их вывод предполагает существование (при малых ш и Й) лишь фононной ветви спектра элементарных возбуждений. Неприменима к ферми- жидкости также и развитая в ~ 88, 89 гидродинамическая теория флуктуаций; она требует выполнения условия Ы « 1 (1 — длина свободного пробега квазичастиц), заведомо нарушающегося в ферми-жидкости, поскольку 1 сх Т 2 и стремится при Т -+ 0 к бесконечности. Поэтому для вычисления формфактора ферми- жидкости надо обратиться к кинетическому уравнению.
При этом удобно исходить нз формул (86.17) — (86.20), устанавливающих связь формфактора с обобщенной восприимчивостью по отношению к воздействию на жидкость некоторого поля У(г, г). В компонентах Фурье также и по координатам определение (86.18) записывается как (91.1) дй(ю, 1с) = — а(ы, 1с)У„~,. 488 гл.
~х ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ Мы ограничимся случаем Т = О. Тогда динамический формфак- тор выражается через п(ы, 1с) согласно ( 261шо(ы, 1с), ы > О, па(ь2, 1с) = ~ (91.2) 1 О ы ( О. у(~ ) 1у 2рст — Фс) Соответственно в производной де(дг (4.3) добавляется член д1) /дг = 21с12', а е левой стороне кинетического уравнения (4.8) член — 2)с1) = 2)суУ б(е — ер). др Решение кинетического уравнения ищем в виде бп(р) = бп 1,(р) ей"' К2К2, (91.3) бп ~,(р) = — б(е — ер) )~(п), п = Р. 2Е2'рг р Это фурье-компонента возмущения импульсного распределения квазичастиц. Искомое же изменение плотности полного числа квазичастиц (совпадающей с плотностью числа истинных частиц) дается интегралом 243 бп(ь2, 1с) =(бп„,с2(р) Р, = — — (Ж(п) — У и. 12ка)2 26 У 4е Определение функции ~(п) в (91.3) отличается от определения и(п) в (4.9) нормировкой: она выбрана здесь так, что формула (91.2) принимает вид па(ь2, 1с) = 1ш /)с(п) — ', 4Е ь2 > О.
(91.4) Для самой же функции )~(п) получается уравнение 2 (ь2 — ер1сп),"~(п) — 22р1сп / Р(д))~(п') — = — 1сп — ""', ,4К К2А2 ' (91.5) отличающееся от (4.11) своей правой частью. Возмущение же плотности бп(ы, )с) вычисляется с помощью кинетического уравнения, причем в нем можно (при Т вЂ” + О) пренебречь интегралом столкновений. Эти вычисления отличаются от произведенных в 2 4 для нулевого звука лишь тем, что в энергии квазичастицы добавляется член з 91 489 динАмическии ФФРмФАктсР ФеРми-Ркидкссти Х(п) = С РР1сп — м — со (91.6) где С - — постоянная. Последняя определяется обратной подста- новкой выражения (91.6) в (91.5), дающей (91.7) где 1са'РР Но' 1сп'РР— сР— сО 4к Подынтегральное выражение зависит только от угла между и' и 1с, и после очевидной подстановки находим 1 — 1 где е = со/Йир (мнимая часть интеграла отделяется по правилу (8.11)).
Подставив функцию Х(п) из (91.6)-(91.8) в (91.4), получим динамический формфактор по(ш, Й) = РР 1ш кгас 1 Р Р' 1(е) (91.9) (А. А. Абрикосов, И. М. Халатников, 1958). В силу (91.8) он отличен от нуля при в < 1, т. е. при всех ю < Йор. Коли РО ) О, то в ферми-жидкости возможно распределение нулевого звука со скоростью НО, определяемой уравнением (4.15): 1+ ГО1(во) = О, ЕО = но/ор. Уравнение (91.5) не содержит в явном виде мнимых величин. Появление мнимой части в его решении Х(п) связано поэтому лишь с обходами полюсов в возникающих в процессе решения интегралах. Правило этих обходов определяется требованием, ЧтОбЫ НаЛОжЕННОЕ На СИСтЕМу ПОЛЕ бс СС Е ссмс аднабатИЧЕСКИ включалось, начиная от 1 = — оо; для этого надо заменить его частоту ш -+ со+ 10.
Конкретный вид решения зависит от вида функции взаимодействия квазичастиц г'(д). Продемонстрируем ход решения и его свойства. на простейшем примере функции г' = сопе1 = гш В этом случае решение уравнение (91.5) имеет вид 490 !"2!. !Х ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ При значениях е вблизи ее выражение (91.9) принимает вид сопе1 1ш 1  — 80 причем, согласно сказанному выше, е = 22/Й22р надо понимать, как е + 20. Это значит, что в 22(2у, й) появляется еще и д-функционный член вида сопз1 б(е — ео), или о!,2ц, й) = сопв1 .
Йц(22 — йио). (91.10) Этот член представляет собой вклад в формфактор, обязанный нуль-звуковой ветви энергетического спектра ферми-жидкости; он вполне аналогичен фононному вкладу (87.4) в формфактор бозе жидкости. Существование такого члена не связано, конечно, с предположением г' = сопв1 и является общим свойством ферми-жидкости, в которой возможно распространение нулевого звука; от закона взаимодействия квазичастиц зависит лишь значение постоянного коэффициента в (91.10).
Без правой части уравнение (91.5) совпадает с уравнением нулевого звука; поэтому решение неоднородного уравнения имеет полюс при ь2,2'Й = ие. Из вида уравнения (91.5) ясно, что его решение зависит от параметров ь2 и Й лишь в виде отношения ь2/Й. Функцией этого отношения будет, следовательно, и динамический формфактор. Статический же формфактор !Т1Й) = ~!Т1222, Й)— а будет, следовательно, иметь вид о(й) = сопв1 Й. (91.11) Это значит, что одновременная пространственная корреляционная функция флуктуаций плотности при Т = 0 в ферми-жидкости (как и в бозе-жидкости) следует закону 22Я !х г 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
