IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 44
Текст из файла (страница 44)
15а) где Л вЂ” вещественная постоянная (размерности длины); оценка этой постоянной требует, однако, более детального микроскопического исследования. причем плотность тока дается выражением 2 2 гей(фэ5-уф ф1-5ф.) 2е !,а!2А 2т тс совпадающим с (44.7) (мы пишем 3 вместо д„так как в термодинамическом равновесии нормальный ток отсутствует). Отметим, что из (45.13) следует уравнение непрерывности г(5уд = О; это уравнение можно получить также и прямым дифференцированием выражения (45.14) с учетом уравнения (45.12).
Уравнения (45.12) — (45.14) составляют полную систему уравнений 1'инзбураа -Ландау. Граничные условия к этим уравнениям получаются из условия равенства нулю интегралов по поверхности в вариации ог'. Из (45.11), таким образом, получается граничное условие и ( — 56~75)5 — — 'Аф) = О, (45.15) где и вектор нормали к поверхности тела. Отметим, что в силу этого условия обращается в нуль, как и следовало, также и нормальная компонента тока (45.14): и! = О '). Что касается граничных условий для поля, то из уравнения (45.13) с учетом конечности 1 во всем пространстве (вплоть до поверхности тела) следует непрерывность тангенциальной компоненты индукции В!.
Из уравнения жс 51(УВ = О следует непрерывность нормальной составляющей индукции Вп. Другими словами, граничные условия требуют непрерывности всего вектора В. 238 гл. ч СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ (45.17) В слабом магнитном поле можно пренебречь его влиянием на (ф) и считать )г)г( равным постоянному вдоль тела значению (45.6). Тогда подстановка (45.14) в (45.13) (и последующее применение операции го1 к обоим сторонам уравнения) приводит к уравнению Лондонов (44.11) с глубиной проникновения 8хег~а~ 8хега(Т, — Т) Наряду с этим размером уравнения Гинзбурга--Ландау содержат еще одну характерную длину: корреляционный радиус флуктуаций параметра порядка гг (в отсутствие поля); обозначим его через с„(Т). По известным формулам теории флуктуаций (см. У, 8 146), этот радиус выражается через коэффициенты в свободной энергии (45.3) согласно 6(Т)— 2(т~ а~)пг 2(тО)г»г(Т вЂ” Т)хг Характерными длинами (45.16), (45.17) определяется порядок величины расстояний, на которых существенно меняется параметр порядка гу и магнитное поле, описываемые уравнениями Гинзбурга- Ландау.
При этом длина д характерна, вообще говоря, для магнитного поля, а длина с,(Т) для распределения уг. Обе эти длины должны быть велики по сравнению с «размерами пары» Сп для того, чтобы выполнялось предположение о достаточной медленности изменения всех величин в пространстве. Поскольку обе длины возрастают при приближении к точке перехода (по закону (Т,— Т) г(2), то вблизи нее это условие, вообще говоря, выполняется (см. ниже). Важное значение в излагаемой теории играет параметр Гинзбурга — Ландау, определяемый как постоянное (не зависящее от температуры) отношение двух указанных длин: 6(Т) тсЬМ~ (45.18) 4(Т) (2„)п ~е~Л' По порядку величины х боло, где со длина когерентности (39.21), а до — лондоновская глубина проникновения при абсолютном нуле.
Укажем также формулу х = 2 2 ЫН,(Т)52(Т), (45.19) получающуюся с помощью (45.9) и (45.16) и выражающую х непосредственно через наблюдаемые величины. Установив вид уравнений, обсудим теперь вопрос об области их применимости. 239 угхвнвния Гннзнуггх — лхндау Со стороны низких температур эта область во всяком случае ограничена условием Т, — Т « Т„позволяющим считать параметр порядка малым и тем самым лежащим в основе всего произведенного разложения свободной энергии.
Этим же условием обеспечивается соблюдение неравенства 5(Т) » ~0, но для соблюдения неравенства б(Т)» (0 условие оказывается более жестким в случае сверхпроводников с малыми значениями параметра зг!); в этих случаях из неравенства б» ~0 следует условие Т, — Т « м2Т,. (45.20) Со стороны же Т вЂ” + Т, применимость уравнений ограничена лишь общим условием применимости теории фазовых переходов Ландау, связанным с возрастанием флуктуаций параметра порядка. В данном случае, однако, это условие оказывается чрезвычайно слабым. Действительно, оно выражается через коэффициенты разложения (45.3) неравенством Т,— Т» а(йз,'т)г (см. Ъ', (146.15)).
Оценив, например, выражение в правой стороне с помощью значений 5 и гг в модели БКШ, получим (Т. — ТУТ. » (Т,7д)). (45.21) Ввиду крайней малости отношения Тс(д 10 3 — 10 4 можно считать, что это условие выполняется практически вплоть до самой точки перехода. Флуктуационная же область для перехода второго рода между сверхпроводящей и нормальной фазами практически отсутствует. Задача Для плоской пленки с толщиной !1 )) 4, д найти критическое значение магнитного поля (параллельного плоскости пленки), разрушающего сверхпроводимость (В. Л. Гинзбург, Л.Д. Ландау, 1950) ).
Р е ш е н и е. Выберем серединную плоскость пленки в качестве плоскости зг с осью х вдоль направления поля. В уравнении (45.13) для поля В = В (у) (меняющегося по осн у поперек пленки) можно считать г!! = сопза Тогда первый член в выражении тока (45.14) исчезает и применение операции го! к (45.13) приводит к уравнению В" = В В!б~, где р = гг)Фо, г!!о = ~а~!5.
') !1риведем для примера значения н для некоторых чистых металлов: А1 — 0,01, Яп — 0,13, Нй — 0,16, РЬ вЂ” 0,23, г) Аналогичную задачу для маленького шарика см. в 347. 24О Гл. ч СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ Симметричное по у решение этого уравнения сЬ (90/6) ~ у (ф2) г сЬ (69/26) 1 262 (Π— внешнее поле). Этому полю отвечает распределение тока с, сдам 6=у, = — — в'= — д. ,1„,1„62 В уравнении же (45.12) зависимостью ф от р полностью пренебречь нельзя: малая производная д~г6/др~ фактически умножается здесь на 5~/т~а~ и тем самым приобретает большой (в силу условия 6 «6) множитель (6/д) в то же время в этом уравнении можно пренебречь потенциалом А = А,(у), приводящим здесь к членам более высокого порядка малости по дЯ.
'1тобы избавиться от необходимости рассмотрения зависимости 46 от у, усредним уравнение (45.12) по толщине пленки; производные по у при этом выпэ,эут в силу граничного условия дг)г/ду = О на поверхности пленки. Заметив также, что бал 46 ( пгу' о" - ~~.~М / " в силу зависимости фазы функции 46 от г (и связи ее градиента с током) найдем, после сокращения на ф: 4ег'Г4О4 — (а) + Ь|4)г! = О, где 4/2 гаггд4В2 З(5 Р64 — 41г Использовав также выражения (45.9) и (45.15), придем к уравнению г 24 Н,6 определяющему значение 46 для пленки в магнитном поле. Критическое знаПглг чение поля для пленки Н~ есть то, при каком 46 обращается в нуль.
Оно связано с кригическим полем Н, массивного сверхпроводника равенством НЩлг /244Н В рассмотренных условиях разрушение сверхпроводимости полом происходит путем фазового перехода второго рода: ф обращается в нуль при увеличении Я непрерывным образом. Это вполне естественно, поскольку при Ы «6 поле фактически проникает в сверхпроводяшую пленку, так что нет причин для перехода первого рода, который как раз и состоял бы во внезапном проникновении поля в тело. 241 повеРхностное ЯАтя?кение нА ГРАнице ФАЗ 6 46.
Поверхностное натяжение на границе сверхпроводящей и нормальной фаз Уравнения Гинзбурга -Ландау позволяют, в частности вычислить поверхностное натяжение на границе сверхпроводящсй (з) и нормальной (и) фаз (в одном и том же образце), связав его с величинами, характеризующими объемные свойства вещества (В. Л. Гинзбург, Л.Д.
Ландау, 1950). Напомним, что такие границы существуют в металлических образцах, находящихся в так называемом промежуточном состоянии в магнитном поле. Поскольку все отличие обоих фаз сводится к тому, что в одной из них ф ф О, а в другой ф = О, то переход между ними совершается непрерывно в некотором слое и описывается уравнениями Гинзбурга Ландау с граничными условиями, поставленными лишь на больших расстояниях по обе стороны этого слоя. Рассмотрим плоскую границу раздела между и- и з-фазами металла. Выбрав зту границу в качестве плоскости уе, направим ось х в глубь з-фазы; распределение всех величин в обоих фазах зависит только от координаты х. Векторный потенциал поля, выбор которого оставался еще неоднозначным, подчиним калибровке, в которой с)1РА = О; в данном случае это дает дА ??с1х = О, откуда видно, что можно положить Ае = О. Из соображений симметрии очевидно, что вектор А лежит везде в одной плоскости; пусть это будет плоскость ху, так что Ая = А, тогда вектор индукции лежит в плоскости хг, причем В = В, = А' (46.1) (штрих означает дифференцирование по х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
