IX.-Статистическая-физика-часть-2 (1109682), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Поэтому диаграммная техника оказывается здесь гораздо проще и ближе к «обычной», чем для сверхтекучих бозе-систем. ез 42 твмпвгхтяеныв охнкции ггина сввгхтвкхчвго оьтми-газа 223 (41.5)) в виде множителей 8 д '): год Код~~ ~од йод~' (42.2) Как и Д, функции г и г зависят только от разности т = = тг — т2 и удовлетворяют соотношениям (37.6) (с верхним знаком): .г(т) = — г'(т + †), .г (т) = — Т (т + †) . (42.3) Ряды Фурье по т для этих функций содержат, следовательно, только нечетные «частоты» (37.8а): ~, = (2з+ 1)хТ. Мацубаровские ф-операторы при т = О совпадают с гейзенберговскими при 4 = О: т~(т = О, г) = т(1 = О, г).
Сравнив определения функций У,:г с определениями Р, Г~, найдем поэтому, что У'(О, г; О, г) = Е(г), У'(О, г; О, г) = Е*(г), (42.4) где под Е надо понимать конденсатную волновую функцию, усредненную по Гиббсу, т. е. выраженную через температуру системы. Покажем, каким образом с помощью температурных функций Грина можно снова получить энергетический спектр сверх- текучего ферми-газа при отличных от нуля температурах. Уравнения для температурных функций Д, .г, .г выводятся в точности аналогично выводу уравнений (41.12), (41.13), причем вместо дифференцирования по 1 производится дифференцирование по т, а вместо уравнений (41.8), (41.9) используются уравнения, отличающиеся от (41.8), (41.9) заменой 41 -+ т.
Как и в (41.11), из среднего значения произведения четырех мацубаровских ф-операторов выделяются члены, содержащие матричные элементы для переходов с изменением числа частиц на 2. В результате получим уравнения — — + — +)г Я(т, г; т', г')+8ЕУ(т, г; т', г')=6(т — т') б(г — г'), ~ д ~ ~ а ! ~ ! | ! | ~ ~ | ~ 7 ~7 | 7 | ~ ~ | | ~ > дт 2т (42.5) а ~ з ~ ~ ~ ! | ! | ~ ~ ~ ~ » ? ! ~ | ! | — + — +)з У(т, г; т', г') — 8"'Ят, г; т', г )=О.
дт 2пз ) Разные знаки в определениях г и У (в нротивоположность одинаковым знакам в (41.б)) целесообразны в связи с отсутствием в определениях (42.Ц множителя О который был в (41.3). СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ гл. и После перехода к фурье-компонентам эти уравнения принимают вид (Ц вЂ” 2)Р)Я(~, р) + 8ЕУ(~, р) = 1, (42.6) -Ж.
+ Ъ)~(~., р) — а=-*6(~', р) = О. Решение этих уравнений: ц(Ь р) 26+ Ъ НГ2 + е2 (42.7) .г(~„р) = — е = г т(т~„р), (42.8) где снова е = Ь + г)„, .Р1 = яЕ (причем это решение определено однозначно и никаких б-функций как это было для функций С и Гт вообще не содержит). Условие, определяющее энергетическую щель в спектре, получается теперь из равенства Б' = .г (т = О, г = 0) = Т ~~~, Ь (~го р) (2л)2 или, после подстановки (42.8): = 1. (2л)2 ~ ††' ' ,/ ~~ + ез(р) (42.9) Суммирование по в осуществляется формулой ') [(2Е+ Ц2л2 + а2! " = 1 1)т —" (42.10) ) Эту формулу можно получить, написав 1 1 ~ 1 1 (22-> 1)2лз+ аз 2а (а-'г 2л(22+ 1) а — 2л(22+ 1) ..,,.1„.
2а / е и произведя суммирование геометрической прогрессии под знаком интегрирования. 225 СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ МЕТАЛЛОВ и приводит к равенству 2 У В 2Т (2Л.)З совпадающему с (39.15). (42.11) 3 43. Сверхпроводимость металлов 8 е.м.л ф ел.п,п ~ с В Явление сверхпроводимости металлов, открытое Камерлинг Оннесом (Кагиег1гпд Оппез) в 1911 г., представляет собой сверхтекучесть электронной ферми-жидкости в них, подобную сверхтекучести рассмотренного в предыдущих параграфах вырожденного ферми-газа. Разумеется, во многих важных отношениях электронная жидкость и ферми-газ являются существенно различными физическими системами.
Но в то же время основные физические моменты, относящиеся к свойствам энергетического спектра, в обоих случаях остаются одинаковыми. Обсудим качественным образом вопрос о том, какие именно черты рассмотренной выше модели можно перенести и в какой мере на электроны в металлах. Важной особенностью металла является анизотропия его электронного энергетического спектра в противоположность изотропии спектра рассмотренного ферми-газа. Это обстоятельство, однако, не мешает возникновению феномена Купера, для которого существен лишь сам факт существования резкой ферми-поверхности (какой бы ни была ее форма) и конечность плотности числа состояний на ней.
Необходимо также, чтобы электроны с противоположными импульсами и спинами имели одну и ту же энергию, т. е. находились бы оба на ферми- поверхности. Это требование автоматически обеспечивается симметрией по отношению к обращению времени. Можно сказать, что спариваются электроны в состояниях, получающихся друг из друга обращением времени. Далее следует вопрос о знаке взаимодействия электронов в металле. В очень упрощенном смысле можно сказать, что это взаимодействие складывается из кулоновского отталкивания, экранированного на межатомных расстояниях, и из взаимодействия через решетку. Последнее описывается как результат обмена виртуальными фононами и имеет характер притяжения 1З 64).
В случае, если последнее взаимодействие «перевешивает», металл при достаточно низких температурах станет сверхпроводником. Существенно, что во взаимодействии через обмен фононами участвуют только электроны, лежащие в сравнительно узком слое р-пространства вблизи ферми-поверхности; толщина этого слоя БВлэ и мала по сравнению с химическим потенциалом 226 Гл.
ч СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ электронов )т (ш17 дебаевская частота кристалла). Поэтому, если пользоваться для описания сверхпроводимости моделью слабо неидеального ферми-газа, то под параметром обрезания е в (39.19) надо понимать величину ') (43.1) (вместо е,и). Что касается предположения о слабости взаимодействия, то реально для всех сверхпроводников Т.«Ь «д.
(43.2) Сделанное в 339 предположение, однако, подразумевает нечто болыпее: малость константы связи я, приводяшую к болыпому значению безразмерного показателя экспоненты в (39.19). В данном случае это требование выражается условием 1п (Бглр(Т«) л» 1 —. должно быть велико не только отношение псо777'Тс, но и его логарифм. Это условие реально выполняется значительно хуже').
С учетом всех реальных отличий электронной жидкости в металле от модели слабо неидеального ферми-газа теория сверхпроводимости становится очень сложной. В то же время оказывается, что уже простая теория, основанная на указанной модели, во многих отношениях хорошо описывает свойства сверхпроводников, причем не только качественно, но даже и количественно. Как уже упоминалось, эта теория была построена Бардином, Купером и Ш1рнффвро; в этой связи о модели ферми-газа со слабым притяжением между частицами говорят как о модели БКШ.
Все сказанное выше относится к «обычным» или «низкотемпературным» сверхпроводникам. В 1986 г. Беднорц и Мюллер (С. Вес)погг, К. А. МиеЦег) обнаружили новый класс веществ «высокотемпературные сверхпроводниким У этих веществ, большинство из которых представляет собой химические соединения кислорода, меди и редкоземельных металлов, возможны высокие температуры перехода — вылив 100 К. При этом энергии Ферми относительно невелики порядка 1000К. Достаточно полная теория этого интересного явления в настоящее время, однако, еще не построена.
Не вполне ясна даже природа, взаимодействия, ответственного за сверхпроводимость. ) Тем самым, кстати, отпадает вопрос о расходимости интеграла (30.16) при болыпих импульсах (ср. примечание на с. 207). ) Отношение Аыо(Т, меняется в пределах от примерно 10 для Ро до 300 для А1 и С6. 227 свегхпговодящий ток 0 44. Сверхпроводящий ток Двум видам движения в электрически нейтральной свсрхтекучей жидкости (жидкий гелий) отвечают в случае сверхпроводящего металла два вида электрических токов, могущих протекать в нем одновременно.
Сверхпроводлщий ток не переносит тепла и нс сопровождается диссипацией энергии и может иметь место в термодинамически равновесной системе; нормальный же ток связан с выделением джоулева тепла. Будем обозначать плотности сверхпроводящего и нормального токов как .), и )„;полная плотность тока 4 =,), + 4„. Ряд важных заключений о свойствах сверхпроводящего тока можно сделать безотносительно к какой-либо частной модели уже из самого факта появления новой макроскопической величины — конденсатной волновой функции Е(г, г).
Как и в 6 26, введем фазу Ф этой функции: Б(г, г) = ! Е(ее (44.1) Подобно тому как в жидком гелии градиент фазы Ф определяет, согласно (26.12), скорость сверхтекучсго движения мм так в сверхпроводнике градиент фазы определяет наблюдаемую в этом случае величину -- плотность сверхпроводящего тока. Ввиду анизотропии металла направление 4, не совпадает, вообще говоря, с направлением пФ и связь между компонентами этих векторов задается некоторым тензором второго ранга. Во избежание непринципиальных усложнений, однако, мы ограничимся здесь случаем кубической симметрии металлического кристалла. Тогда тензор второго ранга сводится к скаляру., а связь между 1, и ~7Ф к простой пропорциональности.
Запишем ее в виде (44.2) где, по определению, е = — ~е~ "- заряд электрона, а т .- его (истиннвя) масса. Определенную таким образом величину п, (функция температуры) называют плотностью числа сверхпроводящих электронов; эта величина играет здесь роль, аналогичную плотности сверхтекучей компоненты в жидком гелии. Подчеркнем, что она отнюдь не совпадает с плотностью конденсата куперовских пар -- подобно тому, как в жидком гелии р, не совпадает с плотностью конденсатных атомов '). ') Коэффициент в (44.2) записан тик, чтобы в свободном сверхтекучем ферми-газо (модсль ВКШ) тп, совпадало с вычисленной в 140 величиной р,. Последняя определена таким образом, что ток 1, должен выражаться в виде 4, = еп,тм где и, — скорость сверхтекучего движения. В свою очередгч и, связана с градиентом фазы равенством и, = (б/2пг) ч Ф:, удвоенная масса 2гп (вместо гп в (26.12)) стоит здесь в связи с тем, что конденсат составлен из спаренных частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
