IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 94
Текст из файла (страница 94)
и. ЯуГ = — (е ГР„(уе )ГРр Г1 х. (101.5) Подынтегральное выражение в (101.5) представляет собой ли- нейную комбинацию величин 1, ех(з( — (ОГ вш(а+ го2 сов ~р) . сое у, гйп ~р, где оГ = е( — 'р — 'р ), ГВ2 = е( — ' — р ). (101.6) (ьр) (ьр') Жр) Жр') Вместе со множителем ехр[(()д+р' — р)х) эти величины выделяют всю зависимость подынтегрального выражения от х. Будем предполагать потенциал калиброванным условием Лоренца, так что аГА' = а2А. = О.
Точная волновая функция для электрона в поле произвольной плоской электромагнитной волны была найдена в 2 40 (см, формулы (40.7),(40.8)). Изменим, однако, ее нормировку; потребуем, чтобы фр отвечала равной единице средней пространственной плотности числа частиц, подобно тому как мы нормируем волновые функции свободных частиц на одну частицу в единичном объеме.
Поскольку для функции (40.7) средняя плотность равна уо = лауре, для ~толучения требуемой нормировки надо умножить ее на ~/р~~~~, т. е, заледенить в (40.7) множитель 1/А/2ре на 1/АУ27е. Для волны с 4-потенциалом (101.2) получим 503 1 1а1 ИЗЛУЧВНИЕ ФОТОНА ЭЧККГРОНОМ Разложим их в ряды Фурье, обозначив коэффициенты разложения соответственно В„В1„Вз„например: ехр( — огг1 вш но + оотг сон оо) = о(- У' Г~ ~'' (Р— '' Р )) = К о. Эти коэффициенты выражаются через функции Бесселя соглас- но формулам; (101.
7) ,.* =,,Я~Р„-.Р, = У, о Р, = Ф1*. ФУ, о,, Вь„В2, связаны между собой соотношением а1Вы + О2В2, = НВ„ (101.8) которое является следствием известного соотношения для функций Бесселя: '7 — 1(г) + 7оФ1(г) = 2НЛР(г)(г, В результате матричный элемент (101.5) приобретает вид БВ = ~~~ М ' (2оо) Ырй(вй+ д — ц' — й'); (101.9) (2оо'2ео2до) н' довольно громоздкие выражения для амплитуд ЛХ мы не ста- В нем здесь выписывать. Таким образом, ЯВ представляет собой бесконечную сумму членов, каждому из которых соответствует закон сохранения вй + ц = о + Й'. Поскольку ц =о =ш (1+с )=т„ (ср.
(40.15)), а lс2 = й'~ = 0, то равенство (101.10) возможно лишь для в > 1, н-й член суммы описывает излучение фотона Й' за счет поглощения из волны в фотонов с 4-импульсами й. Из вида равенства (101.10) очевидно, что все кинематическне соотношения, имевшие место для эффекта Комптона, будут относиться к рассматриваемым процессам, если заменить импульсы электрона квазиимпульсами д, а импульс падающего фотона — 4-вектором Во = Г,(г)е""'о В1 = — (.7 ч 1(г)е ( Ч ~~ о + 7 1(г)ей' — )То) Ы 2 ' М В 1(у (.)Рй ч-1)Ро 7,( ) ( — По о) 2г (101.10) (101.11) 504 ВзлимодеЙстние злектРОнОВ О ФО'!'Онхми Гл х в)с. В частности, для частоты излучаемого фотона в сглстеме отсчета, где электрон в среднем покоится (с) = О, с)0 = т,), имеем г э! ! о! 1 + (во! !!т.) (1 — соэ д) (101.12) где 0---угол между 14 и 1с' (ср.
(86.8)). у)ожпо сказать, что частоты ог' являются гармониками частоты ог. В принятых нами обозначениях ('2 64) амплитуда процесса излучения я-й гармоники совпадает с М ',, а выражение (!) й)4г ~„)й~~) ~2 й 1' й У (2 )45~4)( ~+ г аг.!) г ! (2гг)е 2ы' 2уо 2уе' (101.13) дает соответствующую дифференциальную вероятность (отнесенную к единице времени) ') . Структура амплитуд ЛХ1;. подобна структуре амплитуд рассеяния с плоскими волнами: и(р') ... и(р), Поэтому и операции суммирования по поляризациям частиц производятся обычным образом.
После суммирования по поляризациям конечных электрона и фотона и усреднония по поляризациям начального электрона получается е т йаИ йэу б)4) ( 4гг уо уоьг' х ~ — 2,7~(е) +~2(1+ ( ) )(/АР!+ 1~ ! — 2~2)). (101.14) о(4)( к+ ! )сг)й у'й к' 2 йп уе ' (1+иВ ') Обратим внимание на то, что нормировка функций О!р на единичную плотность отвечает нормировке на б-функцию «по шкюге Ч,Г(2я)» (ср. (40.17), Где множитель уо,!ре в правой части равенства будет тегюрь отсутствовать).
Именно поэтому число конечных состояния электрона должно измеряться элементом йЩ(2я)э. Для интегрирования этого выражения замечаем, что ввиду аксиальной симметрии поля циркулярно поляризованной волны дифференциальная вероятность не зависит от общего азимутального угла го вокруг направления )с. Вместе с наличием д-функции это обстоятельство дает возможность произвести интегрирование по всем переменным, кроме одной; в качестве последней выберем инвариантную величину и = (й)с')Гг(йр'). Тогда после интегрирования по й!1гг йуг й(г)~~ + го') имеем 505 1 1а! ИЗЛУЧК!!ИК ФОТОНА ЭЛККТРОНО.' ! Действительно, в системе центра инерции (система, в которой К1с + с1 = с1' + 1с' = О) указанное интегрирование дает 2я~с1'~дсовВ(Е„где Еэ = к!о + оо = со' + де, а 0 — угол между 1с и с1' (ср.
преобразование (64.12)). С другой стороны, в этой же системе и = ' — 1, с!сокО = Е, Еэ!1в о' — (Ч') соко ' )Ч')(1 т и)' Интервалу — 1 < сов 0 < 1 соответствует интервал 0<и<ианк — ',, — 1= Еэ 2э(кр) т: т1 (при преобразованиях следует помнить,что (ар) = (кч7)). Таким образом, полная вероятность излучения в единицу времени (101.15) где ') и= —., на=2» —, К=2атн (И') (йр) 2 8 и !' и 1 — 1 —— 1ьр!)! ' ' гн1 ' ',„/Г+~~ и, 'А и,)' (101.16) При С « 1 (условие применимости теории возмущений) подынтегральные выражения в (101.15) могут быть разложены по степеням С. Так, для первого члена разложения в И'! получается и! я, = — ', !'~~!ь —" — ! — "(! — ~)), '",, = о 1 8 1 — ! !11 — — — —,, у! 1п(1 + и1) + — + —— 4р„~~ о,;,) 2 и! 2(1+и!)г~ (101.17) ) Для вычисления х надо заметить предварительно, что х = (а!С2) + (оэЯ) = а О, (йч) (12 )' В этом легко убедиться, выбрав систему отсчета, в которой (а!)е = 1ае)а = з = О, а векторы а!, аэ, к направлены ло осям х, х, х, и заметив, что в силу И2 = О будет Цю = Оз.
506 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х причем и1 — 2(йр)/т2. Как и должно быть, этот результат совпадает с формулой Клейна Нишины для рассеяния фотона на электроне; положив в (101.17) — ая = 42г22оэ, С2 = 4яе222(тзо2) и разделив на плотность падающего потока (64.14), мы вернемся к (86.16) (интегральное сечение рассеяния не зависит от начальной поляризации фотона) ') . Приведем также выражение для вероятности испускания второй гармоники (первый член разложения Игз при С « 1): и2 а соп2'б' ~1 1 4 1 ро ).2 Зи2 и2 из 2(1 + 2и1) 2'1 3 3 11 — ~ — — — — — — — ) 1п(1+ 2и1)].
(101.18) 2и1 2и22 и22 и22 Вообще, основной член в Ига (при не слишком больших а) пропорционален С2'. Остановимся теперь на противоположном случае: с » 1. Параметр с можно сделать большим, например, путем уменьшения частоты а2 при фиксированной напряженности поля (очевидно, что С = ег'/(тоз), где" г' амплитуда напряженности поля). Поэтому ясно, что случай с » 1 по существу сводится к процессам в постоянном однородном поле, напряженности Е и Н которого взаимно перпендикулярны и равны по величине (назовем условно такое поле скреп4енна22м).
Вероятность излучения в этом поле можно получить предельным переходом С вЂ” э со, по проще произвести вычисления сразу для постоянного поля, взяв 4-потенциал в виде Ад=а"~р, у=йхо ай=0 (101.19) (так что гл~ — — йдаи — й~ад — — сопа1). ТочнаЯ волноваЯ фУнкция электрона в этом поле получается подстановкой (101.19) в (40.7),(40.8): ф„= ~1+ е1~"К ~")~р1 ср) ехр1 — 4е 1 1') р~+ 4е ~рв — грх). 2(йр) ) А2с2ре 2(йр) б(йр) (101.20) Получающийся с помощью этой функции результат является точным для излучения электрона в скрещенном поле при любой энергии электрона. Но в ультрарелятивистском слу.чае этот результат (нри надлежащей форме его представления см. ниже) ') Указанное значение о2 отвечает нормировке 4-потенциала на один фогон в единичном объеме.
Для его определения надо приравнять о2 энергии классического поля с 1вещес2венным) 4-потенциалом (101.2). 507 1 1а1 ИЗЛУЧВНИЕ ФОТОНА ЭЧККГРОНОМ относится к излу.чению электрона не только в скрещенном, но и во всяком постоянном однородном электромагнитном поле, в том числе в постоянном магнитном поле (которое было рассмотрено в 9 90). Для формулировки этого утверждения заметим, что состояние частицы в произвольном постоянном однородном поле определяется столькими же квантовыми числами, что и состояние свободной частицы, и эти квантовые числа всегда можно выбрать так, чтобы при выключении поля они переходили в квантовые числа свободной частицы, т. е.
в ее 4-импульс р" (р~ = т~). 'Таким образом, состояние частицы в постоянном поле будет описываться постоянным 4-вектором р. Полная интенсивность излучения, будучи инвариантной величиной, зависит лишь от инвариантов, которые можно составить из постоянных 4-тензора гр и 4-вектора р".
Учитывая также, что Уд, должен входить в интенсивность только вместе с зарядом е, получаем три безразмерных инварианта; в (101.21) В скрещенном поле у" = д э— з О, в то время как в общем случае отличны от нуля все три инварианта. Но если электрон— ультрарелятивистский (ро « т), а вектор р составляет с полями Е, Н углы О » пз/ре, 1о 1С~ >> 1', д 1другими словами, для ультрарелятивистской частицы почти для всех направлений р любое постоянное поле выглядит как скрещенное).
Если, кроме того, напряженности поля ~Е~, ~Н~ << гпз/е (= НРсз/(ей), то ~~~., ~д~ << 1 ') . В этих условиях интенсивность, вычисленная для скрещенного поля и выраженная через инвариант у, будет относиться также к излучению во всяком постоянном поле. Инвариант у выражается через напряженности Е, Н согласно 1С' = — ', (ИрН] + роЕ)' — (рЕ)'). Для постоянного магнитного поля 1С совпадает с введенной в 9 90 величиной (90.3), так что изложенные:здесь соображения дают другой способ получения результатов 9 90 ') .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
