IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Тогда 1е = — ет (Лт — — ~,7.,). Сравним выражения (99.8) и (99.9). Они окажутся пропорциональными друг другу, если можно пренебречь вторыми членами в скобках. Поскольку ток Л относится к верхнему узлу диаграммы (99.16), он не связан с направлением р; поэтому ЛФ и Лз надо считать величинами одного порядка. Допустимость указанного пренебрежения требует, следовательно, соблюдения условий ~1с2 ~ << ео и Вз << е ~1ст~/М: они не противоречат предыдущим условиям, уже наложенным на 1ст и ы. Приняв, что в (99.9) фотон поляризован в плоскости х1с (так что ет 'О 1ЕА), и заметив, что в силу поставленных условий е~~ е = 1, получим теперь ~(е1 ХВ ее4л 2е ~1 (99.10) — ея и Согласно сказанному выше при этом предполагаются выполненными условия (99.9) ~1ст ~ << ео << пгу, —, « ~1ЕА~ << пт, (99.11) (99.12) где н = р /е скорость частицы М.
Поскольку — 1с = — ен +Й +1с, =Вз (1 — н )+1сь (99.7) поперечная к оси х составляющая вектора 1с), ушювие (99.4) эквивалентно неравенству ~1ст~ << т и значительно более слабому неравенству для ео: ы « гвЛ вЂ” и2. Далее, из условия поперечности тока Л (,И = О) следует при использовании (99.6) 492 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТ'ОНАМ|И ГЛ Х где для краткости обозначено: е 1 'у = ЛХ тгс1 — иг Отсюда можно найти связь между соответствующими сечениями.
Согласно общей формуле (64.18) имеем (в системе покоя частицы сп) <1пг — — ~М7",. ~ (2гг) д(~г(Р~ — Р,) — с1ус2, сдаст = ~М7 ~2(2гг)~д(~г(ру — Р, ) — ' гг 6(усг 4тВг 2е(2гс)з где с(ус2 статистические веса частиц Я. Используя (99.10) и (99.7) г получаем (99.13) сгп = ЙГ, . Гг(1с)ГС' р, где п(1) = (99.14) „(1г Ч г! г)' Напомним, что ЙГГ сечение процесса а), вызванного столкновением реального фотона с покоящейся частицей, причем образуется система частиц Я в определенных интервалах их импульсов.
Сечение же с(сс относится к процессу б) образования той же системы (~ при столкновении быстрой частицы (массы М) с той же покоящейся частицей, причем быстрая частица теряет импульс р — р' = 1с, оставаясь в интервале д р' значений р'.
Множитель п(1с) в (99.13) можно истолковать как плотность (в 1с-пространстве) числа фотонов, которым эквивалентно электромагнитное поле быстрой частицы. Интегрирование по с1 р равнозначно интегрированию по с4зсс = ЙВс(~й Г. Произведя интегрирование по с(2кт, мы получим сечение пропесса, в котором полная энергия Е системы частиц Я лежит в заданном интервале с4Е = Йе (Š— гп = е — е' = Ог, где е и е~ — начальная и конечная энергии частицы М). Интегрирование по направлениям 1ст означает усреднение по направлениям поляризации падающего фотона (вместе с умножением на 2гг). После этого получим Йт = гг(сгг)ггсссс(Вг, 22г,г г ьг,1~,„(99.13) гг(Вг) = п(1с) 2тс(стс™т = / гсог / (ег +Рг','уг)В Интеграл по йь расходится при болыпих йт.
Расходимостги однако, всего лишь логарифмическая. Это обстоятельство позволяет (в пределах применимости излагаемого метода) получить 493 э 99 МСТ'ОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТ'ОНОВ ответ в логарифмическом приближении: предполагается, что велик не только аргумент логарифма, но и сам логарифм. С такой точностью достаточно положить для верхнего предела интегри- РованиЯ йтю пэ веРхний пРеДел неРавенства (99.12). ПРоизведя интегрирование, получим для спектрального распределения эквивалентных фотонов (в обычных единицах) гл(оэ) Йоу = — Ът )п 7Г ГКЭ Ь7 (99.16) Принятое приближение означает, что численный коэффициент в аргументе логарифма остается неопределенным: введение такого коэффициента означало бы прибавление к большому логарифму относительно малой величины ( 1) и представляло бы собой превышение допустимой точности.
Задачи 1. Найти сечение Тормозного излучения при столкновении бысгрого электрона с ядром, исходя из сечении рассеяния фотонов на электроне. Р е ю е н и е. В системе отсчета К7, в которой электрон до столкновения покоился, щюцесс можно рассматривать как рассеяние на электроне эквивалентных фотонов поля ядра '). Согласно (86.10) сечение рассеяния фотона электроном в системе К1 Перлсг(Ь77 Рр~) = где ы7 и ы~1 пачааьная и конечная энергии фотона в этой системе. Сечение тормозного излучения в системе К~ 71о„,„,(ь77) = / Оь77 п(ь71)пор„,(ь77, р77)., (2) где п(ы7) -функция (99.1б). Ввиду инвариантности сечения переход к системе отсчета К,в которой покоится ядро, сводится к преобразованию частоты орало с1ас7оты р7~7 и рх в системах К7 и К связаны формулой Доплера ы = уы,(1 — е совУУ7), у = (3) где 87 — угол рассеяния в системе Кь Этот же угол связывает ь77 с ы7, согласно (8б.8): 1 1 1 — — — = — (1 — соэ 81).
Ь77 Ь77 т Из (3) и (4) находим (4) Е ы Е ) Рассеяние же виртуальных фотонов на ядре (в системе покоя ядра) исключается болыпой массой последнего; сечение рассеяния стремится к нулю при увеличении массы рассеивающей частицы, ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х 1Ьт„„, = / 1)ь2 п(ь2)гетр„,. (22, ш'), с 1)пр „(ш., 22') из (1) (с соответствующим изменением обозна 1ений частот).
Для области значений, пробегаомых ш при заданном ш', имеем (ср. (4)) 1П при 22 ) —; 2 22 <21<ос 1Р ш (ш( пз — 2рз' т при ш < †. 2 При ш' < ш/2 интегрирование по 22 дает 1)о,, = — Ог,. — 1 — — + — )п— 3 ьг' ( 1п т2( и' в согласии с (97.4). Если же ш' ) ш/2, то надо различать случаи 22' т и 1 ) Это значит, что путем однократного интегрирования по частям выделяем член, содержащий большой логарифм, а остальными членами пренебрегаем. Эта операция сводится к вынесению логарифма!В(е/ш1) из-под знака интеграла при значении ш1 = ш1,„ы.
где е = т7 и е — начальная и конечная энергии электрона в систелш Л (е — е' = и2'). Подставив (б) в (1),получим ~оР '=ЯР. + + 2 2 Это выражение надо подставить в (2) и интегрировать по ш1 при заданном 22 (т. е. заданном с ) в пределах между 2сь2' 2ть2' 111 А Ь/1 Ы = (эти значения получаются из (3) — (4) при 01 = 0 и 01 = я. Ввиду быстрой сходимости интеграла при больших а11 главный вклад в него дает область ш1 вблизи нижнего предела (т. е. можно положить 221„„— > оо). Вычисляя интеграл с логарифмической точностью ) получаем 1 1)22' е' 1' с е' 2 1 ее' сл, = 4г,аУ вЂ” — ~ — 4- — — -) 1п —. 22 Р Р г 3 1п22 Для справедливости этого результата, помимо условия е >) т (ультрарелятивистский элоктрон), должно выполняться условие (99.11): существенные при интегрировании частоты 221 р ы „, должны быть много меныпе е.
Отсюда е — е' = рз' «ее'ут. В этих условиях полученный результат, как и следовало ожидать, совпадает с логарифмической точностью с (93,17). 2. То же для тормозного излучения электрона на электроне. Р е ш е н и е. В этом случае виртуальный фотон может рассеиваться либо на быстром электроне, либо на электроне отдачи; фотоны, эквивалентные полю одного электрона, рассеиваются на другом, и наоборот. Рассеяние виртуальных фотонов на быстром электроне дает сечение 1)о „, совпадающее с сечением излучения электрона на ядре с Я = 1. Рассеяние же виртуш1ьпых фотонов на электроне отдачи дает сечение излучения 495 1 1оо МВТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТОНОВ 22~ г >> т.
В первом случае полу"шем 2 в согласии с (97.3) (в аргументе логарифма произведена замена с требуемой точностью е/от~ на г/т). В случае же 22~ е метод эквивалентных фотонов вообще неприменим для вычисления дп„т . Частота виртуальных фотонов 121 ь2 пробегает значения,начиная от и',и при ь2 = ь2' е, следовательно,не вьшолняется условие (99.11).
3. Определить полное сечение образования пары при столкновении фотона с ядром, исходя из сечения образования пары при столкновении двух фотонов. Р е ш е н и е. Энергия фотона в системе покоя ядра (система К): 22»пь Перейдем в систему отсчета Ко, в которой ядро движется навстречу фотону со скоростью ее такой,что 1 ы /Г:ет 2 В этой системе энергия фотона 1 — го ь2 Г Ь2Е =22 ~)~ "о =Ш. ,т:.2 Искомое сечение и вычисляем в системе Ко как сечение образования пары при столкновениях падающего фотона юе с эквивалентными фотонами ядра, энергии которых обозначим через ьт': и = ( пттп(ь2 )Л22, где и т — сечение образования пары двумя фотонами; оно дается получен- ной в задаче к 3 88 формулой (1), в которой надо положить Перейдя к переменной е вместо 22~, получим сг = 2Т,ОУ~ Н1п~ — (1 — е )~ ~(3 — е') 1п — 2г(2 — е )~4ш 21 т 1 — 22 е При учете сходимости интеграла на верхнем пределе интегрирование рас- пространяется на всю область от порога реакции ь2' = т (г = О) до ы' = = Оо (г = Ц и производится с логарифмической точностьк> (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
