IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 87
Текст из файла (страница 87)
ультРАРел5и!'ивистскии случАЙ 463 (см. Ш, (136.11)). Относительная скорость двух частиц есть ско- рость одной из них в системе покоя друсой. Сравнив значения инварианта ртири в этой системе и в лабораторной системе (си- стеме покоя ядра), получим 7В , = е-,"е — Рьр— У71 — В7 О откуда можно найти ее. Если рт и р близки к друг к другу по абсолютному значению и направлению, то для ео получается приближенная формула 2 Р 02+ с77т 17 ) ЕО = —., (94.13) применимая при пв « 1; р = (рч + р )7727 е = (еь + е )772, д — угол между р и р Поправка в сечении, определяемая формулами (94.12), (94.13), приводит к появлению аномалии в корреляции между импульсами рождаемых электрона и позитрона: узкому максимуму при р т — р 3 95. Точная теория рождения пар в ультрарелятивистском случае В двух предыдущих параграфах тормозное излучение и рождение пар фотоном в релятивистской области были изучены на основе борновского приближения, для чего во всяком случае требовалось выполнение условия ес! « 1.
В 3 95, 96 излагается теория этих процессов, свободная от указанного ограничения, т. е, справедливая и при е се 1 (Н. А. ВЕ07е7 5. Мае7777оп7 1954). При этом предполагается, что обе частицы (начальный и конечный электрон или компоненты пары) ультрарелятивистские; их энергия е» ьм Мы видели, что в ультрарелятивистском случае обе частицы лет5п под малыми углами (О, 0' или От, 0 ) к направлению фо:0< .Т,с й.'о р; в ° й1 го) теории, и мы будем рассматривать именно эту область углов. Передача импульса ядру в этой области: 9 ьм Это значит, что в волновых функциях существенны прицельные параметры р 179 1777п, т.
е. «болыпие» расстояния. На таких расстояниях можно пользоваться волновой функцией, полученной в ~ 39. Изложим соответствующие вычисления для рождения пар. 9 95 теОРиЯ РО>кдения ИАР. УльтРАРелятивистский слУИАЙ 465 основной член в (ае)у; оказывается малым, а поправочные члены одного порядка величины с ним. Подставляя (95.3),(95.4) в (95.2) и пренебрегая членами - 1/(ете ), находим Мв; = и'(р )((еа)1+ (еа)(а1т) + (а1 )(еа))и( — р, ), 2 /Г Г (95.5) где Х = СРР~С~ ~ = я /(ЕЬяи), (95.6) тт — гяттт;* Ат,,13 1т — — / е 'ч'г' тзгГтс1'х, 1 = / е ч"(туГ ) Г,й х, 2вт 1 2Е 1 (95.7) с1 = рт+ р — 1с (К и Г~.
обозначают для краткости гипергеометрические функции, входящие в (95.3) и (95.4)). Сразу же отметим, что интегралы 1, 14О 1 связаны одним тождеством: из имеем с11+ 2Е11ч. + 2Е .1 = О. (95.8) Квадрат ~ЛХ7;~2 усредняем по поляризациям падающего фо- тона и суммируем по направлениям спинов электрона и позитро- на ') .
Это осуществляется заменой тензора; 1 1с е,ее — з — (ба — п,пе), п = —, и биспинорных произведений: иаиа — з 2рв = (е~"~о — рв у ~ из). Заменив также а = у 7, найдем /Му;/~ — э (Ярр йсрЯ вЂ” Зрр (пО)рч (пЩ1, а (1) о(1) Ю = ~1* — 7'у( у1* ) — ~'М71' ) ) Вычисчеиия с учетом поляризации всех частиц см. Обмен Н., Лсахнаоп Ь.ОРпув. Веу. —. 1989.. - 'у". 114.. Р. 887, а также указанную на с. 484 книгу В.
Я. Байера, В, М. Каткова и В. С. Фадина. 466 взаимодействие элвктгонов с тотонями гл х Выпишем сразу результат, получающийся после надлежащих пренебрежений, для ийтересующего нас ультрарелятивистского случая в области малых углов В„- ига «1. (95.9) Введем вспомогательные векторы: б = — (рс)ш, б.с = ~+0~ (95.10) гп (индекс 4 означает составляющую, перпендикулярную направлению 1с). С их помощью ответ записывается в виде 2 2 (95.11) Здесь учтено, что 1 -1т — 1 (как это видно из (95.8)), и е та опущены члены более высокого порядка по гп(а.
Интегралы 1-с можно представить в виде .р, дУ -с = г 2с дра 1 = Е( — Ы, 1, г(рсг+ ртг))Р(ги, 1, г(р т+ р г))д'х. (95. 12) Интеграл,7 выражается через полную гипергеометрическую функцию '): 1 Я РеЧ Р( 1 ) 4хГ ' — 2 Ч' се — 2р-и 22 (ртр — ртр ) т 2(ртЧ)(р Ч) (сг 2ртЧ) (еа 2р Ч) (95.13) 1я = —,— ( — '+) (~ис1( Р(в) +1 — Р (в)(с1~~ — птбь)~.
(95.14) ') Проведение вычисаений см. в указанной на с. 438 статье Нордсика. Дифференцирование по рс должно производиться при заданном параметре с1, и лишь затем можно положить с1 = р4 + р — 1с. Приведем резульгат в форме, в которой уже произведены пре|гебрежешля, отвечающие ультрарелятивистскому случаю и условиям (95.9): з ЗВ теоРи>1 Ро>клени>1 ИАР. УльтРАРел>г!'иаистскии слУчАЙ 467 Здесь введены обозначения: е = 1 — — ~Д + !)~> гп> .г'(я) = г'( — ги, ги, 1> е) (95.15) ,г 4( ки ) Ут 5.2 'г' 5 15т,б 15,д,ге, ~Ггй( ) х х [ — 2ете (д'>б~~ + б~б~) +агй(б~ + 5~)(т~ +2(е'> +к~ ) х х дч.д б„б соегг>]+ ~ ~— +~ Г' (е)[ — 2ете (гг~~~ +5~~~)+ + аг~(1+ д~~б~ )~т~ — 2(е~~ + е~ )дтб бе~ сов гр)).
(95.16) При и — > О лигг(ЕЬли) — > 1, г'(е) — > 1, г'~(е) — ий — г О. Выражение (95.16) сводится при ятом, как и должно быть, к формуле Бете Гайтлера (94.3), отвечающей борновскому приближению. Оно сводится к той же формуле также и при произвольном и, если углы вылета пары удовлетворяют условиям [бт — д [ « 1> [ г — гг>[ « 1.
Действительно, при зтом г) (( гп, так что второй ч.лен в фигурных скобках в (95.16) может быть опущен ввиду наличия в нем лишнего (по сравнению с первым членом) множителя (57/г>1)~. В первом же члене имеем (заметив, что (1 — е) гг,ггн « 1 ') ) г'(е) — > г'(1) = Р( — ги> ги> 1, 1) = Г(1 — >и)Г(1-г- >и) а.и (95. 17) в результате чего сокращается аналогичный множитель перед фигурными скобками. Перейдем теперь к интегрированию сечения по направлениям вылета пары. ') Это значение функции можно получить из формулы (е. 7) (см. П), связывакицей гипергеометрическне функции аргументов к и 1 — к (г'(е) вещественная функция). Интеграл 1 вычисляется затем прямо из (95.8). Подставив значения интегралов в (95.11), а затем в (95.1), получим искомое дифференциальное сечение. Окончательная формула: 468 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х Интегрирование по углам разобьем на две области, 1 и П, в которых соответственно 1)1В>1ВМП)1х<1В1 где ВГ .
— некоторое значение, для которого 1 » 1 — ВГ » (п2/е) . 2 Поскольку в области П 1 — В « 1, 9 « т, то, согласно ска- 2, 2 занному выше, здесь дс — Гххтв — = Г)с~ =ш где Гххтв сечение в борновском приближении. Поэтому интеграл по углам: дсхт: — Гхс: ххсх + ГГГГ~Р— Ю: (Гхох Р)Б + (ххсх Гхйи-эо) (95.18) где (Г)хт,т)в проинтегрированное по углам борновское сечение (94.5). В области 1 имеем д2!Гпз — 52 + б~ + 2А б сов,,х. От переменных дт, д., ~р перейдем к переменным (ч, Прямым вычислением якобиана преобразования найдем бТддТ .
д Ю ГКС -Э '+' 8тх (4Т6 )2 ВЕВ причем 1 — В = — '.,6-б- = хйх = ~, +С вЂ” 2~Д + 2 ~Э С (1 — ~Т)(1 — С .) совсх. Выразив отсюда сов ~р и Вш хр и подставив в (95.16), пог ге простых алгебраических преобразований получим 2216чхЦ 212 — — — — 1)2 — 2(6Т вЂ” Р )2) хх х ( [(еэ. +е )(1 — В)+2ВФЕ (~Ф вЂ” ~ ) ]+ (1 — 2)2 +(, ((е +е )В+2е~е (~~+( — 1)~]~, а 2у2~, 2 НаКОНЕЦ, ВВОДИМ ВМЕСТО Сэ, С НОВЫЕ «СфЕРИЧЕСКИЕхХ ПЕРЕМЕННЫЕ )Г, 2)х: (Ф+( — 1 = ъхьв1пхсоЯФ; С+ — С = Ах'Т вЂ” В В)П,"Г В)иф; 0<)Г<2Г/2, 0<ф<22Г„ 22Х,хХ- ххИх-*) ' х- ххххх 2 Йа теоРия Рождения ПАР. УльтРАРел5Г!'ивистскии слУИАЙ 469 Указанные интервалы изменения 1 и 5)! отвечают изменению отОдо1>т.с,бт,б (или,чтотоже,ОА,О )отОдоос; быстрая сходимость интеграла допускает такое расширение области изменения углов.
После преобразования корень в знаменате«ут!5-*!е 2; 2 2 2225 тарно и дает ЕЬ = 2А 2л>1е~ет+е + -аде ) [ + — Г' (е)1слт. / 2 2 2 11Р2(2) 2 >2 3 )[1— Интеграл от этого выражения равен е>Г(е1)Г'(е1)(52~. Значение е>Г(е1) = Г(1) берется из (95.17), а предельное выражение для Г'(е> — э 1) дастся формулой ') — Г'(е) = Г(1 — 2'и, 1+ м0 2, е) — — [1п(1 — е) + 27" (и)] ' ! 2 ХР где 0 0,1 0,2 0,3 и Рис. 18 )'(52) = — [Ф(1 + > и) + Ф(1 — иу) — 2Ф(1)] = ь 2 ~~> 2 п(пе -~-Р2) в=1 (95.19) Ф(е) = Г'(е)/Г(е). Подставив все найденные выражения в (95.18), получим следующую окончательную формулу: сЬ, = 4Я от,~ет+е + — ете ) [1п — — — )(с>4] 2 25 2 2 2 1 ~ 2еэе 1 ) дет.
3 п>ь> 2 и (95.20) ) Вывод этих формул можно найти в приложении к статье 1>ае1ев Н., ВЕ11>е Н. А., Мах>>поп Х. С.))РЬуайеу. — 1984. — У, 93. — Р. 788, Сюда введен лишний множитель 2, учитывающий тот факт, что интегрирование по е будет производиться от О до е>,между тем как при изменении азимута 92 от О у( )5 2 до я и от л до 2>т каждое значение е проходится дважды. Интегрирование по 51е производится с помощью формулы (92.14), 146 которая при 52' = — 52 (и соответственно вещественной Г(е)) имеет вид т~ 2 52 1 Н + ЕГ = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
