IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 83
Текст из файла (страница 83)
е. условие применимости асимптотического выражения (92.23), состоит в требовании малости в последнем второго члена по сравнению с первым: (1— — 21)р» 1, или после выражения параглетров гнпергеометрической функции через физические величины: Ю» — «в (92.24) 7«г Условие (92.24) совпадает с условием, определяющим «высокочастотный предел» прн классическом излучении в кулоновом поле притяжения, а величина ггсадгт с дсгм из (92.23) совпадает с выражением (70.22) (см. П) для «эффективного торможения' в этом пределе.
Этот результат нуждается в некотором обсуждении. Может показаться, что для применимости классической формулы излучения требуется, кроме квазиклассичности движения, также и малость энергии кванта по сравнению с энергией электРона, т. е. Условие Гка «лппзгг2, что не пРеДполагалось пРи выводе (92.23). В действительности, однако, значение Йга должно быть мало не но сравнению с энергией электрона на бесконечности, а по сравнению с его кинетической энергией на том участке траектории, где в основном происходит излучение. Эта энергия горселдо болыпе начальной из-за ускорения электрона в поле иона. Действительно, излучение высоких частот происходит в основном на малых расстояниях от иона, где п(г) Лгг са.
(92.25) (Мы обозначили через и(т) скорость электрона на расстоянии г от иона, в отличие от скорости п на бесконечности.) Учитывая, что при этом 2е (т тп (л), находим, что кинетическая энергия на участке, где происходит излучение; ту (г) т, (мл« ' тп '«гя«~' ~ пгпг г ° г,г 2 2 глг 2 2 т 2 тпг 2 ПоэтомУ излУчение Даже кванта с энеРгией поРЯДка тп2гг2 не меняет существенно движения на участке излучения и дополнительного условия малости Бса пе требуется. ВзаимодеЙстнне электРОнОВ О Фотонами ГЛ Х Задачи 1. Найти в бориовскол! приближении сечение тормозного излучения при нерелятивистском столкновении двух частиц с различными отно1пениями ег'т.
Р е го е н и е. Дипольный момент двух частиц с зарядами е1, ег и массами тл, гпг в системе их центра инерции равен Ш 1 го 2 гдер=, г=гл т! + 'тг гг. Отсюда й=(" Матричный элемвнт 2 !2 р — р НР = - — (й)Р 222 2р Отметим также, что движешле на участке 192.25) при заданным моменте импульса И не зависит от начальной энергии. Соответственно и энергия, излучаемая при пролете по траектории (обозначаемая в П, 8 70 как дЕ„), зависит только от 1. Сечение !1!т можно получить, умножая вероятность излучения !2ОФ/!лог на 2нр21р 1р прицельное расстояние) и интегрируя по всем р.
Поскольку в квазиклассическом случае рг1р = 62Ы,21плзн2), это приводит к зависимости Йт = 122н, соответствующей 192.23). Приведенное рассуждение объясняет, лючему в эту формулу входит именно начальная 1а не конечная) скорость электрона. Для того чтобы перейти к классическим формулам во всей области 11 — й)и 1, и )> 1, надо было бы найти асимптотику, гипергеометрической функции в условиях близости перевальной точки к особой точке 1 = О; мы не будем останавливаться здесь на этом ввиду очевидности окончательного результата. Все написанные формулы относятся к кулонову полю притяжения.
Сечение излучения в поле отталкивания получается из 192.15) заменой: лг — + — лг, ь~ — л — лгС При этом, .в частности, предельная борновская формула 192.16) вообще не меняется. В пределе же: лг « 1, ь~ — л оо получим вместо 192.18) 128я~э 2 2 1 с 1 ( 222игс яЯО ) гиог т. е. ДиффеРенЦиальное сечение стРемитси пРи и! — л п1о к нУлю по экспоненциальному закону.
Этот результат снова естествен, в поле отталкивания связанные состояния отсутствуют и частота пг = ыо является истинной границей спектра излу.чепия. 5 92 тОРмОзнОН излучение нерьлятивистский случАЙ 445 1р = ду, р' = ру' †импуль относительного движения) вычигтяется по плоским волнам ) с помощью формулы ч=р — р. В результате находим 2 2 г 2 е,гг ег ег г р „15э г"ткр =,, ) — ) г 1ес1Ие 21) — 4ор 14ою гг гн1 гнг Г Я М После сумлгирования по поляризациям угловое распределение излучония дается множителем эгп О, где О угол между направлением фотона к и вектором сй лежащим в плоскости рассеяния 1сы. 145.4а)). После интегрирования по направлениялг фотона 16 г /' ег гг 1 р' 1422 е1п 046 4т в = — егег ~ — — — / 3 ~глг 2112 о 22 ог+еж — 2рг'совр где 5 - угол рассеяния.
Наконец, интегрирование по 146 дает 2 16 г 2/ег ег '1 1 г4-г 1422 4т, = — е,ег ~ — — — ) — 1п З 1пг ) Для излучения в поле неподвижного кулонова центра эта формула совпадаот с 192.16). 2. Найти в борновском приближении сечение тормозного излучения при нерелятивистском столкновении двух электронов ). 2 Р е ш е н и е. Дипольное излучение в этом случае отсутствует, так что надо рассматривать квадрупольное излучение.
В классической теории спектральное распределение полной интенсивности квадрупольного излучения дается формулой 7. = (1(дд) ~ф,.).~2, где Р,ь = 2,' е13т,тг — ггпу,г) — тензор квадрупольного момента системы зарядов 2) . Для двух электронов в системе их центра инерции е Р,ь = -(Зя,яь — г 6,2), г = гг — гг. 2 При переходе к квантовой теории компоненты Фурье надо заменить матричными элементами 1ср.
сказанное в З 45 о дипольном излучении), и при надлежащей нормировке волновых функций 1плоских волн) получится - . после деления на энергию фотона ы — сечение излучения с рассеянием электронов в интервал состояний 0 р: 4пр = ~(Р.)р Р~г г12я)2 1 ) Замена двух частиц одной частицей с приведенной массой допустима, конечно, только в нерелятивнстском случае. ) Скорость столкновения е удовлетворяет условиям О (( е Дйе) (( 1. Классический случай 1е~Дйп) >> Ц рассмотрен в задаче к П, З 71.
2) Эта формула получается из 171.5) 1см. П) так же, как 167.11) 1см. П) получается из 167.8) 1см. П). 446 ВЗАИМОДВЙСТВИВ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х Р = 2р/тп — начальная скорость относительного движения;излучаемая частота 22 = (р — р' )(тп. Оператор 7)ы вычисляется путем трехкратного коммутирования В,Р с гамильтонианом 2 2 О= — Ф— тп т и равон ') С учетом тождественности обоих частиц (электронов) матричные элементы вычисля2отся по волновым функциям Р А 2 ) Р где знаки «Рь и «-» соответствуют суммарным спинам электронов О и 1 (перестановке электронов отвечает замена г э — г).
Гроыоздкие вычисления приводят к следующей формуле для спектрального распределения излучения: 4 2 ( Зхе до. = — От,«17 — + 15 ' (2 — х) 12(2 — х)« — 7(2 — х)2х2 — Зх« 1 ) А2т1 — х + АТСЬ вЂ” 2 дх, (2 — х)АЛ вЂ” х л)' где х = ь2/е, а е = р2/т — начальная энергия относительного движения электронов; сечение усреднено по значениям полного спина электронов.
Эффективное торможение и„„, = й / РЛ1п = 8,1от,е (Б. К. Федююии, 1952). 3. Определить энергию нзлучения, возникающего при испускании ядром нерелятивистского электрона в э-состоянии. Р ею он и Р. Волновая функция испущонного ялролг электрона в расходящаяся сферическая з-волна, нормированная на равнй единице полный поток: 1 е'Р" А/4яг т ) Это выражение аналогично классической формуле 4ез т х, хь х,хе Гз,в = — )6 — р«+ 6 — р, — 9 ' рг — — д,ьрг1, тп т те т" тз которая гюлучилась бы в результате дифференцирования В,в с учетом классического уравнения движения т..
ег 2 22 5 92 тОРУ1озное излучение неРелятинистский случАЙ 447 (см. П1, (33.14)). В качестве волновой функции конечного (после испускания фотона) состояния электрона выберем плоскую волну О1 = е Р Матричный элемент перехода рд = '1р*у)* = (~ А5,*рму4 ~ = З1 е "" '"' — = =~,'', =-Г- (интеграз1 вычисляется согласно (57.6а)). Энергия излучения получается из формулы Г45.8), умноженной на 11~р'/(2я) и проинтегрированной по направлениям р' (что сводится к умножению на 4я). В резулыате гюлучим спектральное распределение излученной энергии дВ = 11ь1. 2е'г' Зле При ы -э О конечная скорость электрона е~ -э в, и эта формула совпадает, как и довжно быть, с нерелятивистским пределом классического результата (см.
задачу к П, 3 69). Полная излученная энергия (в обычных единицах) = -'-(-")' где е = те~/2 — начальная энергия электрона. 4. Определить энергию излучения, возникающего при отражении нерелятивистского электрона от бесконечно высокой «потенцищ1ьной степки». Р е ш е н и е. Пусть электрон движется нормально к стенке.
Хотя фотон может быть испущен в любом направлении, но поскольку в нерелятивистском стучае импульс фотона мал по сравнению с импульсом электрона, можно считать, что и отраженный электрон будет двигаться нормально к плоскости стенки. Пусть стенка находится при х = О, а электрон движется со стороны к > О. Волновые функции стационарных состояний одномерного движения, нормированные на д(р/2х) (р = р ), имеют вид стоячих волн (см. П1, 5 21): ф, = 2З1прк, фу = 2З1пр х. Матричный элемент оператора р = р,: 41рр' ру, = — 41 / Е1пр т — З1пртг1т =— дт р'-ры о (инте1-ралы такого вида надо понимать как предел при 5 — Г +О от значения, получающегося путел1 введения в подынтегральное выражение множителя — 1* е нергия, излучаемая при однократном отражении электрона, получается из (45.8) умножением на др' = Ви/в' и делением на е/2х (плотность потока бегущей к барьеру волны в начальной функпии 1Р,): 4ы е ~ 12я1га1 8 в % Згпв ое' Зя При малых частотах (ь~ << е = пзе'/2) имеем е' — е и (1) переходит в классическую формулу (69.5) (см.
П), которую надо интегрировать по углам ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОИОВ С ФОТОИАМИ Гл х ГЙЕ, 16 е~ Е= / — г)ш= — Ое— о (в обычных единицах). 5. Определить энергию тормозного излучения при рассеянии ме;щенного электрона на атоме. Р е ш е н и е. При условии ра « 1 (где а — -атомные размеры) рассеяние на атоме изогропно и не зависит от энергии электрона (см. 111, 3 132). Волновые функции начального и конечного состоянии электрона пишем в виде Ю, = е*" -Р ~ — ', ~ьг = есе " -Р ~ ' где 1 — постоянная вещественная амплитуда рассеяния. Эти выражения относятся к асимптотической области расстояний г» а, которые в данном случае как рвз и существенны: г 1/р» а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
