IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 80
Текст из файла (страница 80)
и1/т ГБзт = — Г'(ГВ1)4 ~1, 8е зитА Рис. 14 Г'(ГВ1) =, + + ~ ВЛ(т — и1) 2т — МГ (2Гл(т — а~1) 2т(т — аа)~1 Г — м1 ] 1п (2т — ю~)2 (2т — ЕЛ)В т Функция г'(ГВ1) монотонно возрастает от нуля при м1 = О до 1 при ш1 = т; на рис. 14 изображея ее график. 423 1аа МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧВНИЕ Полное сечш1ие аннигиляции получается интег1зированием (89.14) по обеим частотам; т Рп 1ГЗ.1 —— 4ее / / ~ы~ -ь М2 — т)2 Ю, Юа. 3 ' /,/ 2 2 а т — пп СтОящий ЗдЕСь двОйнОй интЕгран равЕн (на — 9) /3, и мы прихОдим к приведенной выше формуле (89.6).
й 90. Магнитотормозное излучение о2 И2а ( — ) (90.1) где ОЗа = и~е~Н ~е~Н (90.2) М е .. частота обращения электрона с энергией е по круговой орбите (в плоскости, перпендикулярной полю) ') . Будем считать, что продольная (вдоль Н) составляющая скорости электрона равна нулю, :этого всегда можно добиться надлежащим выбором системы отсчета.
Квантовые эффекты в магнитотормозном излучении имеют двоякое происхождение: квантование движения электрона и квантовая отдача при испускании фотона. Последняя определяется отношением йо2/е, и условие применимости классической теории требует его малости. В этой связи удобно ввести параметр где Оа = т~/(~е~й)(= т~с~Д~е~й)) = 4,4.
10'з Гс. В классической области т йсо/е « 1. В случае Зг > 1 энергия излученного фотона 12о2 е, причем при зг » 1 (как мы увидим в дальнейшем) существенная область спектра простирается до частот, при которых энергия электрона после испускания е' т — '«е. (90.4) Н (90.3) ) В этом параграфе полагаем с = 1, но сохраняем множители Г2. Согласно классической теории (см.
П, 3 74) ультрарелятивистский электрон, движущийся в постоянном магнитном поле П, излучает квазинепрерывный спектр с максимумом, приходящимся на частоту ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФО'!'ОНЛЛН! ГЛ Х Что касается квантования самого движения электрона, то опо характеризуется отношением 6ого!ге; 6гоо есть расстояние между соседними уровнями энергии при движении в магнитном поле. Поскольку йгое Н (гп)2 то ввиду (90.5) 6!во « е, т. е.
движение электрона квазиклассично вне зависимости от значения К. Другими словами, можно пренебречь некоммутативностью операторов динамических переменных электрона друг с другом (величины — 6гоогге), учитывая в то же время их некоммутативпость с операторами фотонного поля (величины 6гво7ге) ') . Квазиклассические волновые функции стационарных состояния электрона во внешнем поле могут быть представлены н символическом виде г)г = (2Й) и'и(р) ехр ( — — Йл) уз(г), (90.6) где ул(г) ехр(гЯ7г6) квазиклассические волновые функции бесспиновой частицы (О(г)) — ее классическое действие); и(р )-- операторный биспинор (Й + т) ггэи (Й + гп) и'(о р)ш и р ~ ~ ~ ~ ~ ~ | ~ и ~~ ~ ! получающийся из биспинорной амплитуды плоской волны и(р) (23.9) заменой р и е операторами ') р=Р— еА= — г6'à — еА, Й =(р +т2)пг, Р— обобщенный импульс частицы в поле с векторным потенциалом А(г); порядок, в котором стоят операторные множители ') Полное решение квантоной задачи о магннтотормозном излучения было дано Н.
Н. Клепиковым (1964), а первая квантовая поправка к класснческой формуле А. А. Соколовмм, Н. Н. Клвпиковмм н И. М. 7ерновым (1962). Излагаемый в этом параграфе вывод, использующий явным образом квазнкласснчность движения, принадлежит В. Н. Венеру н В. М. Квшкову (1967). Аналогичный метод был использован ранее Швинеером (о'. Ясбшгггдет, 1967) для получения первой квантовой поправки в ннтевснвностн излучения. г) В этом параграфе (в отличие от гл. 1г') обобщенный нлшульс обозначается прописной буквой Р: обозначение же р прнменяется для обычного (кннетнческого) импульса.
Для того чтобы электрон оставался ультрарелятивистским, поле должно удовлетворять условию — « 1. (90.5) Но 425 190 магните г оемознов излкчвнив в гр, несуществен, поскольку их некоммутативностью мы пренебрегаем: спиновое состояние электрона определяется 3-спинором и).
Для вычисления вероятности излучения фотона в квазик.лассическом случае удобнее исходить не из окончательной формулы теории возмущений (44.3), а из формулы, в которой еще пе произведено интегрирование по времени. Для полной (за все время) дифференциальной вероятности имеем ') с) =Е~ у ~' 4, у'= I ЪЪЯг44 (907) (2я)з у — со (ср. Ш, (41.2)); суммирование производится по конечным состояниям электрона. Использовав (90.6), запишем матричный элемент для испускания фотона оз, 1с в операторном виде га(Е = -' ' ) (г~ р ( — 'к~) (2Й) и' ' Н / где в квадратных скобках операторы действуют налево; поле фотона выбрано в трехмерно поперечной калибровке. Множители ехр(+гйгг'гг) превращают стоящие между ними шредингеровские операторы в зависящие явно от времени операторы гсйзенберговского представления.
Запишем Гу,(2) в виде $у,;(б) = е — (~~ф2)~г)е' где ®б) обозначает гейзенберговский оператор О(2) пт (р) ( е) — гйгбй и (р ) (90.8) (2Й) пз (2Й) пв а матричный элемент берется по отношению к функциям 9зу, 9з,. )Подставив тгп 0) = \ и ехр(киопг), получим ап = 2ягнб(ын). Учитывая, что квадрат б-функции надо пони- мать как ~б(ы) ~ — > (4/2.г)ббо), где б - полное время наблюдения (ср. вывод (64.5)), получаем из (90.7) для вероятности в единипу времени формулу (44.3). 426 ВЗХИМОДЕЙСТЕИЕ ЗЛЕКТРОИОВ О ФОТОИАМИ ГЛ Х Суммирование в (90.7) производится по всем конечным волновым функциям орГ, оно осуществляется с помощью равенства ояоГ(Г')уоГ(Г) = б(Г' — Г), Г выражающего полноту системы функций ору. В результате полу- чим ,2 ~оо.
Г дш = — — / яягя сЫЕ е' (я' ~'1ЯЯ~(гз)Я(Гя)~2). (90.9) Если интегрирование производится по достаточно большому промежутку времени, можно ввести вместо 1я, 12 новые переменные т = Гя — Гы Я1 + Яо и в интеграле по яяо рассматривать подынтегральное выражение как вероятность испускания в единицу времени. Умножив ее на Гяьо, получим интенсивность 21 - — о о ) .-" И Ю' (1 о '-,)яо(1 - -') 212 . (22.12) Ультрарслятивистский электрон излучает в узкий конус под углами 0 т(е относительно его скорости у. Поэтому излучение в заданном направлении и = 1ЕГоьо формируется на участке траектории, па котороля ХГ поворачивается на угол т,Ге. Этот участок проходится за время т такое, что т~яг~ тьоо тГое << 1.
Именно эта область даст основной вклад в интеграл по т. Поэтому в дальнейших вычислениях мы будем систематически разлагать все величины по степеням Оовт. При этом, однако, может оказаться необходимым сохранять более чем один старший член разложения ввиду сокращений, происходящих из-за того, что 1 — пч - 0' - (ГГ2Гое) з. Если привести оператор Я~+Ц к виду произведения коммутативных (с требуемой точностью) операторов, то взятие диагонального матричного элемента (2~... ~2) сведется к замене этих операторов классическими значениями (функциями времени) соответствующих величин. Эта цель достигается следующим образоля. Согласно сказанному выше, в выражении для Я(о) надо учитывать некоммутатнвность электронных огяераторов лишь с оператором схр( — 21яг(1)), связанным с фотонным полем. Имеем (90.11) рехр( — 21сг) = схр( — 21сг) (р — 61я), Н(р) ехр ( — 21сг) = ехр ( — 21сг) Н (р — 61я) 427 1 за млгнито г огмознок излячвник Эти формулы .следствие того, что ехр( — г)сг) есть оператор сдвига в импульсном пространстве.
С помощью (90.11) выносим в (90.8) оператор ехр( — Лег(1)) налево и записываем фА) в виде б)(~) = ехр [ — 11сг(с)) А(с), Й(г) = / (схе*) '"' Р', (90.12) где Й' = Й вЂ” 6п/, р' = р — Яс. Теперь бь)Я1 = Ав ехр(11сгг) ехр( — г1сгг)Л~ (90.13) (здесь и ниже индексы 1 и 2 отмечают значения величины в моменты времени ~1 = 6 — т/2 и 82 = 1 + т/2). Остается вычислитыгрои зведепие двух некомму тативных операторов ехр(11сгг) и ехр( — 11сг~ ). Само это произведение уже можно считать коммутативным с остальными множителями.
Обозначим х' (т) = ехр( — ивт) ехр(11сгз) ехр( — 11сгг); (90.14) именно эта комбинация операторов входит в (90.10). По смыслу оператора ехр (гйт(Гх как оператора сдвига по времени имеем ехр(11сгя) = ехр (гй1 ехр(11сгг) ехр ( — 1Й вЂ” 1 . 6/ 6/ Подставив это выражение в (90.14) и учтя, что ехр(г1сг~) есть оператор сдвига в импульсном пространстве, преобразуем Л к виду Ът) = ехр (г[Й вЂ” йо/) — ) схр ( — 1Й(рг — 61с) — "~. (90.15) Продиффсренцировав (90.15) по т и снова использовав свойства оператора сдвига по времени, запишем ') — = — ' ехр 1з[Й вЂ” 6о/) — 1 [Й вЂ” йо~ — Й(рг — Яс)) х 6/ тЗ т х ехр ( — 1Н(рг — Яс) — 1 = — [Н вЂ” Ьп/ — Н(рв — Яс))Ь(т). 6 6 (90.10) После того как пекоммутативность операторов таким образом исполь:зована, можно заменить вое операторы соответствующими классическими величинами (в том числе гамильтониан ') В силу сохранения энергии гейзенберговские операторы Й(р1) и Й(рз) совпадают, поэтому в таких случаях аргумент у Й не пишем.
Но, конечно, Й(р~ — 6)с) отнюдь не совпадает с Й(рз — Ис). 428 взяимодвйствив элвктгонов с еотонями гл х Й энергией электрона е). Имеем тождественно е(р2 61с) = ((р2 Яс) + тп ~) = ((е — 6и1) + 26( ~е — 1ср2)1 Разность юе — 1ср2 = юе(1 — пчэ) мала, поскольку, согласно сказанному выше, 1 — чп (т/е) . С 2 точностью до первого порядка по этой разности имеем е(р2 — Яс) е' + — 6(ю — 1сч2), где е' = е — 6ес. Из (90.16) находим теперь дифференциальное уравнение для функции 1 (т): 16 — = — 6(ы — ч21с) Ь. (90.17) Это уравнение должно решаться с очевидным начальным условием Л(0) = 1.
Заметив, что т ч2ттт = Г2 — Г1, о получим Цт) = ехр (г — (1сг2 — 1сг1 — ют)) . (90.18) До сих пор мы не использовали конкретного вида траектории электрона. Выразим теперь г2 — г1 в (90.18) через р1 с помощью уравнения движения электрона в плоскости, перпендикулярной полю Н (см. 11, ~ 21): р1 .
еНт (р1Н) / е11т'1 Г2 Г1 = в1П + (1 сов ) еН е еН2 е Разлагая по степеням т, имеем отсюда 1с(г2 — г1) — ют — ют ((ч1п — 1) + т ' — т, 1 (90.19) еп(р1Н) 2е. Н21 2е бе (в последнем члене положено пч1 — 1). Преобразуем остю1ьные множители в (90.13). Прямым раскрытием произведения в Л(е) (с матрицей ст из (21.20)) находим 11(1) = и1~7е*(А + г(Всг) ) твм (90.20) 190 лглгнитогорллознов излхчвнив где рг(2) = р(1) — Ис, опущены члены высших порядков по гп/е. Таким образом, окончательно имеем ЕХ11( — ЙЛ)(г~(~2 Сьг1Я = Л2К1Й(т), (90.21) Л2111 = Яр ' ((Аг — 1(В2сг))е) ~ ((А1 — 1(В1гг])е').
2 2 Множители (1+ л",гг) гг2 — двУхРЯдные полЯРизационные матРицы плотности начального и конечного электронов. Рассмотрим интенсивность излучения, просуммированную по поляризациям фотона и конечного электрона и усредненную по поляризациям начального электрона. В результате указанных операций получим после простого вычисления ') 2 ~ 2 е 2( ') (-) лоляр С требуемой точностью 2 т .2 т - т 1 2 2 г 2 2 чзчг = ч — — ч + — чч = 1 — — — — агат 4 4 ез 2 Подставив эти выражения в (90.21), а затем в (90.10), получим сг'г = — — аг дога(о„х ,1 я 2 (90.22) Эта формула дает спектральное и угловое распределение интенсивности из.лучепия.
Для нахождения спектрального распределения произведем интегрирование по доп. Выбирая направление ч в качестве полярной оси с углом д между п и ч, имеем ич = псевд, с(о„= нлпдс(дйр, ') Здесь использовано также следующее обстоятельство. При суммировании но е; = (ч1е)(чге ) = чзчг — (члп)(чеп). Во при подстановке (90.21) в (90.10) можно произвести интегрирование по частям, заметив,что I ле '1 ле' сг / ле (члп) ехр ( — — 1сг|) = — — ехр ( — — 1сг1) г' еы лги (л г' и аналогично для члп. В резульнате найдем, что для дальнейшего интегри- рования члп и члп можно заменить здесь единицей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
