IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Вычисленный по этим функциям матричный элемент 2яу' рд = (ч — ч) (интегралы вычис чяются, как в задаче 3). Подставив это выражение в (92.12), получим сечение излучения с рассеянием электрона в направлении р' (обычные единицы): Йт„. = (т — ) г)о.„„„—, 2ор', з дш Ж Зкрсв Ы где дог„р — — 1 ~пор - — диффеРенпиальное сечение УпРУгого РассемниЯ. ПРи 1ке « р~/(2т) можно положить р р', и тогда эта формула переходит, как и Следовало ожидать, в нерелятивнстскую формулу для иэлучония мягких фотонов (сьь 3 98) ') .
Интегрируя (1) по направлениям р, получаем 2 гЬ (е 1 в )о р (2) Зкрсзр где о р — — 4кз" -- полное сечение упругого рассеяния. Наконец, умножив на э Ьш и проинтегрировав по ш от 0 до р /(2т) = е, получим «эффективное торможение» 32 /е1 Аг „= / бш4т = Оо ре ~ — ) 45к с (3) ) Тот факт, что «факторизация> сечения (выделение множителя ог„р) произошла в данном случае при произвольных ш, в известном смысле г гучасн и связан с независимостью амплитуды рассеяния от энергии. и учесть, что е = Ле/2, где Лв — изменение скорости электрона при огра>кении; так и должно быть, поскольку при отражении от стенки условие малости времени столкновения (69.1) (сы. П) во всяком случае выполняется. Квантовая формула (1) позволяет, однако, найти также и поляую излучаемую энергию: 193 ТСРМСЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ' РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАИ 449 8 93.
Тормозное излучение электрона на ядре. Релятивистский случай Обратимся к тормозному излучению электрона на ядре в случае релятивистских скоростей электрона ') . При этом будем предполагать выполненным условие применимости борновского приближения, т. е. как для начальной (е), так и для конечной (о') скоростей электрона: ое~/йе << 1, ив~Де' << 1. При этом во всяком случае заряд ядра не должен быть слишком велик: Ъ «1. Как и в предыдущем параграфе, будем пренебрегать отдачей ядра, так что ядро играет лишь роль источника внешнего поля (об оправдании такого пренебрежения см.
3 97). Согласно (91.4) сечение тормозного излучения выражается через его амплитуду формулой ! Йт = ~Му,~ с1окйо'расе. (93.1) 8(2я)е~р~ В первом не исчезающем приближении матричному элементу Ме; отвечают две диаграммы: (93.2) Ао (Ч) = —. (е) 4яее че (93.5) 1 ) Большая часть излагаемых ниже результатов была получена Бете н Га111 иерем (Н. А. ВеНе, Ит. Неенет, 1934) и независимо Вертером (Гб Ваи1еа 1934). 1З Л.
Д. Ландау и Б.М, Лифшиц, том 1 1' Свободный конец д соответствует внешнему полю, так что д = = р' — р+1 есть 4-вектор передачи импульса ядру. Пренебрежение отдачей означает, что временная компонента д~ = О. Согласно диаграммам (93.2) имеем М РЗА( )(44) У4лр*й1 ~м ТУ + уо + уо ~У+ у~ и уе — та (93.3) Промежуточные 4-импульсы 1 = р — й, 1' = р'+ 1с; введем обозначения: ~~ — гп' = — 2йр = — 2зеео, ('1~ — пР = — 21ср' = — 2зе'а1, (93.4) Ае скалярный потенциал внешнего поля; для чисто кулонова 1е1 поля 450 ВЗАИМОДВЙСТВИЬ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х Подставляя в (93.1), имеем для сечения 4з2 е Йт = —,— е*е,(и Яии)(йЯ и')г1оаг1о'4140, 4'ге ~Р~Ч4 (93.6) где ИУУ"'->т О О УУТН2 и ци 0 и-~- О 0 У24 +нз и иУ24 1-гн 0 е„е 1и Яии)1иЯ и ) — э — — БрЯ,41ур+ пт)о.
у,ур + т). 2 Вычисление следа производится по стандартным форалулам (см. 3 22). Некоторое упрощение выкладок достигается использова- нием равенства о~ )о где р = 1е4 — р), если р = 1е, р). Кроме того, число подлежащих вычислению членов можно сократить, если учесть симметрию по отношению к замене р еэ р, Й -э — Й, 4у — э — 47 (такая замена приводит лишь к циклической перестановке множителей в произведении матриц и поэтому не меняет его следа). В результате получается следующее выражение для диффс ренциального сечения тормозного излучения с испусканием фотона заданных частоты и направления и с вылетом вторичного электрона в заданном направлении '): 444т — док44о х гэ .,'.
р' 44 4я2 рэ4 2 х ~ О (2е2+2еу2 92)+(92(~ ~) (е ) + + 2 ( ) ( ) ~, (93.7) где 24 = е — пр, 2г' = е' — пр' 1п = 1с/ау), 41 = р' + 14 — р. ') Здесь н ниже в этом параграфе р, р', о обозначают абсолютные значения трехмерных векторою р = (Р), р = ~Р~, О = ~Ч~. Не рассматривая поляризационных эффектов, усредним сечение по направлениям спина начального электрона и просуммируем по поляризациям конечных электрона и фотона. Это сводится к замене 193 ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ' РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ОЛУЧЛИ 451 Простыми преобразованиями можно придать этой формуле вид, несколько более удобный для исследования: 32 2» 7, 2 г»О = " — » — вшддд вш д'Мд'г»7»2(» (4в~ — с»~) вш2 д' + 2л м р7»з ,.2 + — '(4Е72 — 02) в1»»г 0+ 2" (р' в)п" д+ ~72 в)п2 07) МЗ Зся7 7 — (2Е2 + 2Е" — 7»~) в)п 0 гйп 0' сов 7р), (93.8) 77~ 7 где Зг = е — рсовд, Зс' = е' — р'совд', г»2 = р2 + р72 + о»2 — 2ро» сов 0 + 2р7о» сов 07в — 2рр'»совдсовд'+ вшдвшд'сов7Р), 0 и 0' углы между 1с и соответственно р и р'7 7»7 угол между плоскостями 1с, р и 1с, р'.
Интегрирование 193.8) по направлениям фотона и вторичного электрона довольно громоздко. Оно приводит к следую7цей формуле для спектрального распределения излучения '): йг„, = Е1 сп,— ' — ( — — 2се + 2 27»мр» 1 7Р РР р 3 р2Р72 + »н 7 1 — + 1' — — — »7 + Л ~ — + — х РЗ »уз»7»7' ) ~. 3»7»7' РЗР'З 2рр' ' РЗ р'3 где сс'+рр' — пз' с+р 7 с'+р' сс' — рр' — т2 с — Р С вЂ” »7 Напомним, что допустимые значения частот в полученных формулах ограничены только условием, налагаемым на конечную скорость электрона 12 е»7п' « 1): электрон не должен терять почти всю свою энергию. При п7 — ~ 0 сечение излучения расходится, как 71о»,»о»; это — проявление общего правила, которое будет рассмотрено в 3 98.
В нерелятивистском пределе 1р « т) импульс фотона мал по сравнению с им»»ульсом электрона, так как 72 2 о»= «Р. 2777 ) Интегрирование по направлениям одного только вторичного электрона тоже может быть произведено в аналитическом виде-- см.
бтис»сз»сгв Н. »., Ний М, Н,ОР1»ув. Иеч. — 1953. — ч'. 90. — Р. 1030. 452 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ Гл х Поэтому. д2 = (р' — р)2. Положив в (93.8) е = е' = т, в пренебре- жении всеми р, р', о2 по сравнению с ш, получим ВГЕГ = — х2 ог,— — вшдддв)НО с(0 Г(Гр х 2 2 2ЕГГВР ВГ Г Г ГГ Г I Ро х (р2 В)п20+р'2 юп20' — 2рр'вшдвшО'сов ГГГ)Г или (93.11) 8 ~2ог2Е Гн 21Го5 х хГ 1хГ 1 х 7Г ЕЯ и ( (1 -'; 52) 2 (1 Ч- 5")2 2ее' (1 ~- Р)(1 ~- 8Г2) ') Получить эту формулу предельным переходом в (93.9), однако, довольно хлопотно ввиду взаимных сокращений ряда менов, У О Р (и 12ГГВВГГВ ГГГВ (93.10) Яс Р 94 в согласии с формулой, полученной в борновском приближении в задаче 1 8 92. Соответственно и для спектрального распределения излучения получается известный уже нам результат (92.16) ') .
В ультрарелятивистском шГучас ко1да велики как началь- Г пая, так и конечная энергии электрона (е, е» т), угловое распределение фотонов и вторичных электронов имеет очень специфический характер. При малых углах О, О' фигурирующие в знаменателях формулы (93.8) величины 2Г, 2ГГ равны и в области О < т)е становятся очень малыми. В этой области мала также и величина вектора с1(Г) т). Таким образом, в ультрарелятивистском случае фотон и вторичный электрон летят вперед в узком конусе с утлом раствора тГГе. Количественную формулу для углового распределения в ультрарелятивистском случае легко получить из (93.8), подставив АГ, 2Г' из (93.11), заменив во всех других местах р, р' на е, е' и пренебрегая Г)2 по сравнению с е2.
Введя удобные обозначения: б = — 'О, о' = — 'О', (93.12) Гп ГП представим эту формулу в виде 1эз ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ' РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАИ 453 Написав с12 = 1пс))~ + 1пг)) (и = )с/ьз), легко найти, что для малых углов е г 1 б 1 -Р б'е г — = (о~ + о"2 — 2Ы' сое ~р) + гпт ~ — ) . (93.14) юз 2г 2е' При д д' 1 второй член здесь мал по сравнению с первым. Эти члены сравниваются в области еше меньших углов где д т/е.
Хотя здесь о становится в особенности малым ~д т2/е « т), интегральный вклад этой области в сечение все же мал по сравнению с вкладом всей области д < 1 (как легко видеть---в отношении ггг~/е~). Но с может достигать значений гп~(е также и при 5 д' 1, если при этом )б — д'! < †"', со < †"'. (93.15) Е Вклад этой области того же порядка величины., что и все интегральное сечение (или даже является основным в нем-- см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
