IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 88
Текст из файла (страница 88)
(ЕГГ ). 1,08 1 — 22 иэ Р2 !22 470 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х Полное сечение образования пары фотоном с энергией Вл = — 2Т ссг, ~ЙИ вЂ” — — — 1(сто)1. 2В 2 21 2м 109 (95.21) 9 ' В1 42 Мы видим, что в этих формулах изменения сводятся к вычитанию из логарифма упиверсальиой функции атомного номера 7" (нЯ). На рис. 18 дан график этой функции.
При и « 1 функц У( ) =1,2Г2. 9 96. Точная теория тормозного излучения в ультрарелятивистском случае Матричный элемент для тормозного излучения ~( ) (сев*)е — сиГ~1 1с1зт. (96.1) волновые функции начального (е, р) и конечного (е', р') электронов содс.ржат в своих асимптотиках соответственно выходящую и входящую сферические волны. Вычисление этого интеграла апалогичио вычислению матричного элемеита (95.2).
Мы, однако, изложим здесь другой способ вычисления сечения тормозиого излучения, основанный иа квазиклассичпости процесса и не использующий явного вида волновых функций электрона в поле ядра; в этом смысле метод не связан с конкретным видом потенциала поля (В. Н. Байер, В. М. Катков, 1968). В процессе тормозного излучения ядро передает электрону и фотону импульс с1 = р'+ 1с — р. Как и в задаче о рождении нар, надо различать две области значений передачи импульса с1 с, попеРечной по отношению к Р; 1) гп > с7с » сит'7е2, П) от ГВГи2/е~ << сси (96.2) Очевидно, что в области 1 сечение испускания фотона дается своим борновским значением: для таких с1Е изменение импульса отдачи ядра при излучении несущественно, как это будет показапо в 9 98 (см.
вывод условия (98.10)). Поэтому в области 1 сечение процесса равно произведению точного сечения рассеяния электрона в поле Неподвижного ядра и вероятности испускания фотона, ие зависящей от вида поля. Но согласно (80.10) сечение рассеяния в кулоиовом поле для малых углов совпадает со своим борповским значением. То же самое относится поэтому к сечению всего процесса в области 1. Таким образом, требует особого рассмотрения только область П. Малым передачам импульса отвечает прохождение электрона мимо ядра на болыпих прицельных расстояниях; р 1/дт > 2 > е/т .Но на таких расстояниях движение электрона заведомо 1 ав тОРИОзнОе излУчение УльтРАРелятиеистскив ОлУчАЙ 471 Следовательно., балт и ,г ~4 т (96.3) и С достаточной точностью скорость у(1) = р(г)/е (где энергия е зависит только от величины, но не от направления р) можно считать постоянной. Еще одно интегрирование дает тогда г(1) — г1 = ъ 1(1 — 11) — — [р(1') — р1]Ф'.
(96.4) й Положим 11 = — оо, так что величины р1 = р( — ОО) = р и у = р/е будут начальными импульсом н скоростью электрона. Представим вероятность (90.7) в виде Йа = ~а(р)~ (96.5) где квазиклассичпо, в чем легко убедиться простым применением обычного условия квазиклассвчности (46.7) (см. 1П)к ультрарелятивистскому уравнению (39.5). Квазиклассичпость движения позволяет применить метод, использованный уже в 3 90 для магнитотормозного излучения. При этом выражение (90.7) в данном случае представляет собой вероятность испускания при однократном прохождении электрона мимо ядра. Для фигурировавшей в ~ 90 функции 7 остается в силе формула (90.18); единственное отличие состоит в форме квазикласснческой траектории электрона г = г(г), по которой вычисляется разность гз — гь На больших прицельных расстояниях поле ядра можно считать ыабым. В нулевом приближении траектория представляет собой прямую, проходящую на расстоянии р от центра.
В следующем приближении имеем уравнение движения (ср. 1, З 20) 4р р агГ М т а'т где р вектор в плоскости хд, перпендикулярной начальному импульсу электрона, а в качестве т в правой стороне уравнения следует взять функцию нулевого приближения; ° = УУ~ 'Р й'+Р 472 ВЗАИМОДВЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ Гл х здесь е' = е — оз, р'(4) = р(1) — 1с. Классическая функция р(1) дается формулой (96.3). Если р - - начальный импульс электрона, то для кулонова поля (сл = — и/г, и = Уо) имеем р(~) = р — — Р~~+11, е р е~. Введя передачу импульса в классическом рассеянии Л = р(оо) — р( — оо) = — 2ри|рэ (96.7) можно переписать эти формулы как р(~) = р+ -'с~~ ' + 11, г(4) (р+ ~,й,) г + ~ ~~2+ рз Используя теперь формулу (90.20) для 1ь(1) и выражения (96.8) для р® и г®, можно произвести интегрирование по вре- мени в (96.6).
Оно осуществляется введением переменной (96.8) б = — — (ВИ вЂ” 1сг(г)) вместо 1 и использованием формулы = 2 ХКл(Х) бе 'лнб Ъ~Хз+ Е'л где Кл — функция Макдональда. В полном проведении этого вы- чис'гения, однако, нет необходимости, поскольку нам требуется выражение п(р) лишь для малых значений независимого пара- клетра Аа(Ь « ггг). В этом случае находикл (р) = уо л'схК~(х), (96.9) где ) СпинОры вл, и олг можно считать при интегрировании пОстоянными, т. е.
можно пренебречь изменением поляризации электрона при его классическом ультрарелятивистском движении. Это следует из уравнений, полученных в 1 41, х = р — (1 — пи), е' и = 1с/ло, а 1) некоторая функция р, е и 1с (но не р), причем ее точный вид несуществен ') . Поскольку в ультрарелятивистском 96 тоРмозное излучениь ультРАРеля'Гивистский случАЙ 473 снучае фотон испускается под малым углом 0 к направлению скорости электрона, имеем с с' ВВ1 т — р — аз~1 — н+ — (, 2 ",с=р (1+б ), В= —. (96.10) сса =, ~а,(р)~ с1 р.
(96.11) Не следует, однако, думать, что эта формула без интегрирования по с12р дала бы также и распределение конечных электронов по направлениям. Отклонение электрона при его движении по классической орбите однозначно определяется внешним полем и заведомо не совпадает с неопределенным квантовомеханическим отклонением (а предельное значение р (ос) классической функции р'(с) не совпадает поэтому с реальным конечным значением импульса электрона). Для нахождения этого распределения необходимо, следовательно, переразложить волновую функцию электронов по плоским волнам. Как видно из (96.11), а(р) есть амплитуда испускания фотона при столкновении на прицельном расстоянии р.
Но выражения (96.5),(96.6) определяют эту амплитуду лишь с точностью до фазового множителя. Последний есть., очевидно, е '~Р, .ввиду наличия не зависящего от времени члена гт(сс) = р в г(с), этот постоянный множитель должен присутствовать в $7;(с) и может быть вынесен из-под знака интеграла. Поскольку он не является оператором, он не затрагивается операциями коммутирования и, таким образом, амплитуда процесса испускания есть е ' ~а(р), (96.12) где а(р) дается выражением (96.9).
Пусть электрон описывается при л -+ — со плоской волной с импульсом р., направленным вдоль оси е. Это значит, что волновая функция электрона при е — > — оо не зависит от л и 9 и сводится к постоянной, которую можно положить равной 1. Уже было упомянуто, что (96.5) есть вероятность испускания фотона при однократном прохождении электрона мимо ядра на прицельном расстоянии р.
Сечение испускания фотона с заданными частотой и направлением получается умножением этой вероятности на дрздрУ/и сср,ссрУ = сс р и интегрированием по прицельным параметрам: гл х 474 ВэлимодеЙствие злектРОнОВ О Фотонам|и Тогда волновая функция электрона, прошедшего через поле., при е — э ОО равна ') 2Р(ОО) = Б(р) = ехр — 2 Г(т, у, е)сЬ . (96.13) С другой стороны, по смыслу амплитуды перехода (96.12) волновая функция электрона, прошедщего через поле и испустившего Амп.литуда же процесса испускания фотона, в котором электрон остается в состоянии с определенным импульсом р, дастся соответствующей фурье-компонентой функции (96.14), г. е.
сз(с1Д вЂ” е 2Р Ре ™Ро(р)Я(р)с)зр — Р ситро(р)Яр)12р (96 15) где сц поперечная компонента вектора передачи импульса ядру (ср. П1, (131.7)). Сечение же рассеяния с заданным значением с1т есть ~ах. 12 с)о. = ~а(с)г) ~' (96.16) (222)2 (2х)2 Вьгчишгим теперь Я(р). В рассматриваемом щгучае кулонова поля интеграл в экспоненте расходится, в соответствии с расходимостью фазы в кулоновом рассеянии. Поэтому интеграл надо брать между конечными пределами: гг н 2 Гр*= — 2 ' = — 2 (2 (аР22а Рр'2 — 2 р] / ГР2 Ь в2 — и — й — 2и1п)т+ 2и1пр (Л» р).
Первый, постоянный, член не существен, так что Я(р) = ехр( — 22и!пр) = р 2". (96.17) Подстав.ггяя (96.9), (96.17) в (96.15) и интегрируя по направлениям вектора р в плоскости шд, находим о(с)г) а и р "К1Я31(с7хр)рс)р, о ') Ср.
1П, (131.4). Мы имеем при этом в виду аналогию между уравнением (39.3) (в котором полагаем р е ) и нерелятивистским уравнением 2 Шредингера (39.ба). Учитывая различие коэффициентов в этих уравнениях, легко видетрь что в нашем случае условие (131.1) (см. П1) применимости у равнения (131.4) (см. П1) действительно удовлетворяется. Тот факт, что эта формула не относится к области сколь угодно болыпих в,не существен по тем же причинам, что и в 1П, 3 131. 1 оо тогмознов величание ильтгагвлятивистскиЙ сличая 475 где 71 - функция Бесселя.
Множители, не содержащие и = Яо, здесь не выписаны. Мы видим, что зависимость амплитуды а(9т) (а следовательно, и сечения (96.16) ) от и содержится в отдельном множителе. С другой стороны, при и — + 0 сечение должно стремиться к своему борновскому значению. Поэтому ясно, что сечение будет отличаться от борновского лишь множителем, который не зависит от поляризации электрона и не влияет на поляризационные эффекты. Интеграл (96.18) может быть выражен через гипергеометрическую функцию с помощью формулы х ~К1(ах)7~(бх)хс(х = о ьг(з — л72)г(г — лд) г ь' ~ -'з-чх гл л ь' Зааз-т ,,,) 2 2 а'Ч-Ьо Это дает т 2ги а(с1т) ск и(1 — ги)( — ) Г (1 — ги)Г(ги, 1 — 1и, 2, х), (96.19) где здесь использовано, что в области П (см.
(96.2)) параллельная р компонента вектора с1 равна (96.21) В этом легко убедиться, если учесть, что в указанной области углы между импульсами р, р' и 1с удовлетворяют условиям (93.15). Гипергеометрическая функция в (96.19) может быть сведена к функции Г(х) (95.15) с помощью формулы Г(а... 5+ 1, с+ 1, г) = Г(а, 5, с, х) + Г'(а, 5, с., х). с — а Ь(а — с) Окончательный результат представится тогда в виде сйг = йгв, [Г~(х) +, Г (х)~ (96.22) где с(сгв борновское сечение, (93.13) (Н. А. ВеНе, В, Махгтоп, 1954). При с7» тз(е имеем х — 1, так что весь коэффициент 476 ВзхимОдеиствне зльктРОнОВ О ФотонАми ГЛ Х при ЛЕтн стремится к единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
