IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Прямое вычисление 1г; легко произвести, заметив, что после излучения такого фотона электроны будут двигаться 1в той же системе) с одинаковыми скоростями в направлении, обратном направлению фотона. Имеем 2Е = 2Е' + Пю .. 2(р'! = П,п ' ) Это заключение,. разумеется, тем более справедливо для излучения злектроном на ядре, для которого энергия отдачи ое — ч /(2м) т'/)гх, где ЙХ вЂ” масса ядра. ) В общем случае такой пересчет невозможен, поскольку вклад в спектр в заданном интервале частот Й ~ возникает от фотонов, излученных в существенно различных направлениях.
ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА ЭЛЕКТРОНЕ 481 1 эт откуда (97.14) т Е и в ультрарелятивистском случае снова получаем (97.13). Таким образом, формула (97.12) применима при условии П „— П-Š— П)>гп. (97.15) Приведем теперь формулы для излучения в системе центра инерции в обратном предельном случае, вблизи границы спектра, когда ') (97.16) Пшах П СС !ть Поскольку в этом случае отдача весьма существенна, результаты отличаются от случая рассеяния на неподвижном центре и оказываются различными для электрон-электронного и электронпозитропного рассеяния (В.
Н. Байер, В. С. Фадпи!, В. А. Хозе, 1967) . В случае рассеяния электрона на электроне, кроме квадратов диаграмм (97.1), вклад в сечение излучения вблизи границы спектра дают также произведения (иптерференционные члены) прямых и обменных диаграмм, в которых излучает одна и та же начальная частица, например произведение второй из диаграмм (97.1а) и диаграммы фй ! ! Это связано с тем, что вблизи границы конечные частицы имеют близкие импульсы и нет причин для малости обменных членов. Окончательный ответ для сечения: ~ [е(й„, — й)) ц' !!й (97.17) Ш й„,„„ При рассеянии электрона на позитроне логарифмически большой вклад в сечение излучения вносят квадраты аннигиляционных диаграмм, в которых излучают начальные частицы: ,~й ! (97.18) ! фй ! Ьв Л. Д. Ландау я Е.М, Лифшиц, том !У ) Разумеется, полученный в борновском приближении результат пригоден, как обычно, лишь до тех пор, пока относительная скорость конечных электронов велика по сравнению с о.
В противном случае следует учитывать взаимодействие частиц в конечном состоянии. 482 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х С нелогарифмической точностью существепяы также и квадра; ты других диаграмм. Интерференционные же члены малы. Окончательный ответ: 4 =2 '~~~"-" ~)) (1 '~+ 1) '" (9719) е ВГ ВГ й, „, Таким образом, излучение при электрон-позитронном рассеянии логарифмически велико по сравнению с излучением при электрон-электронном рассеянии. 8 98.
Излучение мягких фотонов при столкновениях Г1п = ГЬто —. (98.1) Покажем, как эта формула может быть получена по общим правилам диаграммной техники (.Ь М. ЗиисЬ, Е. ЛОЬГЬСЬ, 1954). Диаграммы процесса с дополнительным фотоном получаются из диаграмм основного процесса путем добавления внешней фотонной,линии, «ответвляющейся» от какой-либо (внешней или внутренней) электронной линии, т.
с. путем замены Ь 1В р р — Ь р (98.2) Легко видеть, что основную роль будут играть диаграммы, получающиеся такой заменой во внешних электронных линиях. Действительно, если р — импульс вне|пней линии (р = гп ), то при Пусть е1пв . сечение некоторого процесса рассеяния заряженных частиц, который может сопровождаться излучением определенного числа фотонов. Наряду Г этим процессом рассмотрим также и другой процесс, отличающийся от первого лишь испусканием одного дополнительного фотона. Если частота еи этого фотона достаточно мала (соответствующие условия будут сформулированы ниже), то сечение ГЬт процесса простым образом связано с е4пш Действительно, при малых дпй можно пренебречь обратным влиянием испускания этого кванта на процесс рассеяния.
Другими словами., сечение Г1а может быть представлено в виде произведения двух независимых множителей; сечения Гепй и вероятности е1ш испускания одного фотона при столкновении. Испускание мягкого фотона процесс квазиклассический; поэтому его вероятность совпадает с классически вычигленныкГ числом испущенпых при столкновении квантов, т. е. с классической интенсивностью (полной энергией) излучения Гм', деленной на еи(= лес).
Таким образом, 8 88 излучение мяГких Фотонов нги стОлкнОвениях 483 малых й будет также и (р — й)2 — Г112, т. е. добавляющийся в диаграмме множитель С(р — й) будет находиться вблизи своего полюса. Для линии начального электрона р замена (98.2) сводится к замене в амплитуде реакции: и(р) — у езуг41ГС(р — й)(уе )и(р) = = еъ'4л ~У 1 (уе*)и(р) — — езУ41Г ~Р ( уе*)и(р). (р — Й)э — тэ 2(рй) Заметив,что ( ур)("уе') = 2ре* — ("уе')( ур), ури(р) = ти(р), получим правило замены в виде и(р) э — еъ'41à — "' и(р). (рй) (98.3) Аналогичным образом для линии конечного электрона р' замена на диаграмме й 1Г р' ч- й означает замену в амплитуде: и(р') — ~ еъ'4яй(р') " (98.4) (р'Й) Во всех остальных частях диаграммы можно вообще пренебречь изменениями импульсов линий, связанными с испусканием фотона й.
При этом подразумевается, что энергия фотона о1 во всяком случае мала по сравнению с энергиями всех частиц, участвующих в реакции (в том числе по сравнению с энергиями излучаемых жестких фотонов, если таковые имеются). ??усть для определенности сечение с?ое относится к рассеянию электрона на неподвижном ядре (с возможным излучением жестких фотонов).
Амплитуда этого процесса, который мы условно назовем упругим, имеет вид Му,. — — и(р )Ми(р). Произведя в ней один раз замену (98.3), а другой раз (98.4) и сложив результаты. получим амплитуду тормозного излучения тех же жестких фотонов и мягкого фотона й '): (98.5) ) Обратим внимание на то, что появление разности в этой формуле является естественным результатом калибровочной ипвариантности; амплитуда реакции не должна меняться нри замене 4-вектора поляризации е — 1 е + ж соввс Й. 484 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х Соответственно сечение йст = йт „р 4яе' Р— Р . (98.6) (р'й) (рй) (2я) зи Просуммировав по поляризациям фотона й, получим (98.7) 1р'й) 1рй) 4я' Выраженная через трехмерные величины, эта формула имеет вид ') / )ч'п) ~ъ" п) ') 4 л1оя „ 11 — ъ'п 1 — чп/ 4яеы (98.8) причем )бр ! — оз а~р'~ де а ~Ц = оз.
В нерелятивистском случае (и << 1) получаем поэтому условие сп/~с)~о << 1. (98.9) При рассеянии на кулоновом (и вообще на медленно спадаюпсем с расстоянием) потенциале ~ч~ 1/р (р прицельное расстояние), так что это условие можно представить и в виде сот « 1, где т р/и характерное время столкновения. В ультрарелятивистском случае ~ютоны излучаются в основном в направлениях вблизи ч или ч (как это видно из знаменателей в (98.8)). Если угол 0 рассеяния электрона мал, то направления всех трех векторов р, р', и близки друг к другу. Тогда )бс)! = (бр'( — )1с! = ы( — — 1) - "™, ') Для ее вывода удобно вернуться к (98.6), положив р = би съ), рй = ем(1 — чп), ..., е = (О, е) и произведя заново суммирование по поляризациям с помосцью (45.4а).
где и = 1с/оз, а ч и ч' начальная и конечная скорости электрона. !ъ1ы виДим, что выРажение, стоЯЩее пеРеД дат,р, Действительно совпадает с (деленпой на сп) классической интенсивностью излучения (ср. П, (69.4)), как и утверждалось в формуле (98.1) . Условие применимости полученных формул требует также, помимо малости ы по сравнению с е, чтобы передача импульса ядру с) была велика по сравнению с изменением бс) этой величины, связанной с испусканием мягкого фотона.
Имеем бс) = (р' — р — 1с) — (р' — р) о = бр' — 1с, 1 98 излучение мяГких ФО'ГОнОВ 11Ри стОлкнОвениях 485 и поскольку )с1! ей, хлы получаем условие в» "'"'. (98.10) Ввиду квазиклассического характера формул (98.5) — (98.8) они справедливы для излучения любыми заряженными частицами (нс обязательно электронами, для которых был проведен вывод). В общем ш1учае, когда в реакции участвует несколько таких частиц, формула (98.5) должна быть записана в виде М 1 = М1У"~~ еъГ4я ~~ Л1 1~ 1 1р'а) 1рь) Г' (98.11) 111 к К хе или — — — Ь ЬЗК 1т Ь1 Р-Ь1-Ь1 Р-Ь1 Р где суммирование производится по всем частицам (с зарядами ее); соответствующим образом меняются и формулы (98.6) --(98.8).
В частности, в нсрелятивистском случае МЛ = М~~~ ~~ ~~1 Х(у' — у)е*. (98.12) Для двух частиц эта формула принимает вид (упр1 ъ14Я ч ~/Я1е еее'1 (98.13) с1 = Гп(Хà — зе), гп = т1 Ч- те где ч и зе' . - относительная скорость частиц до и после столкновения. Интегрируя квадрат ~М11~ по направлениям вылета фотона и суммируя по направлениям его поляризации, получим отсюда нерелятивистское спектральное распределение излучения в виде 2е' /е1 ЕО "12 2еы ЗЛ1т1 т) м Полученные результаты обобщаются на случай одновременного излучения нескольких мягких фотонов. Для каждого из фотонов в амплитуду Му; добавляется свой множитель того вида, который стоит при М У,"Р в (98.5). В этом легко убедиться непосредственно, скажем, на примере двух фотонов.
Линии обоих испускаемых фотонов должны добавляться па внешних электронных линиях, причем в двух различных последовательностях, т, е. диаграмма с внешней линией р заменяется двумя диаграмлеами с линиями 486 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМП! ГЛ Х Каждеся из пих содержит множитель (знатленатели электрош!ых пропагаторов) 1 1 1 1 или 2((рй1) -~- (р)а)) 2(рй1) 2((р)с1) -!- (РЬЯ 2(р)се) Их сумма равна 1 1 2(РЙ1) 2(рье) т. е, содержит произведение двух независимых множителей, отвечающих первому и второму фотону. После этого в сумме всех диаграмм члены собираются (в силу калибровочной инвариант- ности) в произведение разностей (''; — —;Н ", — —;) (Р е;) СГ1е1) 1 ('(Р е1) (Ре1) ) (Р !Г1) (РЕ1) (Р )с2) (Р)се) Соответственно факторизации амплитуды разбивается на множители также и сечение процесса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
