IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 93
Текст из файла (страница 93)
е. логарифм 1п(ы(1 — ь') (тп) заменяется его значением при е = 0 и выносится из-под знака интеграла). В результате получим 28 22 ю и= — пь 1,1п— 9 т в согласии с (94.6); формула справедлива прн 1п(а2/222) » 1. 496 ВЗАИМОДВЙСТВИЬ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х 9 100. Образование пар при столкновениях частиц Образование электронной пары при столкновении двух заряженных частиц описывается диаграммами двух типов: (100. 1) +-'-+. Р— — Р+ б — Р+ а (,(и (,Ф! ! (,ио (,и( ! ! (100.2) Р— Р Р+ где ()( ), ()! ) «импульсыь компонент Фурье полей двух частиц. Потенциал А" = (Ао, А), создаваемый равномерно движущейся со скоростью ч классической частицей, удовлетворяет уравнениям ПАВ = — 4ИУеб(г — ХГ1 — го), ьзА = — 4ИУеь б(г — чб — го).
Его компоненты Фурье: АО(, )с) = — ' е ' ""б( — ) ы~а )сз и аналогично для А(оз, )с). В четырехмерном виде АР(9') = — яя Все"( а 11иб()у ) а где 1.Г- 4-скорость частицы, а 4-вектор то = (О, гв). Если ядро 1 покоится в начале координат (го —— О), то р = го ) есть (0 (2) вектор прицельного расстояния (в плоскости, перпендикулярной ) Случай столкновения двух легких частиц (электронов), изменением движения которых нельзя пренебречь, значительно более сложен. См. об этом указанную нв с.
454 книгу В. Н. Байера, В. М. Коптева и В. С. Фадина. Две верхние сплошные линии отвечают сталкивающимся частицам, нижняя -- рождающейся паре. Рассмотрим в ультрарелятивистском случае столкновение двух тяжелых частиц (ядер). Изменением состояния движения самих этих частиц при таком столкновении можно пренебречь, т. с, можно рассматривать их как источники внешнего поля ') .
Этому отвечают, две диаграммы первого типа: 497 1юо ОБРАЗОВАНИЕ' ПАР ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ ЧАСТИЦ направлению движения ядра 2). Это выражение для А" (д) и должно использоваться при аналитической записи диаграмм (100.2) . В проведении вычислений этим способом в данном случае, однако, пет необходимости. Сечение образования пары может быть определено с помощью метода эквивалентных фотонов по известному уже нам сечению образования пары фотоном на ядре. Замена поля одной из частиц 1скажем, первой) спектром эквивалентных фотонов означает, что в диаграммах (100.2) линии 90) рассматриваются как линии реальных фотонов. Совокупность этих двух диаграмм становится тогда тождественной с совокупностью диаграмм, отвечающих образованию пары фотоном на ядре 2.
При е.г, е » гп сечение последнего процесса дается формулой (94.5). Умножив это выражение на спектр (99.16) эквивалентных фотонов первого ядра, получим (с логарифмической точностью) дифференциальное сечение образования пары при столкновении частиц: п=-г,'(г,гв ) 8 2 2 ЕЕЕПЕ / 2 2 2 ~ЕЛ +Е +-ЕЕЕ ) Х Я (Е-~- -РŠ— ) 3 х 1п е+е 1п 7, (100.3) т(Е,.+Е ) Еэ+Е где у = 1,1Л вЂ” и » 1. Здесь предполагается, что (100.4) ш«е,, е «т:у: верхнее неравенство есть условие применимости метода эквивалентных фотонов.
В тоже время область, определяемая неравенствами (100.4), совпадает с областью энергий электрона и позитрона, существенных при интегрировании выражения (100.3). При интегрировании по еч. или е при заданной сумме е = еч + +е (» гп) существенна область вблизи верхнего предела; отбрасывая члены, не содержащие большого логарифма, получаем Йт = — г, (Я~ Увет) 1п — 1п — —. 56 в 2 е туЖ 9Я т Е Е Интеграл по е, взятый по области (100.4), расходится как куб логарифма, а на краях этой области --лишь как квадрат логарифма. В логарифмичсском приближении (1и 7 » 1), следовательно, область (100.4) действительно основная, и интеграл может быть взят в пределах от гп до ту.
Имеем 1п ~11п.у — 1п ~) — = — 1п у, 6 1 498 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х так что полное сечение образования пары с. = 28 г,(У Я гт)21пз 27я ТУà — еэ (100.5) (Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 1934). Рассмотрим теперь случай перелятивистских скоростей сталкивающихся ядер. В этом случае ста,иовится существенным изменение движения ядер под влиянием их взаимодействия, и основной вклад в сечение образования пары дшот диаграммы второго типа в (100.1).
Таких диаграмм четыре; две диаграммы ! и» вЂ” (-г-»- ' !»>А»! !й ! )Й р-+ — ' — + — — р- и две аналогичные, в которых виртуальный фотон к: (рождающий пару) испускается первым, а не вторым ядром ') . Будем считать, что энергия пары мала по сравнению с кинетической энергией относительного движения ядер в системе их центра инерции: ет + е « МИ~7»2 (100.7) ') Отметим, что образованию пары при столкновении двух электронов отвечает всего Зб диаграмм: 2! 3! = 12 диаграмм типа а), получающихся друг из друта перестановками двух начальных и трех конечных электронов, плюс 2 2! 3! = 24 диаграммы типа б)» получающиеся таким же образом из двух диаграмм (100.б). е ) В нерелятивистском случае импульс фотона мал по сравнению с изменением иьшульса излучающих частиц (!бр~ ь>>»е), и потому им можно пренебречь (по сравнению с бр) даже тогда, когда не пренебрегаем энергией фотона.
Это тем более относится в данном случае к виртуальному фотону, для которого кэ = (рт + р — )> > О, так что !к! < ы. В этих условиях разница между реальным и виртуальным фотоном исчезает, чем и оправдывается использование формулы (98.13). (т» . Начальная относительная скорость, М=М>М27»(М1+М2) —. приведенная масса ядер). Тогда можно пренебречь обратным влиянием рождения пары па движение ядер. Если в диаграммах (100.6) убрать электрон-позитронную линию, то оставшиеся их части будут изображать непускание сталкивающимися частицами виртуш>ьного фотона малой частоты (о>=ет+е ).
Мы возвращаемся, таким образом, к ситуации, рассмотренной в 8 98 для испускания реального мягкого фотона, и можем воспользоваться полученной там для нерелятивистского случая формулой (98.13) (с тем отличием, что вместо амплитуды А74ле* реального фотона будет стоять пропагатор виртуального фотона е) . 1 100 ОБРАЗОВАНИЕ' ПАР ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ ЧАОТИЦ Таким образом, амплитуда всего процесса рождения пары запишется в виде М М1упр) 1 (е4с ~~~')ухХ) (Хс)( зе(а,урпз )) (100 8) Л4Х, ЛХ2 А где у = (О, с1), с1 = М(зт' — зг) . Как обычно, в нерелятивнстском случае фотонный пропагатор следует выбрать в калибровке (76.14).
По амплитуде (100.8) находим сечение процесса: у 2 гдс Ц4 = ел. +е —, 1 = рз+р, Ч = Ч вЂ” ю,1с(с)1с); 1 414трас — сечение УпРУгого РассеЯниЯ ЯДеР ДРУГ на ДРУге (в системе их центра инерции). Оно дается формулой Резерфорда ') 2 СХ4грасс = 4(Я~ юзез) — 4(Я~ Узе~) ~" ~' (100.10) Ч4 4/ 414 (приближенное равенство предполагает малость отклонения ядер от их начального направления движения оси т). Подставив это выражение в (100.9) и произведя обычным образом суммирование по поляризациям пары, получим и,„.
= (илзе ) —,( — ' — — ') 22с ХЪ из 4~ рас— с'-' ЛХ4 ЛХ2 х Ор((ур + т)(уь4)(ур — т)(7С1)) (1 00.11) Дальнейшее вычисление производится в приближении, в котором все возникающие при интегрировании логарифмы считаются большими величинами. Мы увидим, что с этой точностью основ- НУЮ РОЛЬ ИГРаЮт ЭНЕРГИИ ПаРЫ ЕХ, Е » т И УГЛЫ С) МЕЖДУ Рз и р в области п2Х'Б « й « 1. (100.12) ') Диаграммы (100.6) ссютветствуют бориовскому приближению для рассеяния ядер.
Однако поскольку формул~ Розсрфорда точная (для кулонова взаимодействия), то справедливость полученных результатов В действительности не требует соблюдения условия применимости борновского приближения. 500 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х С соответствующими пренебрежениями вычисление следа, в (100.11) дает яр1...) = 4~(ете — р-~р-)(с1 — ч ) + +2(р с1)(р-Г1)+ ~.--(с11д)2 ч (, Чр-+е-с1р -)~ причем можно положить; ~рт~ = ет, ~р ~ = е . В знаменателе же „2 1,2 =,, В2+ т2('-+'-' Е4-Е— Интегрируя по направлениям рэ и р при постоянном угле между ними, получаем Х О= — (г,г,е ) — ',( — ' — — '~ ~(.
+ ° )ХВ,ХВ х 8 з -'-' РЗЮ 419,41 . (100 1З) 2 92 .2 22 Вид зависимости от 0 подтверждает предположение (100.12), ВТЕКИЂ и интегрирование по 0 дает 1п + . Интегрирование же по- 2В(- +Е ) следнего множителя в (100.13) производится в пределах от ГХ —— = 412 = 0 до уЯ. + 41~2 1/ЛЗ где Л - величина порядка радиуса ядер (это значение соответствует наименыпим прицельным расстояниям см. ниже); это интегрирование дает д2=д. =1/Н 2Г 1п(41~~ + 41~~ + 41~) ~ — 22Г 1п 1 Л,д д,=д,=е С другой стороны, полная энергия пары, равная изменению энергии ядер, есть е = (е4.
+ е ) = — (и — ъ' ) Ми(22 222) 22ГХФ4 ЛХ Ад 2 откуда 4Х = е/2ь Таким образом, находим 822 ВЗ ( ЛХ2 14Х4 ) Е4 йе тЕ а после интегрирования по ет или е при заданной сумме е 32 2 2В4П42 / Я2 Я4 Л В Г 4ХЕ 4142 = — (71 Яде ) — ' ( — ' — — ') 1п — 1п — —. (100.14) 922 и2 ЛХ2 ЛХ4 ХХЕ т Е 501 1 1а7 ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА ЭЛЕН ГРОНОМ Энергии е можяо привести в соответствие прицельное расстояние р н/е (энергия пары порядка частоты, отвечающей времени столкновения). Поэтому логарифмическая расходиыость при интегрировании по е в 1100.14) означает такую же расходимость по прицельным расстояниям. Это значит, что существенны большие р (тем самым, кстати, оправдывается использование сечения рассеяния 1100.10) в чисто кулоновом поле ядра). Соответственно существенна область энергий: т « е « и/гс.
Интегрирование 1100.14) дает полное сечение образования пары; окончательно 1в обычных единицах) "б ст у, )2„2(~)2(язп' 2''~) 1 в ас (100 1б) 27я е с Мз ЛХ~ ьчсзй 1Е. М. Лифшиц, 1935) ') . 9 101. Излучение фотона электроном в поле интенсивной электромагнитной волны Применимость теории возмущений к процессам взаимодействия электрона с полем излучения предполагает 1помимо малости константы взаимодействия а) также достаточную слабость этого поля. Если а амплитуда классического 4-потенциала поля электромагнитной волны, то характерной величиной в этом смысле является безразмерное инвариантное отношение с = е~/1 — а2,7т. 1101.1) В этом параграфе мы рассмотрим процессы излучения, возникающие при взаимодействии электрона с полем сильной электромагнитной волны, для которой ( может иметь любое значение.
Применяемый метод основан на точном учете этого взаимодействия; взаимодействие же электрона с новыми испускаемыми фотонами может по-прежнему рассматриваться как мааое возмущение 1Л. Н. Никишов, В. И. Ритус, 1964). Рассмотрим монохроматическую плоскую волну, для определенности циркулярно поляризованную. Ее 4-потенциал напишем в виде А = а1совус+а2вш~р, сс = 7сл, (101.2) где И = 1ш, 1с) -- волновой 4-вектор (Й2 = О), а 4-амплитуды и1 и а2 одинаковы по величине и взаимно ортогональны: ая = Н2 = а2 Ч 2 а~а2 = О. ') Числовая ошибка исправлена Л.
Б. Окунем П953). 502 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х Г)зр = (1+ ' [(уй)(уаГ)сое~р+(у1:)(уаз)яшар) " х 2(лр) х ехр( — ре — яшар+ (е — сов ~р — щх)~ (101.3) (а1Р) . . (ВВР) (ьр) (Ю где 2 а 2(йр) (101.4) Согласно (40.14) 4-вектор а средний кинетический 4-импульс электрона; будем называть его квазиимпульсом. Элемент Я-е|атрицы для перехода электрона из состояния Гр. в состояние у)р с излучением фотона с 4-импульсом Йи = (м'., 1с') и 4-вектором поляризации е'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
