IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Х1 где символ п ну.мерует состояния систеъгьл «электромагнитное + + электрон-позитронное полян '). Так как оператор тока Ях) зависит от хи = (г, г), зависят от х также и его матричные элементы. Эту зависимость можно установить в явном виде, если выбрать в качестве состояний ~п) состояния с определенными значениями полного 4-импульса. Зависимость матричных элементов тока от времени, как и для всякого гейзенберговского оператора, дается выражением (пУ" (гч г)~т) = ( У (гУт)е 1н Нов', где Ев, Е энергии состояний ~п) и ~т), Яг) шредингсровский оператор.
Для определения координатной зависимости матричных элементов рассматриваем оператор у'(г) как результат преобразования оператора ЯО) путем параллельного переноса на расстояние г. Оператор такого переноса есть ехр(ггР), где Р†. оператор полного импульса системы (см. П1, (15.13)). Имея в виду общее правило преобразования матричных элементов (см. П1, (12.7)), находим поэтому, что (п~у"(г)~т) = (п~е '"~у"(0)е'"~~т) = (п~у"(0)~гп)ей~'" Вместе с предыдущей формулой это дает окончательно ( )1'"(4, г)~ ) = ( У' (О)~гп)е Ц"" (104. 6) Отметим также, что матрица (п~уи(0)~т) эрмитова (как и матрица (104.6) оператора у'''"(1, г) в целом), а в силу уравнения непрерывности (102.7) она удовлетворяет условию поперечности (Рв — Р )и(паул(0)~т).
(104. 7) Вернемся к вычислению функции П(х — х'). Подставив (104.6) в (104.5), получим П(~) = — '' (О/уи(0)/п)(гг/у" (0)/0)ет'~"с, т >< О, (104.8) где х — х' = ( = (т, ~). Обозначим р(~~) = — — (2п) ~ (О/д,(0)!п)(0/у" (0)/и)*д (й — Р„). (104.9) ') Оператор тока сохраняет заряд, поэтому состояния ~п) в (104.5) могут содержать лишь одинаковые числа электронов и позигронов. 521 СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕОКАЯ ФУНКЦИЯ ФОТОНА 1 104 Суммирование производится по всем системам реальных электронных пар и фотонов, которые могут быть рождены виртуальным фотоном с 4-импульсом к = (ог, 14) (гз ) О), а для каждой из таких систем -- еще и по ее внутренним переменным (поляризагг ции и импульсы частиц в системе центра инерции) ) .
В результате такого суммирования функция р может зависеть только от а, а ввиду ее скалярности — только от к . В частности, р ие за- 2 висит от направления 14. Имея в виду эти свойства функции р, переписываем (104.8) в виде П(~) =;, й„, / р(И2)е Е4-~~~). ,1 (2я)г о = — г' — 1' 1' г(гот((РР)о((г — 14')р()г')е'~ )г (2я.)г 1 ) о Переход к импульсному представлению осуществляется подста- новкой сюда формулы е — ггг~т~ йгг г е — г ет гй т 1 г1йе кег — ггг -~- гО 2гг (104.10) (использоваииой уже в 2 76) и дает П(г12) г(( 2) г((~ ~2)д(142 142 о~2) Р(Р ) е 0 о или окончательно г ) / ~(~')~(р') ,~ Ьг-шгч-гО о (104.11) ) Такое определение состояний ~п), очевидно, тождественно с определением их как состояний, для которых отличны от нуля лгатричные элементы (О Ягг) зарядово-нечетного оператора.
Г ) Формальные вычисления, аналогичные произведенным вышЕ, требуют осторожности ввиду наличия упоминавшихся уже расходимостей. Это приводит, в частности, к появлению в правой части (104.1П дополнительных асходящихся членов, не имеющих явно релятивистски инвариантного вида так называемые игейнгероеские члены). Мы не выписываем их, поскольку они все равно исчезают при перенормировке (см. 1 110) и не сказываются на дальнейших результатах.
522 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ гл. х1 Коэффициент р в этом интегральном представлении называют спектральной плотностью функции П(й~). Он обладает свойствами; р(12) = 0 при АЯ < О, (104.12) р(АД) ) 0 при й~ > О. Действительно, 4-импульс Й виртуального фотона, который может родить систему реальных частиц, непременно времениподобен (А-' совпадает с квадратом полной энергии частиц в системе их центра инерции). Н силу же условия поперечности (104.7) имеем Р~'44(0/~И!и) = О.
Но 4-вектор (0~~ ~п), ортогональный времениподобному 4-вектору (Р„),пространстве~шоподобеп, т. е. (О/у„/п)(0/1"/и)* < О, а потоелу, согласно определению (104.9), р > О. 3 105. Точный электронный пропагатор Подобно фотонному, точный электронный пропагатор определяется формулой Я,ь(х — х') = — г(О~ТЩ(х)~ь(х') ~0) (105.1) (г, й биспинорные индексы), отличающейся от определения (75.1) пропагатора свободных частиц С,ь(х — х') = — г(О~Т~,'"'(х)«РА (х') ~0) (105.2) заменой ф-операторов в представлении взаимодействия гейзепберговскими. Те же рассуждения, что и при выводе (103.7), позволяют преобразовать й,ь к виду г7 ( у) . (О~тч, (еф« (*)Я)е) (РО 3) (о~я~о) Разложение этого выражения по степеням е~ приводит к представлению 6-функции в виде совокупности диаграмм с двумя внешнимп электронными линиями и различным чишюм вершин. При этоел роль знаменателя в (105.3) снова сводится к необходимости учитывать лишь диаграмълы без изолированных «вакуумных петельн Так, с точностью до членов - е4 графическое 523 1 10в ТОЧНЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР представ,ление пропагатора и' (жи1шая сплопшая линия) имеет вид ') « — - + ч- «с«ээ««- е (105.4) ч-«-т«-ьет-«А«Р + «-т«-те»«-Г«- -ь « — »»т«-»«уя — -1- «« — «- Жирной сплошной линии сопоставляется (в импульсном представлении) функция 16(р), а всем сплоп|ныьГ и штриховым линиям в диаграммах правой стороны равенства — пропагаторы свободных частиц соответственно 1С и — 1Р.
Блок, заключенный между двумя электронными линиями, называют электронной собственно-энергетической частью. Как и в фотонном случае, такую часть называют компакпизой, если она не может быть разделена дальше на две другие собственноэпергетические части путем рассечения по одной электронной линии. Сумму всех возможных компактных частей обозначим через — 1М,ы функцию — 1Мгь(р) называют массовым оператором. Так, с точностью до членов е имеем (105.5) ;Сл, + «э«-те»«~с- + «-з«ч«-т«-' »-+ «-4 — яПутем суммирования, в точности аналогичного выводу (103.13), получим О(р) = С~р) + С(р)М(р)Ц(р) (105.6) (биспинорные индексы опускаем) нли для обратных матриц 6 (р) = С ~(р) — М(р) = ур — т — М(р).
(105Л) В 3 102 уже было Отмечено, что гейзенберговские»р-операторы (в противоположность уьоператораги в представлении взаимодействия) меняются в результате калибровочного преобразования электромагнитных потенциалов. Вместе с ними оказывается калибровочно-неинвариантным также и точный электронный пропагатор 6. Выясним закон его калибровочного преобразования (Л. Д. Ландау, И.
М. Халатников, 1952). ') Как уже было объяснено в 1 103, не надо учитывать также и диаграьн мы с»замкнутыми на себя» линиями, которые появились бы здесь уже во втором порядке: 1 524 Гл. х> ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ Заранее ясно, что изменение 6 при калибровочном преобра; зовании должно выражаться через ту же величину Р, которая О) добавляется при этом преобразовании к фотонному пропагатору. Это станет очевидным, сечи заметить, что при вычислении 6 по диаграммам теории возмущений каждый член ряда выражается через функции Р и никаких друтих электромагнитных величин в них не входит. Этим обстоятельством можно воспользоваться для упрощения выводов: можно делать любые частные предположения о свойствах произвольного оператора;~ в преобразовании (102.8), лишь бы ответ был выражен через РО).
В результате преобразования (102.8) пропагаторы Ю (103.1) и Ц (105.1) переходят в Юр, — э г(0]Т[А„(х) — држ(х)] [А,(х') — д,'7((х')]]0), (105.8) Я,ь — э — ъ(О]Тф,(х)е"х(т>е "х( > «]>ь(х')]О). Будем считать теперь, что операторы 7~, усредняются независимо от всех остальных операторных множителей в Т-произведении: это предположение вполне естественно, поскольку в силу калибровочной инвариантности «поле» ~~, не принимает никакого участия во взаимодействии. Положим также, что обращается в нуль среднее по вакууму от самого оператора т: (0],"~]0) = О. Тогда в (105.8) члены., содержап1ие,~, отделяются н получается РИР э РИР +»(0] Т [Ад др7~(х) ' дР1с (х )] ] 0) (105 ° 9) д,, > д,„(О]ТЕ1ех(') е — ех(*') ]О) (105 10) Дальнейший вывод произведем для бесконечно малого преобразования; чтобы подчеркнуть эту малость, будем писать б;~ вместо 75 Преобразование (105.9) можно (независимо от малости 57() записать в виде ') 'Од, — э Юр, + 5РИ„6РИ, = д„д'Ф)(х — х'), (105.11) где д(~)(х — х') = ъ(0]Т(>7((х)бу(х')]0).
(105.12) Отсюда видно, что функция с(~ ) определяет изменение при кали- (О бровочном преобразовании продольной части фотонного пропагатора ь>(~). Предположение о зависимости этой функции только ') Переход от (105.0) к (105.1Ц возможен, если функция И~П и ее производная по 1 непрерывны при 1 = 12 В противном случае правые части этих выражений отличю>ись бы 5-функциоиными членами (ср. вывод формулы (75.2)).
В импульсном представлении это условие эквивююнтно предположению о том, что ЛЮ(Ч) убывает при ]Ч»] -э со быстрее, чем 1/2». 525 1 10в ТОЧНЫЙ ЭЛЕКТРОННЫГ4 ПРОПАГАТОР От РаЗНОСтн гп — Х ОЗНаЧаЕт, КОНЕ 4НО, ОПРЕДЕЛЕННОЕ ОГРаНИЧЕНИЕ на свойства оператора б)г; в общем случае вполне произвольного калибровочного преобразования пространственно-временная однородность пропагатора может нарушиться. В преобразовании же (105.11) разлагаем экспоненциальные множители по степеням 5~ с точностью до квадратичных членов: (0[ТЕ 4ТФŠ— 44хЮ [0) = — 1Е2(0[5Х2 (*) + 5Х2 (Хг) — 2Т5Х(Х) 5Х(тг) [О С учетом определения (105.12) находим, таким образом, следующий закон преобразования электронного пропагатора; й — г й + ойг ой = гезй(х — х')[410)(0) — 440)(х — х')].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
