IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 98
Текст из файла (страница 98)
(105.13) В импульсном представлении ') ой(р) = гез 410) (4)) [й(р) — й(р — 4))) — ~„. (105 14) При этом функция аг( ) (4)) связана с изменением функции ьг( )(0) бЮ0)(4)) = 4)~4440(4)). (105.15) Для электронного пропагатора можно было бы получить интегральное представление, аналогичное формуле (104.11). Его вывод основан на выражениях 4)гн„„(х) = 4)ги,„(0)е (105.16) для матричных элементов 4)г-оператора, подобных использованным в 2 104 выражениям (104.6) для матричных элементов тока. В противоположность току, однако, сами гр-оггераторы калибровочно-неинвариантпы. Поэтому и координатная зависимость вида (105.16) не имеет общего характера, а относится лишь к некоторой определенной калибровке.
Тем самым относится лишь к ') Если функция г(х) = ~г(х)1г(х), то ее компоненты Фурье Пр) = / 1(х)е ". 1'х = О 4'х е"гх " "'414(гтг)Г (44 ) = (2гг) е г" г) г144) г1г 440 l 02) / 6 (Р— г14 — Ог)14(414)1гЦг) = у4 — Уг(г1)~г(Р— г1) =д' ' ./ (2х)4 При переходе от (105.13) к (105.14) учтено также, что ~(*=0) =~1() "" (2гг) 4 526 ТОЧНЫЕ ПРОПА1'АТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. Х1 й 106. Вершинный оператор В сложных диаграммах можно выделить, наряду с собственно-энергетическими частями, также и не сводящиеся к ним блоки другого вида. К важной категории таких блоков мы придем, рассмотрев функцию К"ь(хы хз, хз) = (0~ХА" (х~)ф,(хе)фь(хаК0) (106.1) с одним 4-векторным и двумя биспинорными индексами; в силу однородности пространства-времени она зависит лишь от разно- стей аргументов хп хз, хз.
Выраженная через операторы в пред- ставлении взаимодействия, функция К имеет вид КР (,, ) МТА",(х )Ф,"'(хг)) гх (хзНО) (106 2) (ойдо) Переход к импульсному представлению осуществляется форму- лой (2 )~5~(Р1 + и — Рз)кн.(рзг Р1, 'к) = ~ 1 КН ( Х ),— гвхг-~-1Ргхг 1Ргхг ~4 114 .
114 (106 5) з ч В диаграммной технике функциям К~' соответствуют блоки (треххвостки) вида А (106.4) Рг Р1 с тремя (одним фотонным и двумя электронными) концами, им- пульсы которых связаны законом сохранения (106.5) определенной калибровке и основанное на (105.16) интегральное представление пропагатора. Более глубокая физическая причина этой ситуации состоит в тотл, что равенство нулю массы фотона приводит к инфракрасной катастрофе (см.
~ 98). Вследствие этого электрон в процессе взаимодействия испускает бесконечное число мягких квантов, что в значительной степени лишает прямого смысла «одночастичныйгг пропагатор (105.1). 527 6 106 ВеРшинныЙ опеРАТОР Член нулевого порядка в разложении этой функции обращается в нуль, а член первого порядка в координатном представлении К"(х1, хг, хз) = е С(хг — х)-~,С(х — тз) .
11'Р'(х1 — х)й х или в импульсном представлении КР(рг р1, гг) = ЕС(рг)Ъ С(р1) ' И 'Р(гг) (106.6) (биспинорные индексы опущены); соответствующая диаграмма; ! (106. 7) Рг Рг При переходе к следующим приближениям диаграммы усложняются за счет добавления новых вершин. Не все такие диаграммы, однако, дают нечто существенно новое. Тнк, в третьем порядке возникают диаграммы Л (106.8) Первые трн можно рассечь (по одной фотонной или электронной линии) на простую вершину (106.7) и собственно-энергетическую часть второго порядки; для четвертой диаграммы такое разбиение невозможно.
Эта ситуация имеет общий характер. Поправки первого рода приведут просто к замене в (106.6) множителей С и О точными пропагаторами й и ьг. Остальные же члены разложения в сумме дадут новую величину, которая заменит в (106.6) множитель уи. Обозначив эту величину через Г", получим, таким образом, по определению К~(ргг р1, .е) = (георг)[ — геГР(рг, рг, й))гД(р1))[ — гег~~(к)1. (106.9) Блок, соединенный с другими частями диаграммы одной фотонной и двумя электронными линиями, называют вершинной часпгью, если этот блок нельзя разделить на части, соединенные между собой лишь одной (электронной или фотонной) линией. Величина Г" представляет собой сумму всего (бесконечного) множества вершинных частей, включая простую вершину 7" ее называют веригиггным оператором, или веригтгной функцггей.
528 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ гл. хс Приведем все диаграммы верппшного оператора с точностью до величин пятого порядка: — геГ б е г (106.10) 'А'А'А'А'Л д е аю 3 и (точный верпсияный оператор — 1ЕГ здесь обозначен черной точкой). Оператор Г (как и оператор у простой вершины) имеет два матричных (биспинорньсх) и один 4-векторный индекс; он является функцией двух электронных (рм рв) и одного фотонного (й) импульсов. При этом все три импульса не могут одновременно относиться к реальным частицам: диаграмма (106.4) сама по себе (не как часть более сложной диаграммы) отвечала бы поглощению фотона свободным электроном, но такой процесс несовместим с законом сохранения 4-импульса реальных частиц.
Поэтому хотя бы один из трех концов диаграммы должен относиться к виртуальной частице (или к внешнему. полю). Вершинные части можно разделить еще на две категории: непрссводимые и прпводимсме. 11еприводимыми называют те из них, которые не содержат в себе собственно-энергетических поправок к внутренним линиям н в которых нельзя выделить частей, представляющих собой поправки (более низкого порядка) к внутренним вершинам. Так, из диаграмм (106.10) неприводимы лишь б) и г) (не считая простой вершины а)). Диаграммы зю), з), и) содержат собственно-энергетические части; в диаграмме о) верхнюю горизонтальную штриховую линию можно рассматривать как поправку к верхней вершине, а боковые штриховые в диаграммах д) и е) - .
как поправки к боковым вершинам. Заменив в неприводимых диаграммах внутренние линии такими же жирными линиями, а вершины черными точками (т. е. заменив приближенные пропагаторы 1Э, С точными Ю, ы, а приближенные верпгинные операторы у точными Г '), мы получим, очевидно, совокупность всех вообще вершинных частей. ') Получающиеся таким образом диаграммы называют скелетнмзси. 529 1 106 ВеРшинны14 ОнеРАТОР Таким образом, разложение вершинного оператора имеет вид (106.11) Это равенство представляет собой по отношению к Г интегральное уравнение с бесконечным числом членов в правой его части. Г1з изложенного ясен общий принцип составления точных выражений из диаграммных блоков с любым числом концов. Они строятся как средние по вакууму от Т-произведений гейзенберговских операторов: по одному оператору ~г(х) на каждый конечный электрон, 4Р(х) на каждый начальный электрон и А(х) на каждый фотон.
Приведем еще один пример: диаграммы вида (106.12) с четырьмя электронными концами («электронная четыреххвостка»). Мы придем к таким диаграммам, рассмотрев функцию Кгь,1т(х1 ° х2~ хз, х4) = (40]Т4144'4х1йь(х2) 611(хз)Ф«п(х4)]0) (106.13) (зависящую, конечно, лишь от разностей четырех аргументов). Ее компоненты Фурье можно представить в виде Г гх х . х х 464(Рпх11Р4хг — Ргхг — Ргх4) 14 ~4 14 ~4 = (2я) 5 (р1 + Р2 — рз — р4)Ка,1 (рз1 Р4; р1, р2): (106 14) причем Кгь,ьп(Р31 Р41 Р1~ Р2) =(2я) ]Я (Р1 Рз)611(Р1)мы(Р2) 0 (Р2 Рз)игт(Р1)6»1(Р2)] + + 6 (РЗ)ЯДР«Ц вЂ” 1Г,,«1(РЗ, Р4' Р1, Р2)]6»1(Р1)Я1 (РЗ).
(106 15) В выражении (106.15) первые два члена исключают из опреде.ления функции Г(рз, Р4; Р1. Р2) диаграме«ы, распадающиеся па две не связанные между собой части с двумя внегпними концами 530 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ гл. х1 каждая О О -О или рз ч — ( )ч — ра В третьем же члене множители й исключают из определения Г те части диаграммы, которые представляют собой поправки к внешним электронным линиям.
Отметим также, что по свойствам Т-произведения фермиевских гр-операторов функции Г(рз, р4; р1, рз) обладают свойствами антисимметрии: Г~ь 1тп(рз~ Р1: Р11 Рз) Гьйьп(Р4~ Рз~ Р~ ~ Рз) = -Г,ь „ы(рз, Р4:, Рз, Р1). (106.16) Если импульсы рг, рз, рз, р4 отвечают реальным частицам, то нераспадающиеся диаграммы (106.12) изображают процесс рассеяния двух электронов.
Мы получим амплитуду этого процес.- са, сопоставив внешним концам диаграммы волновые амплитуды частиц (вместо пропагаторов й) '): газ — и,(Рз)ив(Р4)( — геГ1ьдгп(рз, Р4! Ры Рз)1и1(Р1)иш(рз). (106.17) Вследствие (106.16) эта амплитуда автоматически обладает должной антисимметрией по отношению к перестановкам электронов. й 107. Ъ равнения Дайсона Точные пропагаторы и вершинная часть связаны между собой определенными интегральными соотношениями. Их происхождение становится в особенности ясным из диаграммного метода. Введенное в предыдущем параграфе понятие о неприводимости или приводимости распространяется не только на вершинные части, но и на любые другие диаграммы (или их части). Рассмотрим с этой точки зрения компактные собственно-энергетические электронные диаграммы.
Легко сообразить, что из всего бесконечного множества этих диаграмм лишь одна неприводима; это --диаграмма второго по- рядка ) Мы увидим в дальнейшем (см. З 110), что при составлении амплитуд реальных процессов не надо учитывать собственно-энергетических частей в свободных концах диаграммы. 531 1 107 уРАВнвния даисонл Всякое усчожнепие этой диаграммы может рассматриваться как введение дальнейших поправок к ее внутренним (электронной или фотонной) линиям или же к одной из ее вершин. При этом существенно, что в силу очевидной симметрии диаграммы все вершинные поправки достаточно приписывать лишь к одной (любой) из ее двух вершин ') . Поскольку, таким образом, из всех компактных собственно- энергетических электронных частей лишь одна неприводима, совокупность всех таких частей (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
