IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Сравнение обеих формул подтверждает написанное выше предельное выражение для 6(р) (первый член в (110.9)), причем (110.15) Покажем теперь, что после установления требуемого предельного вида электронного пропагатора уже пет необходимости в постановке каких-либо новых условий для вершинного оператора. Рассмотрим диаграмму (110.16) описывающую рассею|ие электрона во внешнем поле А~'~(й) (в первом порядке по полю) с учетом всех радиационных поправок.
В пределе к — > О, рз -+ р1 = р собственно-энергетическ1ле поправки к линии внешнего поля исчезают (напомним, что эти поправки исчезают вообще при всяком й~ = 0). Тогда диаграмме будет соответствовать амплитуда Му, = — ЕИ1р)Г(р, р; 0) И(р)А1'~(А — + 0) (110.17) -- произведение потенциала А~') на апектронпый ток перехода ИГИ. Но при й — ~ 0 потенциал А~'~(х) сводится к не зависящей от координат и времени постоянной. Такому потенциалу вообще пе соответствует никакое физическое поле (частный случай калибровочной инвариантности), так что он не может вызвать никакого изменения электронного тока.
Другими словами, в рассматриваемом пределе ток перехода ЙГИ должен просто совпадать со свободным током й уи1 Й(р)ГН(р, р; 0)И(р) = У~и(р)Г"и(р) = и1р) у"и1р). (110.18) 111 лналитичвокие сВОЙОТВА Фотонного ПРОИАГАТОРА 549 Это требование есть, по существу; тоже выражение определения физического заряда электрона. Легко видеть, гто оно автоматически выполняется вне зависимости от значения Я1. Действительно, подставив 6 1(р) из (110.10) в тождество Уорда (108.8), найдем Гд(р, р; 0) = Я1 у" — у"уу(р)(ур — т) — ("ур — т)р(р) у"., и равенство (110.18) удовлетворяется в силу уравнений (.ур — гп)п = 0 и(-ур — 'т) = О. Мы видим, что при составлении амплитуды физического процесса «перенормировочная постоянная» Яг вообще вьшадаот.
Мало того, воспользовавшись неопределенностью, возникающей из-за расходимостей при вычислении Г, можно просто потребовать, чтобы было (р)Г'(р, уй 0)и(р) = (р) у" (р), р' = '; (110 10) т. е. положить Я1 = 1. Удобство такого определения состоит в том, что отпадает необходимость во введении поправок во внешние электронные липин: имеем просто И(р) = н(р). В этом можно убедиться и негюсредственно, заметив, что при Я1 = 1 массовый оператор (110.11) уьт = (ур — т)8(ур — т) (110.20) и второй член в (110.12) очевидным образом обращается в нуль. Таким образом, не будут требовать «перенормировки» внешние линии всех реальных частиц как фотонов, так и электронов ') .
8 111. Аналитические свойства фотонного пронагатора Исследование аналитических свойств фотонного пропагатора удобно начать с изучения свойств функции П(ай). Дело в том, что прямое использование для этой цели определения (103.1) затрудняется калибровочной неоднозначностью операторов Ад(ш) и проистекающей отсюда неопределенностью их свойств. ) При перевормировке фотоввого пропагатора уьшовие л = 1 возникало как необходимое физическое требование, а после этого исчезновение поправок к внешним фотонным линиям происходит уже автоматически. С формальной точки зрения, однако, ситуации для фотонных и электронных ввешиих линий аиалогичвы: при Я ~ 1 волновая амплитуда ее реального фотона с учетом поправок умиожшгась бы ва чгУ.
550 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ Гл. хс Исходя из выражения собственно-энергетической функции фотона через матричные элементы калибровочно-инвариантного оператора тока в з 104 было получено интегральное представление функции П(й~) (104.11). Обозначив переменную й~ через 1 '), рассмотрим свойства функции П(л) в плоскости комплексного 1.
Из интегрального представления П(1) = (111.1) ,/,, о видно, что на отрицательной вещественной полуоси функция П(с) весцественна, а во всей остальной плоскости удовлетворяет соотношению симметрии П(1') = П*(4). (111.2) Функция П(б) может иметь особенность лишь в особых точках функции р(г). Последние лежат при значениях 1 = й~, являющихся пороговыми для рождения виртуальным фотоном различных совокупностей реальных частиц. При этих значениях евступают в игру» новые типы промежуточных состояний в сумме (104.9). Вклад от этих состояний равен нулю ниже порога и отличен от нуля выше порога, что и приводит к особенности функции в самой точке порога. Эти пороговые значения, разумеется, вещественны и неотрицательны ') .
Поэтому и особые точки функции П(л) лежат на положительной вещественной полуоси переменной 1. Если провести разрез по этой полуоси, то функция П(1) будет аналитична во всей разрезанной таким образом плоскости. еПссн +гО в знаменателе подынтегрального выражения в (111.1) показывает, что полюс т' = б должен обходиться снизу. Иными гловалси, под значением функции П(л) при вещественном 1 следует понимать ее зна ление на верхнем берегу разреза. Используя правило (75.18); = Р— ~ Ыд(т), (111.
3) яшсО т находим, что для вещественных 1 1ш П(1) = 1ш П(~ + лО) = — йгр(~). (111.4) На нижнем же берегу разреза 1ш П имеет обратный знак, а Ве П на обоих берегах одинаково. Поэтому скачок функции П(1) на разрезе (111.5) 1шП(б+ лО) — 1шП(Х вЂ” лО) = — 2плр(1). ') Не слсешивать с обозначением времени! л ) Так, точка к = О является порогом для рождения трех (или большего нечетного числа) реальных фотонов, точка Й = 4т - порог для рождения е электрон-позитронной пары и т.п.
551 АНАЛИТИЧВСКИЕ ОВОЙОТВА ФОТОНИО!'О ПРОПАГАТОРА 1 111 Само иптегральяое представление (111.1) можно рассматривать в этом аспекте просто как формулу Коши для аналитической функции П(1). Действительно, применим формулу Коши 1 ('П(1)ж 2яг .( Сг (111.6) к контуру (111. 7) огибающему разрез. В предположении достаточно быстрого убывания П(1) на бесконечности, интеграл по большой окружности исчезает, а интегралы по берегам разреза дают следующую формулу (г)исперсионное соотноииение), определяющую функцию П(4) по ее мнимой части: ) Писперсиоггные соотношения была введены в квантовую теорию поля Гелл-Маном, Гольдбереером и Тирринеом (М. Се)1-Магги, М. Ь.
Со)г)ггегдег, И'. Е. Т)гггтту, 19ог4). П(1) 1 1шП(1 -~- гО) 11г 1 1шП(1 ) гг (111 8) и„г 1' — 1 гг / 1' — 1 — гО о о Подставив сюда (111.4), получим (111.Ц ') . Аналитические свойства функций Р(г) и сг(г) совпадают со свойствами функции П(г), через которую они выражаются простыми формулами (104.2) и (103.21). Дпя е1(г) имеем П(1) = '(1+ "~'~). (111.г)) На вещественной полуоси (4 > 0)г согласно сказанному выше, надо понимать 1 как 1+ 10. Мнимую часть ег(г) можно вычислить затем с помощью (111.3) и (111.4), причем надо учесть, что согласно (110.6) П(1),гг — + 0 при 1 -+ О. Тогда найдем ,1 г 1ше (1) = — 4гг~б(1) + —,1шП(1) = — 4гг~г)Я вЂ” — р(1).
(111.10) Применив теперь к функции Х1(г) дисперсионное соотношение вида (111.8), получим для нее следующее интегральное 552 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ Гл. Х1 представление ТР(4) = ~ + 4.Т / р, . (111.11) С+ )О .) Нс й — Н Ч-)О О Ту, — Т~ — г(2я)4 ,'~ Ту„Т,* 5«(Р~ — Р,):, (111.12) суммирование в правой стороне производится по всем физическим «промежуточныма состояниям п. В данном случае этими состояниями являются, очевидно, состояния систем реальных пар и фотонов, которые могут быть рождены виртуальным фотоном Й, т.
е. как раз те состояния, которые фигурируют в матричных элементах в определении функции р(ет) (104.9). Амплитуды Му, и М,у содержат соответственно множителя 1з(к') и е>*(к ), а их разность мнимую часть 1ш7>(АХ). Мы видим, таким образом, что уже известная нам (из (111.4)) связь между появлением у Ю мнимой части и существованием указанных промежуточных состояний является следствием необходимых требований унитарности.
Мы увидим в дальнейшем,что фактические вычисления по теории возмущений функции 'сз()) (или, что то же, функции Р(1)) удобно начать с вычисления мнимой части Р, в которой не возникает расходящихся выражений. Но если затем вычислять функцию РЯ по дисперсионной формуле вида (111.8), то интеграл окажется расходящимся и понадобится производить дополнительные операции вычитания с целью удовлетворить условиям Р(0) = 0 и Р'(0) = О.
Это вычитание можно, однако, произвести без явного оперирования с расходящимся интегралом. Для этого достаточно применить дисперсионное соотношение (111.8) не к ') Напомним, что амплитуды Tд отличаются от амплитуд ЛХП лишь множителями (см. (6440)). Эту формулу называют разложением Челлена — Лемана (С. Ка)- 1еп, 1952; Н, 7 еЬП1апп, 1954). Существует тесная связь между положением разреза для функции 1З(ь) (а тем самым и ес мнимой частью на разрезе), с одной стороны, и условием унитарности для амплитуды процесса а, + 5 — у с+ с1, изображаемого диаграммой (110.4), с другой стороны (эта реакция, конечно, чисто воображаемая; она пе противоречит, однако, законам сохранения, и формальное условие унитарности для пее должно выполняться). В начальном состоянии (1) этого процесса имеются две «классическиеа частицы а и 6, а в конечном две другие с и сс Условие унитарности (71.2) '): 554 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ Гл.
Х1 Поскольку каждая внутренняя фотонная линия связывает две вершины, полное число таких линий равно (ц — Л т),12 Каждой фотонной внутренней линии сопоставляется множитель Р1,'А), содержащий й в степени — 2. Каждой же электронной внутренней линии сопоставляется множитель С1р), содержащий р (при рв )> т~) в степени — 1. Таким образом, суммарная степень 4-импульсов в знаменателе диаграммы равна 2п — Х„,/2 — Л' .
Число же интегрирований (по п~р или й~й) в диаграмме равно числу внутренних ливий, за вычетом числа п — 1 налагаемых на виртуальные импульсы дополнительных условий (из п законов сохранения в вершинах один связывает импульсы внепших концов диаграммы). Учетверив., получим число интегрирований по всем компонентам 4-импульсов: 2(п — ХА — Х + 2). Наконец, разность между числом интегрирований и степенью импульсов в знаменателе интегрируемого выражения (обозначим ее через ~ ) равна г = 1 — з1~~', — Л', (112.1) Отметим, что это чишю не зависит от порядка диаграммы кс Условия г ( 0 для диаграммы в целом, вообще говоря, недостаточно для сходимости интеграла; необходимо, чтобы были отрицательны аналогичные числа г' и для внутренних блоков, которые можно было бы выделить из диаграммы. Наличие блоков с г' > 0 приве.ло бы к их расходимости, хотя остальные интегрирования в диаграмме и сходились бы при этом даже «с избыткомж Условия г ( О, однако, достаточно для сходимости простейших диаграмм, в которых и = Л'„+ Л' и имеется всего одно интегрирование по и' р.
Если же г > О, то интеграл во всяком случае расходится. При этом степень расходимости не менее чем г, если число г четно, и не менее чем г — 1, если г печетно (уменьшение степени расходимости на 1 в последнем случае связано с обращением и нуль интеграла от произведений нечетного числа 4-векторов при интегрировании по всему 4-пространству). Степень расходимости может увеличиться при наличии внутренних блоков с г' > О. Отметим, что так как Л'А и Х целые положительные числа, из (112.1) видно, что существует лишь несколько пар значений этих чисел, при которых г > О. Перечислим простейшие диаграммы каждого из таких типов, но сразу же исключим из них 555 1ыг РегуляРизАция интеГРАлов ФейнмАИА случаи Лт, = Л1т — — 0 (вакуумные петли) и Лт, = О, Х, = 1 (среднее значение вакуумного тока), поскольку они не имеют физического смысла и соответствующие диаграалалы должны просто отбрасываться, как уже было указано в 5 103.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
