IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Легко понять, что операторы (109.2) являются ф-операторами в некотором представлении (предсп1авлении Фарра), как бы про- межуточном между гейзенберговским и представлением взаимо- действия. Их можно записать в виде у1(')(1, г) = ехр(1Йфф(г) ехр( — 1Н11), (109.3) ф~А~(1, г) = ехр(1Н~б)ф(г) ехр( — 1Йф, где Н, = Н0+ е ф>(х) 'н(~)11зт Оператор же электромагнитного поля Ан, разумеется, коммутирует со вторым членом в Й~, .и потому для него представление Фарри совпадает с представлением взаимодействия. Электронный пропагатор нулевого приближения в новом представлении определяется как С~"~(х, т') = — 1(О~Тф~'~(я)ф~' (т')~0). (109.4) Оператор 91~в)(~, г) удовлетворяет уравнению Дирака во внешнем поле [ ур — е уАОО(ш) — тЯ ' (5 г) = О, (109.5) ГЛ.
Х3 538 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ а функция С(') .соответственно уравнению [ур — е уА~')(х) — тп1С®(л, х') = б (т — т'), (109.6) (ср. вывод (107.5)). Диаграммная техника, выражающая точный пропагатор 6 в виде ряда по е2, строится путем перехода от гейзенберговского представления к представлению Фарри в точностгт так, как мы производили ранее переход к представлению взаимодействия. Мы получим в результате диаграммы того же вида, причем сплошным линиям будут соответствовать теперь множители гС~') (вместо 3С). Незначительное отличие в правилах записи апвчтитических выражений диаграмм возникает лишь в связи с тем, что в координатном представлении С~") -функция не только от разности т — т,'.
В постоянном внешнем поле, однако., сохраняется однородность времени, и потому моменты 2 и 1' по-прежнему будут 3— входить лишь в виде разности 2 — 2 = т, так что С(') = С~')(т, г, г'). Переход к импульсному представлению осуществляется разложением Фурье по каждому из аргументов функции: С~В)( г г)= еЦР" ш" '~)С(е, р2, р1) — Р' гт. (109.7) Каждой линии, которой отвечает множитель тС ' (е, р2, рт), т3(е)~ должно приписываться теперь одно значение виртуальной энергии е но два зна тения импульса начальный рт и конечный рв. ') 3С~')(е, р2, рт) =с= —— (109.8) В результате получается правило записи аналитических выражений диаграмм, в которых обычным образом производятся интегрирования по де,У(2я), а по т1арт,У(2тт)а и д3р2,У(2я) интегрирования производятся независимо, с учетом сохранения импульса в каждой вернтине. Например, Š— Ы е2 С(')(е р р") у"С(')(е — ш, р" — 1с, р' — 1с) х ~3 ! ~3 О х 'С(')(е р' рт)11, (ш, 1с) — — ~ — '" .
(109.9) (233)3 (23т)3 (23т)3 ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР ВО ВНЕШНЕМ ПОЛК 539 1 109 Важно отметить, что в излагаемой технике необходимо учитывать также и диаграммы с «замкнутыми на себя» электронными линиями, которые в обычной технике отбрасываются как связанные с «вакуумным током». При наличии внешнего поля этот ток уже не должен обращаться в нуль в связи с вызываемой полем «поляризацией вакуумам Так, в диаграмме (109.10) Р Р+1с ~ О,й=Р"-Р 1 Р9 Р Р Р1 верхней петле отвечает множитель .1» г С~'~(Ш, р+ 1с, р) 1' —. (109.11) (2л)» 2Е Здесь, однако, надо еще уточнить смысл, придаваемый интегралу по ш.
Дело в том, что интегрирование компоненты Фурье функции С~'~(т) по ш сводится к взятию зна1ения этой функции при т = 0; нО функция С~«1(т) раэрывна в ЭтОй тОчкЕ, так что надо указаттн какое именно из ее двух предельных значений должно быть взято. Дпя выяснения этого вопроса достаточно заметить, что интеграл (109.11) происходит от свертывания 1д-операторов, стоящих в одном и том же операторе тсжа: "=Ф'(2, ).ЙУ'(2, ): где ф~'~ (2, г) стоит слева от 1Д~'~ (С, г). Согласно определению пропагатора (109.4) такой порядок множителей при 2 = 2' получится, если понимать Г' как Г' = 2+0, т е.
предельное значение фу.нкции С1«)(2 — 2') как предел при 2 — 2' -» — О. Иначе можно сказать, что интеграл по дш/2П в (109.11) надо понимать как ...е '" — ", т-» — О. (109.12) 2П Массовый оператор во внешнем поле определяется так же, как в 2 105: — «М есть сумма всех компактных собственно-энергетических блоков. Он является теперь функцией энергии е и импульсов р1 и р2 на тех концах внешних линий, которыми они соответственно входят и выходят из блока: (109.13) 540 ТОЧНЫЕ ПРОПАРАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ Х1 Поступая в точности так, как при выводе (105.6), получим уравнение Д(Е, рз, р1) — С~'~(Е, рз, р1) = 4З,1З Р Сбй(Е, ря, рл)М(Е, р", р')Д(Е., р', р1) ~ ~ 4 ~ . (109.14) (2Т)В (Ч,„)З ' Более естественный вид этому уравнению можно придать, если вернуться к координатному представлению по пространственным переменным, введя функцию Д(е, г, г') = Д(е, р„р„)е'("2' "'" ~ ' ' "' (109.15) и аналоги шо для других величии.
Произведя в (109.14) обратное преобразование Фурье, получим й(е, г, г ) — С00(е, г, г ) = С(В)(е, г, гг)М(а, гт, г1)й(а, гы г')Р1зл~~1йх2. Применим теперь к обеим сторонам равенства оператор „,ее, р и 100(.) (е число, р = — Л7 оператор дифференцирования ~то координатам г). При этом надо учесть, что согласно (109.6) (у~с — ур — еуА50(л)1С50(е, г, г') = б(г — г'). (109.16) В резульгате получим следующее уравнение; (у~с — -1р — еуА(')(Ревой(е, г, г') — М(е, г, г1)0(е, гы г')пзт1 —— = д(г — г'). (109.17) Особая ценность функции Д(е, г, г') состоит в том, что ее полюсы определяют уровни энергии электрона во внешнем поле.
Покажем это сна юала для приближенной функции Сбй(е, г, г'). Подставив операторы (109.2) в определение пропагатора (109.4), получим (в точности аналогично формулам (75.12) для пропагатора свободных частиц) — гт, ф„+,~(гЯ„А (г') ехр( — ге„(1 — 1')), 1 > 1', (109.18) 12,ф„, (ТЯ„,Ь (г') ех1т(Ы„(1 — т')), 1 (1', 041 электРОнныи пРО11АГАТОР ВО Внешнел1 пОле 109 и после перехода к компонентам Фурье по времени Г (т1 С('О( ')=~ ~ *()~""( ) "' () "'( ) (10919) с — е„+10 с+с — 10 / Мы видим, что С®(е, г, г ) как аналитическая функция е имеет на положительной вещественной полуоси полюсы, совпадающие с уровнями энергии электрона, а полюсы па отрицательной полуоси совпадают с уровнями энергии позитрона. Значения еп > т ОА.) образуют непрерывный спектр '), и соответствующие полюсы спивыотся в два разреза п.лоскости Е1 от — ОО до — гп и от гп до +со.
На отрезке ~е~ < т лежат полюсы, определяющие дискретные уровни энергии. Для точного пропагатора 6(е, г, г') можно получить аналогичное разложение, выразив его через матричные элементы п1редишеронскнх Операторов, с которымн матричные элементы гейзенберговских ф-операторов связаны равенствами (т[1)1(1, г$)[п) = (гп[10(г)~п) ехр[ — 1(ń— Еш)Я.
(109.20) Здесь .Ен точные (т. е. со всеми радиационными поправками) уровни энергии системы во внешнем поле. Оператор 1)1 увеличивает, а оператор у) уменьшает на 1 (т. е. на +~е~) заряд системы. Это значит, что в матричных элементах (п~ф~О) и (О~фп) состояния ~п) должны соответствовать равному +1 заряду системы, т. е. могут содержать, помимо одного позитропа, лишь некоторое число электрон-познтронных пар и фотонов; энергии этих состояний обозначим через Ь( ).
Аналогичным образом в матричных элементах (О~ф~п) и (пфО) состояния ~п) содержат один электрон и некоторое число пар и фотонов (энергия Е„). Вместо М (109.18) получим теперь Д,ь(т — 11 г, г) = — 1~ (О~ф1(г)~г1)(п~фь(г')~0)ехр[ — 1Ей (1 — 1')], 1 > г', 12 (0(фь(г'))п)(п)ф1(г')(0) ехр[1Ей (1 — 1')~), 1 ( 1', (109.21) и отсюда 1) ~ з [ (О/~0(г)!П)(ПЯ1(г')/0) (О/~01(г')/п)(11[1Р,(г)!0) с — Е~ ~-910 с+Е~ 1 — 10 (109.22) ') Предполагается, что внешнее ноле исчезает на бесконечности.
542 гл. х1 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ Пусть е близко к какому-либо из дискретных уровней энергии Е„(или к одному из Е„). Тогда из всей суммы в (109.22) ОР) можно оставить лишь один соответствующий полюсный член. Подставив его затем в (109.17), мы увидим, что множители, зависящие от второго аргумента г' (при г ф г'), из уравнения выпадают. В результате мы получим однородное интсгродифференциальное уравнение для функции (ОГф(г)~п) (или (п~ф(г)~0), которую мы обозначим для краткости через Ф„(г) ') .
Опуская индекс и, имеем [у~с+ Ту[7 — еуАГе)(г))1ЕФь(г) — Мпь(е, г, г1)Фь(г1'у4зш1 — — 0 (109.23) (Х БСИлптдег, 195Ц. Дискретныс уровни энергии Е„выступают теперь как собственные значения этого уравнения. Тем самым уравнение (109.23) становится основой регулярной процедуры для определения этих уровней. Выразим, например, из (109.23) поправку первого порядка по М к дискретному уровню энергии электрона еп, полученному в результате решения уравнения Дирака (Уосв+ г.у'ьг — ЕУА~")(г))Ф (г) = 0; (109.24) волновая функция фв(г) пусть нормирована условием (109.25) Собствешгую функцию уравнения (109.23) запишем в виде где Ф„поправка к д)„.
Подставггв (109.26) в уравнение (109.23), 00 умножив его слева на ф„(г) и проинтегрировав по г1зт '), получим искомое выражение Ев — е„15ьч(г)М,ь(е„, г, г1)ф„ь(г1)4йхд~л1. (109.27) ') В пренебрежении радиационными поправками Р„(г) совпадают (для состояний с одним электроном или позитроном) с волновыми функциями Е„ ьы или ~д~ решениями уравнения Дирака. ) При интегрировании надо использовать самосопряженность дифференциального оператора уравнения (109.24) с целью перебросить его действие с Е„н на Е„ 543 1 по ФИЗИЧВОКИЕ УСЛОВИЯ ПВРВНОРМИРОВКИ 3 110.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
