IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Таким образом, результаты усреднения выразятся совокупг|остями диаграмм с двумя внешними концами, составляемых по описанным в 3 77 правилам, с той лишь разницей, что внешним (как и внутренним) фотонным линиям диаграммы будут отвечать теперь пропагаторы Ля„(вместо амплитуд е реальных фотонов). В нулевом приближении при У = 1 числитель выражения (103.7) совпадает просто с Влм(х — х').
Следующие отличные от нуля члены будут ез. Они изобразятся совокупностью диаграмм, содержащих два внешних конца и две вершины; (103.8) Вторая из этих диаграмм состоит из двух не связанных между собой частей: штриховой линии (которой отвечает — гВ„Р) и 17 Л. д. Лаилау и Е.М, Лифшиц, том 1у 514 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. Х1 замкнутой петли. Такое распадение диаграммы означает распадение соответствующего ему ана.питического выражения на два независимых множителя. Прибавив к диаграммам (103.8) диаграмму (штриховую линию) нулевого приближения и «вынеся ее за скобкуР, найдем в результате, что с точностью до членов второго порядка числитель в (103.7) равен (г+ ~Р ) + — -с,'> —— Выражение же (0~5~0) в знаменателе (103.7) представляет собой амплитуду «перехода» из вакуума в вакуум. Его разложение содержит поэтому лишь диаграммы без внешних концов.
В нулевом приближении (0~3~0) = 1, а с точностью до членов второго порядка получим Разделив с той же точностью числитель на зпаменател«ч найдем, что фигурная скобка сокращается и остается Таким образом, диаграмма с отсоединенной петлей вьшадает из ответа. Этот результат имеет общий характер. Вдумавшись в способ построения диаграмм, отвечающих числителю и знаменателю в (103.7), нетрудно понятьч что роль знаменателя (0~3~0) сводится к тому, что в любом порядке теории возмущений точный пропагатор 7Э„, будет изображаться лишь диаграммами, не содержащими отделенных друг от друга частей.
Заметим, что диаграммы без внешних концов (замкнутые петли) вообще не имеют физического смысла и их не следуег учитывать даже независимо от того, что они выпадают при образовании пропагатора Р. Действительно такие петли представляют собой радиационные поправки к диагональному элементу Я-матрицы для перехода вакуум --вакуум. Но согласно (103.6) сумма всех этих петель (вместе с единицей нулевого приближения) дает лишь несущественный фазовый множитель, который не может отразиться ни на каких физических результатах. Переход от координатного к импульсное1у представлению происходит обычным образом.
Так, во втором приближении теории возмущений пропагатор — г7х„,(1«) (который мы будем изображать жирной штриховой линией) дается суммой В+А +. — — — + +. — — — — — (103.9) ь в '-э ь р 515 1 газ ТОЧНЫЙ ФОТОННЫЙ ПРОПЛГЛТОР где все диаграммы вычисляются по обычным правилам (перечисленным в ч 77), с той лишь разшщей, что внешним фотонным линиям, как и внутренним, тоже сопоставляются множители— — гР„Р(а). Аналитическая запись этой формулы дает поэтому ') Р„Я = Р Я+ ге Р„лф) Вр у С(р+ )с)уРС(р) Рр~® (103.10) (биспинорнгяе индексы у матриц у и С, как обычно, не выписываем) . Члены следующих приближений строятся аналогичным образом; они изображаются совокупностями диаграмм с двумя внешними фотонными концами и нужным чистом верппгн. Так, членам е~ отвечагот следующие диаграммы с четырьмя вершипаЧетырьмя вершинами обладает также и диаграмма верхнюю часть которой составляет петля, образованная одной «замкнутой на себя» электронной линией.
Такая петля отвечает свертке ф(х)угр(х), т, е, просто среднему по вакууму значению тока; (0~1(х) ~0). Но уже по самому определению вакуума эта величина должна тождественно обращаться в нуль, и это тождество не может, разумеется, быть изменено никакими дальнейшими радиационными поправками к такой петле ') . Поэтому вообще никакие диаграммы «с замкнутыми на себя» электронными линиями не должны учитываться ни в каком приближении. Часть диаграммы («блок»), заключенную между двумя фотонными линиями (внешними или внутренними), называют вооб- ') При определении знаков пе забыть о множителе — 1, привносимом замкнутой электронной петлей! ) Хотя прямое вычисление по диаграммам и привело бы к расходящимся интегралам.
517 1 саз тОчный ФОтОнный ИРОплглтОР диаграммной техники. Она связана с тем, что общий числовой коэффициент в диаграмме не зависит от се порядка. Это же свойство позволяет использовать функцию Р (если она известна) для упрощения вычислений радиационных поправок к амплитудам различных процессов рассеяния: вместо того, чтобы рассматривать каждый раз заново диаграммы с различными поправками к внутренним фотонным линиям, мы можем просто заменить эти линии жирными, т. е. сопоставить им пропагаторы Ю (вместо 77), взяв их в требуемом приближении. Если фотонная линия отвечает реальному Са пе виртуальному) фотону, т. е.
если опа является внешним концом диаграммы в целом, то после введения в нее всех собственно-энергетических поправок мы получим, как говорят, эффективную внешнюю линию. Ей отвечает выражение, отличающееся от 1103.13) заменой множителя 1э' поляризационной амплитудой реального фотона; с103.15) 4л Если же речь идет о линии внешнего поля, то вместо ер здесь надо писать Ал' .
(е) Все сказанное в 3 76 относительно тснзорной структуры и калибровочной неоднозначности приближенного пропагатора тй„ относится и к точной функции Юри. Оставаясь в рамках релятивистски инвариантных представлений этой функции, напишем ее общий вид в форме первый член отвечает калибровке Ландау, а во втором члене Рр) —.
калибровочно-произвольная функция. Аналогичное представление приближенного пропагатора '): и„,(К) = П(И') (~ри — — "", ) + В~0(а') — "'", . (103.17) Заметим теперсн что продольная часть нропагатора связана с не имеющей физического смысла продольной частью 4-потенциала и не участвует во взаимодействии. Поэтому взаимодействие не меняет ее, так что должно быть Рсй ~7 г) 77~0 ~~з) с103.18) Обратные тепзоры, по определению, удовлетворяют равенствам р — ! РЛи 5Л О вЂ” 1 рЛи бЛ д: ! и ) Определение Р~ ~ в этой формуле не совпадает с определением в С76,3). Ю 518 ТОЧНЫЕ ПРОПА1'АТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. Х1 (103.20) 8 104.
Собственно-энергетическая функция фотона Для дальиейшего исследования аналитических свойств фотонного пропагатора будет полезно ввести, наряду с поляризациоииым оператором, еще одну вспомогательную функцию П„(й), которую называют собственно-энергетической функцией фотона. Именно, 1П„ы/(4л) определяется как сумма всех вообще (а пе только компактных) собствеипо-энергетических фотонных частей. Изобразив эту сумму квадратиком на диаграмме, представим точный пропагатор суммой г. е ПЛР 7~ры — -Оры + ~ЛИЛ А'ры ° (104. 1) 411 Выразив отсюда П„в виде — П =42 Ю Р11 — 12 ИЛ ри ии и подставив в это равенство (103.16), (103.19) и затем (103.21), ПОЛУЧИМ Пи — — П(й ) (д„— — и',"), П = . (104.2) Для прямых теизоров (103.16) и (103.17) обратпые теизоры с учетом (103.18) имеют вид (103.
19) Π— 1(й) ~ ( й1й 1+ " йий И 'ЛР"ы йи / ПЯ й1 ' Из этих формул следует, что поляризациоиный оператор представляет собой поперечный теизор: Р„. = 7 (й')(8„. — †", ), причем 71 = йз — 411/Ю или ю(й~) = (103. 21) Таким образом, поляризациоиный оператор является (в отличие от самого фотонного пропагатора) калибровочпо-иивариаитиой ВЕЛИЧИНОЙ.
104 СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ФОТОНА Мы видим, что П„, (как и Р ) -калибровочно-инвариантный тснзор. Полезность величины П связана с ее выражением в координатном представлении. Его леско найти, заме"гив, что равенство — "П„,® = Р„-,'Р„-'(Рл (1) — Р' (Ю)), с учетом следу1ощсй из (103.18) поперечности тснзора Рлр — Рлр, в координатном представления можно написать в виде П,(х — х') = = — (д„дл — мрлд„д') (д,'д' — нРрд' д'") (х>~Р (х — х') — Р АР (х — х') ). Для осуществления дифференцирования пода надо подставить Рлр(, х) Рлр( !) = БЛЯХА~(х)А~ (х') — ТА,"ВГ(х)А1'„,(х') ~0).
(104.3) Мы видели в ~ 75, что дифференцирование Т-произведения требует, вооб1це говоря, осторожности ввиду его разрывного характера. Но усредняемая в (104.3) разность непрерывна вместе со своими первыми производными, так как правила коммутации для компонент операторов АЛ(х) и А'~„1(х) (взятых в один и тот же моелент времени) одинаковы и соответствующие скачки сокращаются (ср. 3 75).
Поэтому дифференцирование разности (104.3) можно производить под знаком Т. Согласно (102.6) (и такому же уравнению без правой части для операторов свободного электромагнитного поля АРнк(х)) получим в результате выражение ПЯР(х — х') = 44Г4е~(О~Тур(х)у',(х')~0). (104.4) Оно в явном виде выявляет калибровочную инвариантность Пр„ поскольку таковы операторы тока. Из (104.4) можно получить важное интегральное представление этой функции. Ввиду (104.2) достаточно рассмотреть скалярную функцию П = П~р/3. В координатном представлении П(х —:с') = — че~(О~Т1'„(х)1Р(х')~0) = 3 '' /2 (О~ур(х)~11)(11)7р(х')~0), 1) 1', '1Я 2 В ~(О~) (*/)~ )( ()р(, )~О) 1(~, (104.5) 520 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
