IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 99
Текст из файла (страница 99)
е. массовый оператор М изобразится всего одной скелетной диаграммой: р+и + — +Я< — = + — с, ~~ (107.1) Л4(р) = С '(р) — И ''(р) = ,14 й = — 1е 7'Я1р+ И) т" (р+ й, р; й) '01з (к) . (107.2) Аналогичное выражение может быть написано и для поляризационного оператора 77. Среди фотонных компактных собственно-энергетических частей тоже лишь одна неприводима, так что 7з представляется всего одной скелетной диаграммой: р+й ч— р (107.3) ') Для ясности подчеркнем, что хотя мы получим всю требуемую совокупность диаграмм, вводя поправки лишь к одной из вершин, но для каждой определенной диаграммы структура поправочного блока, вообще говоря, зависит от того, которой из вершин он приписывается.
Например: где для одной и той же диаграммы обведены квадратами блоки, которые играют ршгь вершинной части при отнесении ее к правой или левой вершине. в) Если в (107.1) точную вершинную часть приписать левой вершине, то в уравнении (107.2) переставятся множители 7 и Г. Обе формы уравнения, разумеется, по существу эквивалентны. Записанное в аналитическом виде, это графическое равенство даст ') 532 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТСРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. Х4 Соответствующее аналитическое равенство: '.'" = П„-,'® — 1з„-,'® = = ге Яр ~ЗПЯр+к)Г,(р+Й, р:, 1Т)Яр) — ~ (1074) (2Е)4 (биспинорные индексы в (107.2) и (107.4) опущены). Соотношения (107.2) и (107.4) называют уравнениями Дайсона. Их можно получить также и прямым аналитическим вычислением.
Так, для вывода уравнения (107.2)рассмотрим величину (Тр — т)4аЯ~ь(х — х') = — 4(7р — т)4т(0/Т4(4г(х)4ь(х') /0) (р = 4д - оператор дифференцирования по х). Она вычисляется с помощью (102.5) точно так же, как зто было сделано в з 75 при выводе уравнения (75.7) дня пропагатора свободных частиц. В результате получим (УР— т)476У„.(х — х ) = = — ген,'~(ОКТАР(х)ф~(х)ь~ь(х')~0) + 54ЕВН)(х — х'); д-функционный член в правой части этого равенства такой же, как в (75.7), поскольку коммутационные соотношения при 1 = = ~' для 4)4-операторов в гейзенберговском представ.ленин и в представлении взаимодействия одинаковы. Первый же член есть — ге у,К~~.(х, х, х'), так что можно написать (снова опуская биспинорные индексы): (ур — т)Ях — х') = — гезпКН(х, т, х') + б(~)(х — х').
(107.5) Для перехода к компонентам Фурье замечаем, что если проинтегрировать определение (106.3) по 414А д4рт/(2я)е, то получим 4 4 А К (Р+Й,Щ й) — = К (04 0, хз)е 44 хз (2 )4 Р Ки(х, х, х')е'~~* "' )41~(х — х'), (107.6) 4 откуда видно, что интеграл в левой части представляет собой компоненту Фурье функции Ки(х, т, х'). Таким образом, взяв компоненту Фурье от обеих частей уравнения (107.5), использовав затем определение (106.9) и вспомнив, что ур — т = С 4(р), получим С '(р)Яр) =1 — гс "~'Я(р+ Й)Г" (р+ Й, р; И)Я(р) Р„(Й) Наконец, умножив зто равенство справа на й (р), придем вновь к уравнению (107.2).
533 108 ТО>КДЕСТВО УОРДА 3 108. Тождество Уорда Еще одна связь между фотонным пропагатором и вершинной частью, более простая, чем уравнение Дайсона, возникает как следствие калибровочной инвариантности. Для ее вывода совершим калибровочное преобразование (102.8), предполагая т(х) = бт(х) бесконечно малой простой (неоператорной) функцией 4-координат х.
Тогда электронный пропагатор изменится па величину б6(х, х') = ген(х — х') [бу(х) — бу(х')]. (108.1) Подчеркнем, что калибровочное преобразование такого вида нарушает пространственно-временную однородность и функция б6 зависит уже от аргументов х и х' по отдельности, а не только от разности х — х'. Ее разложение Фурье происходит поэтому по переменным х и х' в отдельности. Другими словами, в импульсном представлении б6 является функцией двух 4-импульсов: бд( ) бд(, ) 1Р>х — «Р>х'14ХО>4 1 Подставив сюда (108.1) и произведя интегрирование по п4хп4с или 44 С41 х' (С = х — х'), получим б6(р+ 41> р) = 1еб~(11)[6(р) — 6(р+ д)]. (108.2) С другой стороны, при том же калибровочном преобразовании к оператору Ар(х) добавляется функция бА('->(х) = — — бу, (108.3) которую можно рассматривать как бесконечно малое внешнее поле. В импульсном представлении: бА~Е) (д) = 1д„,б1с(41).
(108.4) Величину бм можно вычислить и как изменение пропагатора под влиянием этого поля. С точностью до величин первого порядка по бу это изменение изобразится, очевидно, одной скелетпой диаграммой: 1ч 1 ««1 +, 1 = «« — Х»- р4-0 р Здесь жирная штриховая линия -- эффективная линия внешнего поля, т. е. ей1 сопоставляется множитель (см. (103.15)) бА(В) (д) + бА~') (44) (Ч) ь рв(д). 4я 534 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ гл. х1 Но 4-вектор 5ААе~ (д) продолен (по отношению к д), а тензор 7РА поперечен.
Поэтому второй член здесь обращается в нуль, так что остается ! )Д ! [108.5) Рд,)= а р-Ро р где тонкой лптриховойг линигг сопоставляется обычным образом просто поле бА~е~. В аналитической форале: о6 = е6(р+ 9)Г'"(р+ д, р; д)Д(р) БА~'). [108.6) Подставив сюда [108.4) и сраншлв с [108.2), находим соотно- шение М + Ч) — йр) = — 6[р + 9) Г [р + Ь р; <Й)6[р) . Чи или для обратных матриц 6 ~(р+д) — 6 ~(р) = с7,„ГР(р+ 9, р: д) [108.7) (Н. Я.
Сгееп, 1953). Устремив в этом равенстве д -+ 0 и сравнив коэффициенты при бесконечно малом ди в обеих его сторонах, получим ' О-л[р) =Г [р,р; 0) ар, Это -. так называемое таооюдсстео Уорда, [Х С. Магд, 1950). Мы видим, что производная по импульсу от Д [р) совпадает с вершинным оператором при нулевой передаче импульса ').Производная же от самой функции Д(р) — — л9(р) = лДр)[ — лГ" (р, р: 0)1лЯ(р). [108.9) дРР Аналогичным образом можно было бы найти также и высшие производные, проводя вычисления с точностью до членов более высоких порядков по дт. Нам такие формулы, однако, не понадобятся.
Рассмотрим теперь ~лроизводную д7Р(г;)/днд от поляризационного оператора. В отличие от функции 6(р) величина Р(к) калибровочно-инвариантна и не меняется при введении фиктивного внешнего поля (108.4). Поэтому производную от 7э нельзя вычислить тем же способом. Однако и для нее можно получить определенное диаграммное выражение. [108.8) ') В нулевом приближении, т. е. для пропагатора свободных частиц, это тождество очевидно: С [р) = ур — т, и потому дС /дре = тР.
535 1 108 ТО>КДЕСТВО УОРДА Для этого рассмотрим первую из диаграмм, входящих в определение Р, диаграмму второго порядка (108.10) Сплошным линиям в ней отвечают множители гС(р) и Ж(р+ Й). Дифференцирование по Й заменит второй из них на дС(р+ й)/дй, а согласно тождеству (108.9) такая замена эквивалентна добавлению лишней вершины на электронной линии: (108.11) 1в д'Р 4л. д18 Мы видим, что в первом неисчезающем порядке искомая производная выразилась через диаграмму с тремя фотонными концами (ефотонная треххвосткар).
Сразу жс подчеркнем, что эта диаграмма сама по себе отнюдь не дает амплитуду превращения одного фотона в два. Амплитуда такого процесса выразилась бы суммой диаграммы (108.11) и другой такой же диаграммы с измененным направлением обхода петли; согласно теореме Фарри эта сумма обращается и нуль. Сама же по себе диаграмма (108.11) не равна нулю. Подобным образом можно дифференцировать и более сложные диаграммы, последовательно добавляя вершины с й' = 0 на все электронные линии, зависящие от 1'е Существуют, однако, диаграммы, в которых зависимость от Й имеется и во внутренних фотонных линиях, например диаграмма ш>ева на рисунке Производная от графика в фигурной скобке представлена здесь в диаграммном виде путем введения нового графического обозначения -.
фиктивной трехчастичной фотонной вершины--. точки, 536 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ. Х1 в которой сходятся три штриховых линии и которой сопоставляется величина 4яг = 21А:и = пя. (108.12) дЬР Теперь можно дифференцировать любой график, добавляя иа зависящие от Й линии вершины пи или уи и вычисляя далее по — — — = РИЛ (108.13) где ге РРА, сумма внутренних частей всех полученных указанным способом «фотонных треххвосток». Для дальнейшего нам понадобится еще и вторая производная поляризационного оператора.
Аналогичным образом дифференцируя еще раз равенство (108.13), имеем 1 д РР— = ~„~,Р+ Д~, „ 4П дА'дА (108.14) где ге и' сумма внутренних частей всех «фотонных четыреххвосток» вида Я' (108.15) Рй их вь (разумеется, с включением и графиков с фиктивными трехфотонными вершинами (108.12) ) . й 109. Электронный пропагатор во внешнем поле Если система находится в заданном внешнем поле А~'~(т), то точный электронный пропагатор определяется той же формулой (105.1), но в гамильтониан Й = ЙВ + Р, осуществляющий преобразование к гейзенберговскому представлению операторов, входит также и взаимодействие электронов с внешним полем: 1т = е А А1ПР1зх + е А~~~~у~иг1зх. (109.1) Поскольку внешнее поле нарушает однородность пространства и времени, то пропагатор Ц(х, х') будет зависеть теперь уже от обоих аргументов Рв и т в отдельности, а не только от их разности / Если перейти обычным образом к представлению взаимодействия, то получится обычная диаграммная техника, в которой наряду с виртуальными фотонными линиями будут фигурировать также и липин внешнего поля.
Такая техника, однако, неудобна в тех случаях, когда внешнее поле нельзя рассматривать электРОнныи пРОНАГАТОР ВО Внешне»1 пОле 537 109 как малое возмущение, прежде всего . когда частицы в поле могут находиться в связанных состояниях. Между тем электронный пропагатор во внешнем поле необходим в первую очередь как раз для изучения свойств связанных состояний, в частности для определения уровней энергии с учетом радиационных поправок.
Для построения такого пропагатора следуел исходить из представления операторов, в котором внешнее поле учитывается точно, уже в нулевом приближении по электрон-фотонному взаимодействию ( И; Н. ги1ту, 1951). В дальнейшем мы будем предполагать внешнее поле стационарным, т. е. Не зависящим от времени. Требуемое представление у1-операторов дается формулами (32.9) вторичного квантования во внешнем поле: у1(е)(1, г) = ~л (а„у1('1(г)ехр( — 1е( )1)+б~у1( 1(г)ехр(»е( 11)), (109.2) 1)11е)(1, г) = ~ (а„'ь~„, (г) ехр(1е~~~1) + б„ф„(г) ехр( — 1е( 11)), где у1Н (г) и е„- волновые функции и уровни энергии соот- Ф) Ж ветственно электрона и позитрона, являющиеся решениями «од- ночастичной» задачи уравнения Дирака для частицы в поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
