IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 95
Текст из файла (страница 95)
) При этом в выражении для у можно с той же точностью считать р обычным кинематическим 4-импульсом частицы. в) Подробное изложение теории различных процессов в сильных полях см. в обзорах А. ХХ. Ники1аава и В. И. Рвтуси в сб. «Квантовая электродинамика явлений в интенсивном поле» (Труды сРИЛН. - - Мл Наука, 1979.. Т.
11 Рь ГЛЛВЛ Х1 ТОЯНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЯАСТИ й 102. Операторы полей в гейзенберговском представлении До сих пор при рассмотрении различных конкретных электродинамических процессов мы ограничивались первым неисчезающим приближением теории возмущений. Перейдем теперь к изучению эффектов, возникающих при учете высших приближений. Эти эффекты носят название радшщионных поправок. Более глубокое понимание структуры высших прьгближепий может быть достигнуто на основе предварительного изучения общих свойств, которыми об.падают точные (т. е. не разложенные по степеням ез) амплитуды рассеяния. Мы видели (см.
З 72), что последовательные члены ряда теории возмущений выражаются через операторы полей в представлении взаимодействия — операторы, временная зависимость которых определяется гамильтонианом системы свободных частиц Йо. Точные же амплитуды рассеяния более удобно выражать через операторы поля не в этом, а в гейзенберговском представлении, в котором зависимость от времени определяется сразу точным гамильтонианом системы взаимодействующих частиц Й = Йо + 1г. По общему правилу составления гсйзенберговских операторов имеем уз(г) ив э 'ф(1., г) = ехр(гНб)гр(г) ехр( — гйг) (102.1) и так же для ф(я) и А(л), причем ф(г), ... -- пе зависящие от времени (шредингеровские) операторы ') . Сразу же отметим, что гейзенберговские операторы, взятые в одинаковые моменты времени, удовлетворяют тем же правилам коммутации, что и операторы в шредингеровском представлении или в представлении взаимодействия. Действительно, имеем, например, ф;(г, г), фь(г, г))т —— = ехр(гйг)(гр,(г), где(г')) т ехр( — гйг) = у~~йг — г') (102.2) ) В втой главе операторы с временным аргументом будут относиться к гейзеиберговскому представлению, а операторы в представлении взаимодействия будем отмечать дополнительным индексом 1пг.
1 юг ОПВРАТОРЪ| В ГВИЗВНЬВРГОВСКОМ ПРЬДСТАВЛВНИИ 509 (ср. (75.6)). Аяалогичным образом операторы аг(Х, г) и А(УО г') комм утативны; (ф;(У,, г), А(УО г')) = 0 (в различные моменты времени это уже отнюдь не так!). «Уравнение движения», которому удовлетворяет гейзенберговский уУ-оператор, можно получить по общей формуле (13.7) (см. Ш1: -1 "(*) = Йй(х) — Ях)Й.
(102.3) дг Для гамильтониана шредингеровское и гейзенберговское представления тождественны, причем гамильтониап выражается одинаковым образом через операторы полей в обоих этих представлениях. В данном случае при вычислении правой стороны в (102.3) можно опустить в гамильтониане часть, зависящую только от оператора А(х) (гамильтониан свободного электромагнитного поля), поскольку эта часть коммутативна с у (х). Согласно (21.13) и (43.3) имеем Н = ф*(1, г)(сВр+ Дт)~г(4, г)й х+ + е ф(У„г)(уА(У, г))фУ, г)йвх = уа(1, г)( ур+ т+ е(уА(1, г)))ф(РО г)йах.
(102.4) Вычислив коммутатор (Й, ф(1, г)) с помощью (102.2) и устранив б-функцию интегрированием по й' х, получим в ( ур — е уА — т)у (~, г) = О. (102 5) Как и следовало ожидать, оператор ф(у, г) удовлетворяет уравнению, формально совпадающему с уравнением Дирака. Уравнение же для оператора электромагнитного поля А(гч г) очевидно из соответствия с классическим случаем. В этом случае (болыпие числа заполнения см. 3 5) после усреднения по состоянию поля операторное уравнение должно перейти в классическое уравнение Максвелла для потенциалов (30.2) (см. П). Поэтому ясно, что уравнение для оператора просто совпадает по форме с уравнением Максвелла, т. е. (при произвольной калибровке) имеем д д„А" (х) — д"д А'(х) = — 4яеу' (х), (102.6) где у'(х) = ф(х)у Ях) оператор тока, тождественно удовлетворяющий уравнению непрерывности д,у'(х) = О.
510 ТОЧНЫЕ ПРОПА1'АТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ ГЛ Х1 А" (х) э Ан(х) — дд(х) 1)1(х) — э г)1(х) ехр(геЯ, (102.8) 1р(х) э ехр( — ген)ф(и), где у(л) -- произвольный зрмитов оператор, коммутирующий (в один и тот же момент времени) с ф ') . Установилл теперь связь между операторами в гейзенберговском представлении и в представлении взаимодействия. Для упрощения рассуждений удобно сделать формальное предположение (пе сказывающееся на окончательном результате), что взаимодействие 1г(1) адиабатически «включается» от 1 = — оо к конечным временам.
Тогда при 1 -+ — оо оба представления гейзенберговское и представление взаимодействия просто совпадают. Совпадают и соответствующие волновые функции системы Ф и Ф;„11. Фйв(1= — оо) = Ф. (102.9) С другой стороны, волновая функция в гейзенберговском представлении от времени вообще не зависит (вся временная зависимость перенесена на операторы), а в представлении взаимодействия для зависимости волновой функции от времени имеем, согласно (72.7), Ф1РА1(1) = У(1, — со)Ф;„1,( — оо), (102.10) где введен оператор Г~с Б(1й, 11) = Техр — 1 / Р(й')1й' и (102.11) с очевидными свойствами Ж1 тз)8(бы 1о) = Б(1, 1о), ~ (1, 1з) = Я(1ы 1).
(102.12) Сравнив формулы (102.10) и (102.9), найдем соотношение Ф1иа(1) = Я(1, — оо)Ф, (102.13) ) Подчеркнем, что здесь идет речь именно о гсйзенберговских Гноператорах. В представлении взаимодействия калибровочное преобразование электромагнитных потенциалов вообгце не затрагивает 1г-операторов. Существенно, что уравнения (102.6) линейны по А" и 7", и потому не возникает вопрос о порядке следования втих операторов. Как и аналогичные уравнения для волновых функций, система операторных уравнений (102.6),(102.7) инвариантна относительно калибровочного преобразования ПП 1 газ тОчный ФОтОнный НРОплглтОР устанавливающее связь между волновыми функциями в обоих представлениях.
Соответственно формула преобразования операторов: 7(~, г) = У-'(~, — сх~) фнй(1, г) ~(1, — оо) = = б( — ОО, 1)ф;пс(~, г)У(8, — ОО) (102.14) (то же самое для ф и А). Сделаем в заключение еще одно общее замечание. Мы уже неоднократно указывали, что в релятивистской квантовой теории физический смысл операторов поля весьма ограничен из-за бесконечности нулевых флуктуаций. Это тем более относится к операторам в гейзенберговском представлении, которые фактически содержат в себе еще и расходимости, связанные с взаимодействием. В этой главе 9 102,109 посвящены изложению формальной теории, в которой вопросы устранения этих бесконечностей не обсуждаются и действия со всеми величинами производятся так, как если бы они были конечными.
Получаемые таким образом результаты имеют преимущественно эвристическую ценность; они позволяют более глубоко уяснить смысл разложений теории возмущений; возможно также, что они сохранятся в каком-то виде и в будущей теории, свободной от нынешних затруднений. 9 103. Точный фотонный пропагатор Основную роль в аппарате точной (без разложений по степеням е ) теории играют понятия о точных пропагаторах ') .
Точный фотонный пропагиптор (который мы будем обозначать рукописной латинской буквой Р) определяется формулой 71„,(х — х') = 1(О~ТА„(х)АР(х')~0), (103.1) где Ал(х) †. гейзенберговские операторы, в отличие от определения (76.1): 11ЙР(х — х') = е(О~ТА'„"~(х)АПН(х')~0), (103.2) в котором фигурировали операторы в представлении взаимодействия. В отличие от точного пропагатора (103.1), функцию (103.2) можно назвать пропигитором свободных фотонов.
Ввиду невозможности точного вычисления среднего значения (103.1) нельзя получить точное аналитическое выражение для с „, хотя определение (103.1) и позволяет установить некоторые ) Эти понятия были введены Дайсоном (г. Пувоп, 1949); им же в основном построен весь излагаемый в этой главе аппарат. 512 ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ Гл Х1 общие свойства этой функции. Этому будет посвящен ~ 111, а пока мы займемся вычислением Р„, по теории возмущений с помощью диаграммной техники. Для этого надо выразить ь'„Р через операторы в представлении взаимодействия.
Пусть сначала 8 ) 1'. Используя связь между А(т) и Аип(л) (ср. (102.14)), пишем е РР(т — х') = г(О~АИ(х)А„(х')~0) = ( о ~ и ) 4 1 и $ ( ге ) ~ ( 1 с ~ ~ ) ~ ( ~ ~ 1 / ) А 1 и ~ ( и ~ ) Я ( и ~ с ~ ~ ) ~ О ) Согласно (102.12) заменяем Я(~, — ос)Я( — со, 1') = о(1, 1') У( — со, 1) = У( — оо, +со)У(со, ~). Тогда 'е и, (л — .т, ) = (0~~ — (~( «) ~~ВФ( )~(1 л) ~~пФ( ~)~(п )~0) (103 3) где для краткости обозначено У = Я(+со, — со). (103.4) Поскольку по определению (102.11) У(1Е, 11) содержит только операторы в моменты времени между 11 и 1е, расположенные в хронологическом порядке, то очевидно, что вообще все операторные множители в квадратных скобках в (103.3) расположены в порядке убывания времен слева направо. Поставив перед скобкой символ хронологизации Т, мы можем затем произвольно переставлять порядок множителей, так как оператор Т автоматически устанавливает их в нужном порядке.
Воспользовавшись этим, перепишем выражение в скобках в виде (... ) = Т(А'и'(х)А',,"'(х')Б(сс, 1)Я(1, 1')У(1', — ж)) = Т[Д~В1(л)А1п1(т!)Я) Таким образом, е „(л — х') =1(О~Я ~Т(АНП(х)АИП(т')500). (103.5) Легко убедиться аналогичным образом, что эта формула верна и при 1 ( г'. Покажем теперь, что множитель У 1 можно вынести из-под знака усреднения по вакууму в виде некоторого фазового множителя. Для этого вспомним, что гейзенберговская волновая функция вакуума Ф совпадает со значением Ф;и,( — со) волновой функции этого жс состояния в представлении взаимодействия (см. (103.9)).
Согласно же (72.8) имеем ОФПВ( ОО) = Я(+СО СС)ФНП( Ос) — Фпа(+Со). 513 1шз ТОЧНЫЙ ФОТОННЫЙ ПРОПЛГЛТОР Но вакуум представляет собой строго стационарное состояяие: в нем невозможны никакие самопроизвольные процессы рождения частиц. Другими словами, с течением времени вакуум остается вакуумом; это означает, что Фвн(+ос) может отличаться от Ф;ы( — Оо) лишь некоторым фазовым множителем е'". Поэтому УФ;„,( — оо) = е' Фвн( — со) = (0~3~0)Фы( — со). (103.6) Произведя комплексное сопряжение и учтя унитарность оператора У, получим Ф1П«(-~)~ ' = 10~~~0) 'Ф1ПФ(-~~~).
Отсюда ясно, что выражение (103.5) может быть переписано в виде г) . (0)ТА,',"'0«)А™(х')5)0) ~103 7) (О/Я/0) Подставив сюда (в числитель и знаменатель) разложение (72.10) для У и произведя усреднение с помощью теоремы Вика (см. 3 77), мы полУчим Разложение Рвм по степенЯм е2. В числителе (103.7) усредняемыс выражения отличаются ог матричных элементов типа (77.1)., рассматривавшегося в 3 77., лишь тем, что вместо «внешних» операторов рождения или уничтожения фотонов в них стоят операторы А'„"'(т) и А',"'(х'). Поскольку все множители в усредняемых произведениях, стоят под знаком хронологизацин, попарные свертки этих операторов с «внутренними» операторами Апн(т1), А'ш(»а), ... будут давать фотонные пропагаторы .0„,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
