IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Таким образом, мягкие фотоны испускаются независимо. Сечение процесса с испусканием н мягких фотонов может быть представлено в виде сссс = с(сстлрс(т! ... с(и1„, (98.14) где с(сл!! с(ю2, ... вероятности отдельного испускания фотонов с(кс, сйз, ... При интегрировании этой формулы по конечному интервалу значений переменных (частот и направлений), одинаковому для всех квантов, должен быть введен множитель 1Сн!, учитывающий тождественность фотонов. Если проинтегрировать сечение излучения (98.1) по частотам в некотором конечном интервале от сл! до и!2, то мы получим выражение вида сЬ ст 1п ='с(!Тх„р (98.15) 111 (ср.
(98.8)). При этом подразумевается, что обе частоты мягкие, так что возможные значения сл2 ограничены условием применимости метода. С логарифмической точностью, однако, можно положить В!2 е, где е — начальная энергия излучающей частицы. Значения же и!~ вообще ничем не ограничены снизу. Но устремив щ! к нулю, мы увидим, что сечение излучения всех возможных мягких квантов обращается в бесконечность. Выясним смысл этой ситуации — так называемой инфракрасной клтастрофьс (К В1ос)с, А. 717огсЬсесИ, 1937). При сс1п е >1 (98.16) М1 будет с(сс > с(стт„р. Но это означает неприменимость теории возмущений - невозможность вычислять с(!т как величину более высокого порядка малости, чем с(ст „р. Другими словами, параметром 1 ав излучение мяГких ФО'ГОнОВ НРН ОТОлкнОВвниях 487 малости должно считаться в данном случае пе О, а произведение 1.И,"): Таким образом, вывод формул (98.5),(98.6) на основе теории возмущений оказывается неверным при достаточно малых частотах.
С другой стороны, классическая формула для интенсивности Ы (см. П, (69.4)) применима в тем большей степени, чем меньше ы. Поэтому формула (98.Ц останется правильной, если несколько видоизменить ее смысл в сторону болыпей классичност1ь Именно, в (98.1) подразумевалось, что излучается один фотон; тогда теряемая частицей на излучение энергия совпадает с ы и «сечение относительной потери энергии» дается выражением ый»,1е, или ЙГ„Н„ (98.17) В действительности же при достаточно малых ы вероятность излучения не мала, а вероятность излучения двух и более фотонов не меныпе1 а больше вероятности излучения одного фотона. В этих условиях выражение (98.17) останется справедливым, но классическая интенсивность 111 будет определять не вероятность излучения одного фотона, а среднее число излученных фотонов ГН = —, (98.18) или в конечном интервале частот (98.19) Поскольку мягкие фотоны излучаются статистически независимо (это справедливо во всех приближениях теории возму1цений), к процессу множественного излучения можно применить формулу Пуассояа: вероятность н1(п) излучения и, фотонов выражается через среднее число »1 формулой ш(п) = — ехр1 — и).
(98.20) Представим сечение процесса рассеяния с излучением фотонов в виде Г1п — ЙГ р ' ш(п) (98.21) Поскольку 2,'н1(»1) = 1, то Йт яр представляет собой полное сечение рассеяния, сопровождаемого любым мягким излучением. Это обстоятельство, очевидно из классического рассмотрения; по теории же возмущений Йт „р есть сечение чисто упругого рассеяния. Но теория возмущений здесь неприменима. Получается так, 488 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ Гл х что т)тт „р, вычисленное по теории возмущений как сечение упругого рассеяния, в действительности учитывает излучение любых мягких фотонов.
Что же касается сечения чисто упругого рассеяния, то оно в действительности равно нулю; при ьтг -+ 0 среднее чисто и — + ОО, и согласно (98.20) обращается в пуль вероятность излучения любого конечного числа фотонов ') . Задачи 1. Найти спектральное распределение тормозного излучения мягких фотонов при рассеянии ультрарелятивистского электрона на ядре. Р е ш е н и е.
Интегрирование формулы (98.8) по т)ок дает тл = ар(б) — 'сЬт„р, % где Р(() = — ~ 1тт(( -~- Я'" + 1) — 11, б = — зш — (2) .т у /бр+ 1 т 2 (р. — импульс, В-- угол рассеяния электрона). В ультрарелятивистском случае основную роль играет область углов « ⠫— (3) г е (нижняя граница — условие (98.10), о верхней границе см.
ниже). При этом б = ер/(2т) « 1, так что Р(Я) (8ДзхЯ, а сечение упругого рассеяния электрона на ядре (см. (80.10)) эти по э тл „РВ47 т,— (4) Интеграл 16 т злы /' 40 па = — Я от,— ут 3 ' l В логарифмически расходится; он обрезается снизу на углах 0 тп рт)е', а сверху — при ( 1, т. е. на углах д тп/е (ттрн ( -э со 4 г" — 1и б, так что интеграл сходится). Таким образом, с логарифмической точностью находим 16 т тпьт е с6т = — Я Ог,— !и— (5) 3 ю пи~ — в согласии с логарифмической частью формулы (93.17) (в которой надо положить Е Е ).
Достичь нелогарифмической точности можно, лишь выйдя за пределы квазиклассической области. ') Мы вернемся ВВце к обсуждению этой ситуации в 3 130 в связи с изучением радиационных поправок. ') Приведенные ниже применения формулы (98.7) принадлежат В. Н. Байеру и В. М. ГплттикомтуЯ364). з 99 МСТ'ОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТ'ОНОВ 2.
Для столкновения двух ультрарелятивистских электронов определить (в системе центра инерции) сечение одновременного испускания двух мягких фотонов в противоположных направлениях под малыми углами к импульсам электронов. Р е щ е н и е. Фотоны, летящие в противоположных направлениях, испускаются различными электронами, каждым В направлении своего движения. Сечение одновременного излучения Жт = 7(о р ОРЯ ОР(б), б = — гйп —, (б) Ыг щг ш 2' где е — энергия каждого из электронов,  — угол рассеяния в системе центра инерции, одинаковый для обоих электронов (поскольку фотоны испускаются заведомо в различных направлониях, вводить в сочение множитель г,бг не надо).
Сечение упругого рассеяния электронов на малые углы в системе центра инерции в ультрарелятивистском случае совпадает с (4) (ср, (81.11)). В отличие от (1) сечение (6) ведет себя при В э 0 как ВВВ, так что интеграл сходится.
С одной стороны, это обстоятельство позволяет проводить интегрирование ло В = 0 (не заботясь о возможном нвруглении условия примонимости метода). С другой стороны, основной вклад в интегральное сечение дает теперь область В глгге (а не В « ш/е), так что надо пользоваться точным выражением (2). Результат интегрирования сечения по углам рассеяния: 2 Г 7 ° .1 г гй~гг Йыг г гВыг 4~ге - функция Римана; Х(3) = 1, 202). й 99. Метод эквивалентных фотонов Сравним два процесса, описываемых диаграммами: (99.1) кружки изображают условно всю внутреннюю часть диаграммы).
Диаграмма а) изображает столкновение фотона й(к2 = О) с некоторой частицей с 4-импульсом д (и массой ггц 02 = тв). В результате столкновения образуется система (частица или группа частиц) с общим 4-импульсом (Ч. Диаграмма б) изображает столкновение той же частицы д с другой частицей, 4-импульс которой р, а масса М (р2 = М2).
В результате столкновения эта последняя частица приобретает 4-импульс р' и образуется та же система О. Второй процесс можно рассматривать как столкновение частицы д с испущенным частицей р виртуальным фотоном, импульс которого й = р — р' (ь2 < О). Если при этом ~1~2 мачо, 490 взаимОдействие электРОнОВ О ФОФОнами ГЛ Х то виртуальный фотон мало отличается от реального. Очевидно, что с такой ситуацией можно встретиться при столкновениях очень быстрых частиц: электромагнитное поле заряженной частицы, движущейся со скоростью и — 1, почти поперечно и потому близко по своим свойствам к полю световой волны. В этих условиях сечение процесса б) можно выразить через сечение процесса а) ') . Итак, будем считать частицу М ультрарелятивистской: ее энергия (в системе покоя частицы т) е >) М.
Если массы сталкивающихся частиц и! и М различны, то для определенности будем считать, что т < М. Амплитуду процесса а) (с участием реального фотона) можно представить в виде М~~!) — — — схУ4л(е1„3И), (99.2) где еи -.4-вектор поляризации фотона, а,У" -ток перехода, отвечающий вершине (кружок) диаграммы. Амплитуда же процесса б) Му! = Яе —,ЦРУ'), (99.3) где 1 .-- ток перехода частицы т (нижняя вершина диаграммы); Уе заряд этой частицы. Ток г функция от к = Я вЂ” !) и потому в этих случаях различен: к2 = О в (99.2) и к2 ф- О в (99.3).
Но если во втором случае (й ) « тй! (99.4) то и здесь можно взять л при кх = О. Изменение импульса частицы М при испускании виртуального фотона, р — р' = гс! Мало по сравнению с ее первоначвльяым импульсом ~р~ — е; поэтому в токе перехода э можно положить р = р . Другими словами, рассматриваем движение частицы М как прямолинейное и равномерное. Поскольку такое движение квазиклассично, соответствующий ток не зависит от спина частицы '); (99.5) ур — — 2р".
') Излагаем!!й ниже метод был разработан Вейцзеккером и Вильямсом !К. Ъргяэмйсйт, Е. э'. РУ!1Ьатж 1934); основная идея этого метода была е!це раньше высказана Ферми (Е. Ветшав', 1924). ~) При нормировке волновых функций на одну частицу в единичном объеме ток уя = (1, я), где х — скорость. По мы условились (см. Э б) опускать в волновых функциях нормировочный множитель 1/ъ'2е. Соответствегшо этому в уе надо ввести дополнительный множитель 2е, и мы приходим к выражению (99.5).
491 1 оо МЕТ'ОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТОНОВ Условие поперечпости тока Ок = О) дает теперь еео — р, А = О, где ось х выбрана в направлении р. Отсюда ЕО = НКФ, (99.6) Л ЛАБОТА *о= — + В Поэтому для скалярного произведения ЛЛ получим ЛЛ = 2(Лов — ЛФРФ) = 2 — (ЛА1ст + — 1х) (99 8) ЕВ Произведение же Ле в (99.2) раскроем, выбрав 4-вектор поляризации реального фотона в трехмерно поперечной калибровке: ек = — е1с = О, откуда е . — — ет1ст/ео.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
