IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 89
Текст из файла (страница 89)
В этом смысле формула (96.22), выведенная для области П, автоматически справедлива при всех 9 ~ пи Когда д < т-'22е и поправочный множиГель в (96.22) отличен от единицы,. векторы р, р', 1с почти компланарны и величины б и б' почти равны друг другу; это уже было учтено в (96.22).
Таким образом, Г7 в выражении (96.20) для г может быть переписано как — = 4Й + д' — 255' сое~р + (1 + д~)~, (96.23) ГП 4 2.~2 т. е. можно положить д = д' во втором члене в (93.14), по не в первом члене, который не содержит малого коэффициента ( тй7ея) Для нахождения интегрального (по утлам) сечения излучения нет необходимости производить интегрирование заново, как это ясно из следующих рассуждений (Н. 01эеп, 1955). Различные направления р (при заданной энергии е') отвечают вырождениГО конечного состояния электрона. Очевидно, что результат суммирования по состояниям, относящимся к одному вырожденному уровню, не зависит от того, каким образом будет выбран полный набор этих состояний.
Мы можем поэтому воспользоваться для целей суммирования по направлениям р' системой функций ф..~. вместо системы ф..~. (необходимой для вычисления дифференциального сечения), т. е. определить матричный элемент тормозного излучения как 2Фтогя М Р)22 22 — 2КГ.Г( Р) 23 Легко убедиться, что этот интеграл совпадает с интегралом (М~,. )*, е<ли в последнем заменить параметры волновых функций согласно ! I / Рэ,р~-,е-ь — + — р,.— р,— е; р,р,е — «р,р,е; 1с — э — 1с (а также заменить переменные интегрирования: г — à — г).
Отсюда ясно, что интегральное (по углам) сечение тормозного излучения можно получить из интегрального сечения образования пары (95.20), умножив последнее на 2 4 2 ЯР ЕР (ср. (91.6)) и заменив е Ф -э — е, е — э е'. Таким образом, найдем Г1ГГ = 4_#_~Гтг~ — ~ — + — — — ~ ~1п — — — 7'(ГГУ)1 —. (96.24) е е е' 3 пгя 2 ц' ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА ЭЛЕКТРОНЕ 477 1 97 Мы видим, что поправки к борновским формулам для интегральных сечений тормозного излучения и образования пары даются одной и той же функцией 7(ЕЕЯ).
Формула (96.24), не связанная с какими-либо ограничениями на величину Уст, допускает переход к классическому пределу й — > О, Ябт — > оо. В этом пределе надо также г)оложить е — е . Имея в виду асимптотическое выражение ге(е) 1>ге при !е~ — > — > оо и значение )р(1) = — С (С постоянная Эйлера)., находим для эффективного торможения йбдйт = "" ~1п ', — — — С~сйд.
(96.25) Зс ~ н)с«7Яеа 2 Это выражение, не содержагцсе гб, есть классическое спектральное распределение интенсивности тормозного излучения. й 97. Тормозное излучение электрона на электроне в ультрарелятивистском случае Тормозное излучение электрона па электроне изображается восемью диаграммами Фейнмана: четырьмя диаграммами 4й 1 4»й ! (97.1а) ! Рб Р> 1 ~ )97.1б) 1 Р !9 'Е !б 1 и четырьмя «обменными» диаграммами, получающимися из изобра>кенных перестановкой р> и р)2.
Мы )триведем здесь результаты вычислений для ультрарелятивистского случая (С. АИаге11«', Г. Виссейа, 1964; В. Н. Байер, В. С. Фадин, В. А. Хозе, 1966) ') . В лабораторной системе отсчета (система покоя одного из начальных электронов, скажем, второго) интегральное по направлениям фотона сечение излучения может быть представ.лено в виде суммы «1п = «17711) + сЬ! ), )де Е 1Š— 11 Е 39 1 га»7 2/ ') Соответствующие вычисления можно найти в указанной нв с. 454 книге Байера, Кантова и Фадина. 478 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х 3 мг С( аг 4агг) т аг 8ал 3 2 197.3) с1стс г = -стг, — (8(1 — — + — ) 1п — — (1 — — ) 1п(1 — — ) х х [ г + зт 2+ 4 ] 2ы 4агг) < т т тг! 2 197.4) гпг 3си 2мг м Е + Пг = Вгтах + 2Е ~ ~Р~ = Мпах + 2~Р ~ ° 1е-- начальная энергия первого электрона).
Точность этих формул до членов относительного порядка гпце. С этой точностью оказывается, что вклады в сечение от различных диаграмм не интерферируют друг с другом, и в этом смысле с4ссс г и сгстс ~ отвечают излучению каждым из двух электронов — -соответственно быстрым электроном и электроном отдачи (диаграммы 197.1а) и 197.1б)).
Диаграммы обменного типа дают такой же вклад в сечение, как и диаграммы «прямыем В силу тождественности электронов суммарный вклад прямых и обменных диаграмм следует разделить на 2; поэтому можно рассматривать только вклад прямых диаграмм и не учитывать тождественности частиц. Для столкновения же электрона с позитроном вместо обменных фигурируют апнигиляционные диаграммы. Их вклад, однако, оказывается относительного порядка тссе, т. е. пренебрежим.
11оэтому с указанной точностью сечения тормозного излучения при столкновениях электрона с электроном и с позитроном одинаковы. При ш» т отношение сг'сг т < сп сйго ~ т, е, излучение электроном отдачи мало по сравнению с излучением быстрым электроном (когда это отношение достигает порядка пс~е, формула (97.3), разумеется, теряет смысл). 11апротив, при ы « т обе части сечения почти сравниваются: с1ГГВ1 = — ог 2 — 1п —.
с1ст~21 = — стг~ — 1п —, ш << т. 197.5) 3 сВ ты 3 м Для справедливости формул 197.2) — 197.5) необходимо, чтобы хоть один из:электронов после излучения оставался ультрарелятивистским. Другими словами, частота фотона должна быть достаточно далека от жесткой границы спектра, т. е. от максимальной частоты шта„которая может быть излучена.
Конечная энергия электронов будет минимальна, а энергия фотона максимальна, когда оба электрона движутся после излучения в направлении фотона и имеют одинаковые скорости. Тогда из законов сохранения имеем тОРНОзнОК излучение электРОнА нА электРОнь 479 1 эт Исключив отшода е и р, получим (Е + РП Мпах) (~Р~ Мпах) откуда (97.7) ы,„, — ы е — ы>)т Сечение излучения быстрым электроном (97.2) в точности совпадает с сечением излучения электрона на ядре с Я = 1 (формула (93.17)). Это совпадение не случайно, и его причины выясняются из анализа роли отдачи в процессе излучения.
При выводе формулы (93.17) мы пренебрегли отдачей неподвижной частицы (ядра) -. изменили ее постоянным внешним полем. Это сводится к пренебрежению временной компонентой 4-вектора передачи импульса о = р' — р+ Й (энергией отдачи). Покажем, что в ультрарелятивистском случае, такое пренебрежение допустимо при излучении элоктроном не только на ядре, но и на электроне. Напишем д в виде — дз = — (е'+ ы — е)в + (р~~~ + м — р~ ) + (р'г — рт)~, (97.8) где нижние индексы указывают компоненты векторов р' и р (начальный и конечный импульсы электрона), параллельные и перпендикулярные направлению фотона 1с. В ультрарелятивистском случае углы 0 и 0' (между 1с и соответственно р и р') малы: 0 < гп7а, 0~ < т7а . Поэтому Рх х хп р1 Š— — — — ' 2Е 2е (97.9) 2(р) и аналогично для рт., р~р Без учета отдачи имеем е' — р~ зп /е, так что 2 + пз — е = О, разность р + ьз— — д - (Рь — Рь) Рп .
(97.10) Энергия отдачи (на электроне); до = е'+ ы — е с1~/(2т) т. (97.11) Изменением же р' из-за изменения е' можно пренебречь. Поэтому первые два члена в (97.8) дают изменение д при учете 2 Мпах— (97.6) т -'Р Х вЂ” ~Р~ ПРи е » кч имеем ып,а. ж Таким обРазом, фоРмУлы (97.2)-. (97.4) справедливы при условии 480 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМН ГЛ Х отдачи; обозначим его через Ьг12. Используя 197.9), получаем 2 гп р1 7п рз 2И щ схгХ (е +оз е)( — — + + ) гп г' е' г е Сравнив с 197.10), мы увидим, что 2ад2 « ~92~, чем и оправдывается пренебрежение отдачей ') . Тот факт, что быстрая частица излучает в узкий конус 1с углом раствора пз,уе) в направлении своего движения, позволяет получить сечсиие излучения в системе центра инерции путем простого пересчета сечения 197.2) из лабораторной системы е) . В системе центра инерции оба электрона излучают одинаково, каждый в направлении своего движения 1это обстоятельство наглядно обьясияет причину отсутствия интерференции между.
излучениями обеих частиц). Энергия ультрарелятивистского электрона в системе центра инерции связана с его .Энергией е В лабораторной системе соотношением 2Е2 = ше, а частоты й и оз фотона в этих системах . соотношением оз/е = ггХ'Е (эти равенства, легко получить, сравнивая значения инвариаптов 1р1р2) и 1р1й) в обеих системах). Поэтому для сечения излучения каждым из элоктроиов и системе центра инерции находим (Ц 1 (2) 2 го) Š— й ~ Е + Š— 12 2~ (1 4Е~1Š— Х)) 1) Для применимости 197.12) также необходимо, чтобы частота фотона ие была близка к границе спектра. Для ультрарслятивистской частицы указанное выше преобразование прямо дает из шюах = е (97.13) П)п1ах МпахЕЙ Таким образом, в системе центра инерции электроны могут излучить лишь половину своей полной энергии 2Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
