IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 86
Текст из файла (страница 86)
р.) (93.25) ш 1при с » 1 имеем г'1с) 172 1пзс см. 1131.20); оба члена с квадратом логарифма в 193.23) могут быть при этом опущены). Отношение зс„зл7'е называют также сечением потеРи эпеРгии на излучение. При болыпих е оно растет логарифмически. Это возрастание устраняется, однако, при учете экранирования. При полном экрапировании зг„зл/е стремится к постоянному пределу — 4Х2с11 2 1п(17'(стХ '7з) ) При столкновении с атомом некоторое излучение происходит не только на ядре, но и на электронах.
Мы увидим ниже 1см. 3 97), что в ультрарелятивистском случае сечение излучения электрона на электроне отличается от сечения излучения па ядре лишь отсутствием множителя Х2. Поэтому наличие Х атомных электронов можно приближенно учесть зазлсной Х2 на Х17+ 1). При прохождении через среду, содержащую Л1 атомов на единицу объема, быстрый электрон теряет в среднем свою энергию 458 взаимодействие злектРОнОВ О Фот'Оняьн! Гл х иа расстояниях порядка 1рад Ь ГЕЖГ~ 1п 1;. 7793.26) 7"77м „, Ог'7 ~ эту длииу называют радиацио777зог!.
Длина когерептности. Формуле (93.20) можно дать и другое, более общее истолкование: д.ля применимости полученных формул необходимо, чтобы внешнее поле, в котором движется электрон, мало менялось (в направлении движения) на расстояниях (93.27) я я н7зс7 Х с 7п ь7/ эту длину называют длиной 97ормированил излучения или длиной когеренгпнасгаи ') . Зна гение (93.27), полученное в борповском приближении, имеет в действительности (для ультрарелятивистских частиц) совершенно общий характер легко получить его и в противоположном предельном случае квазиклассического движения.
Действительно, из формулы (93.22) ') сразу видно, что для излучения под малыми углами к направлению движения существенны времена е ее т Я! 311 — н) 77! т. е. участок траектории с длиной ст 1ко,. При заданной частоте а7 длина когерентности растет с увеличением энергии электрона.
Между тем формулы, полученные для тормозного излучения па отдельном изолированноал атоме, к!агут быть справедливы для излучения при прохождении через среду лишь при условии, что на длине когерентности ие происходит повторного излучения фотона или рассеяния электрона. Первое означает, что должно быть 1 „,. « 1р„. Но уже значительно раньше нарушается второе условие на пути 1р„д возникает многократное рассеяние электрона иа ядрах атомов среды. Для формулировки количественного условия вернемся к формуле (90.22) до того, как в показателе экспоненты произведено интегрирование по времени, и запишем его в виде 7! з-т 7! -!-т — 1 — 1 (1 — и 7)сК вЂ” — — (1 — и)т+ — О~А, (93.28) е,1 2 / 7, 7, ') Излагаемые соображения принадлежат М. Л.
Тер-М77казллн79 (1953). ) Вывод формулы (90.22) основан только на малости кривизны траектории и в этом смысле не связан с тем, что в 1 90 рассматривалось конкретно магнитное поле. ОВРАЗОВАНИВ ПАР ФОТОНОМ В ПОЛЬ ЯДРА О > 1рад (93.29) >УЯ>е« 1~(11(ОЯ н')) Второй член в (93.28), набегающий за время т I „„оценивается теперь как — 2 е 1 у О1РАА Для применимости формул тормозного излучения, полученных без учета многократного рассеяния, этот член должен быть мал по сравнению с единицой.
Отсюда находим условие 1ког « >х1рад> (93.30) более сильное, чем условие 1,о, « 1рад (Л. Д. Ландау, О. Я. По- мера нч ух, 1953) . 8 94. Образование пар фотоном в поле ядра Образование электрон-позитронной пары при столкновении фотона с ядром (Я + у — + Я + е + е ) и тормозное излучение ') Напомним, что длина пробега определяется >ранспортным сечением и Р— — 1 (1 — сову)дп(Х). Для рассеяния улырарелятивистских электронов на кулоновом центре сечение сЬ(Х) дается формулой (80.10).
где 0 - малый угол между и и и, связанный с рассеянием на ядрах. При кулоновом рассеянии угол 0 меняется малыми «порциямиэ, так что изменение 0 со временеь> имеет характер медленной «диффузии по угламв. Средний квадрат отклонения электрона на пути 1 — 1> (= с(1 — 11)) 0' - (1 — 11)/1„., где 1, л — длина свободного пробега по отношению к кулоновым столкновениям.
Для этого пробега имеем 1 >1>Я е 1п где )г>в;в и )сп>ах — минимальный и максимальный углы рассеяния в одном столкновении, для которых рассеяние можно еще считать резерфордовским (ср. Х, 8 41) ') . Первый из них определяется атомными размерами а, на которых поле ядра экранируется; типо 1>>(ра). Большие же утлы рассеяния ограничены (для ультрарелятивистского электрона) расстояниями порядка радиуса ядра Л > т а -1/(рВ). Если положить Л-1>5 10 >зЯ»эсм г«ул'> то получим 460 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОИОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х д~ = ' " Ртр вшОФГ10тв1~0 410 охр х 22г 24зо4 г 2 2 х ( — 4; (4е — 9 ) вш 04 + — ", (4е — 9 ) вш 0 — (Р2 вш 04 +р 2 в1п~О )— мз зс 2РФР— — (2Е~ + 2Е2 — 92) вшО в1ИО совЭ2), (94.1) зге ЗС— 9 =(рэ+р — 1)', „+, 2 2 зг~ = е~ — гьь ссзв Оь, (Н.
А. Везгзе, И'. НезНегз 1934). Таким же преобразованием получим из (93.9) распределение компонент пары по энергиям: 2 41сг,т = к' гтг,—,деФ ( — — — 2ЕФЕ 2, + 2,2 Ртр — 1 4 Рт "Р— з 2Г ет е 1~Л +2П (4 — +1Т вЂ” — — + Р— Ре Ртр— , з з +~1 +,, з (ЕФŠ— +Рэ-Р- — пт еэе-)— вез е — ы 2 2 2 2 2 ЗВ т ы (1 ете — Рт+1 те- — Р— )~~ +ртр +тз,, еь+ря ете — р„р 4- пз' ея — Ря (94.2) Поскольку полученные формулы основаны на борновском приближении, они справедливы при условиях Яе 44ВФ « 1.
Отме- 2 тим, что симметричность формул (94.1),(94.2) по отношению к электрону и позитрону является следствием именно борновского приближения; она исчезла бы в более высоких приближениях. ') О поляризационных эффектах в образовании пар фотоном см. ту же литературу, которая была указана в 8 93 для тормозного излучения. при столкновении электрона с ядром (Я+ е — + Я+ с+ у) - два перекрестных канала одной и той же реакции. В 8 91 были уже сформулированы правила, по которым преобразуются формулы при переходе от второго из этих случаев к первому.
В данном случае, применив эти правила к формуле (93.8), получим следующее выражение для дифференциального сечения образования пары неполяризованным фотоном, усредненное по поляризациям компонент пары '); 461 1 94 ОВРАЗОВАННЕ ПАР ФОТОНОМ В ПОЛЬ ЯДРА 4 йг = — 7 СТГ, 'Р С)ЕР Х С .44 х 6~ 11 + 6~ )1 11 + (='+ =е-) + 61)! 2е~е 11+ 6! И1 4- 61) 1д~д 41д~41д 41ео, 11 + 64 И1 + 6' ) 3 194.3) причем — = 62 + 62 — 26 6 сов!р+ т2 (1+ 6Р + 1+ . (94.4) т 1 2е, 2е Распределение по энергиям в этом случае: 414г — 4~2стгзьет (е~~ + е2 + 2е е ) ()п 2е+е 1) )у р ) 194.5) ИнтегРиРование этого выРажениЯ по ет 1в пРеделах от т до о!) дает полное сечение образования пар фотоном заданной энергии '): О = — х ог„, ~1п — — — ), 26 2 2 !' 2ь4 1091 9 " ео 42 а!» гп.
194.6) Как и для тормозного излучения, логарифмический член в сечении в ультрарелятивистском случае происходит от области значений д и! /е. Этому соответствуют теперь углы, для ко- торых т ~ ~ ( т е е (вместо !р < пт/е в 193.15)). Таким образом, в логарифмическом приближении направления электрона и позитрона образуют обратно пропорциональные энергиям частиц малые углы с направлением фотона и лежат почти в одной плоскости с последним, но по разные стороны от него.
Вблизи порога реакции 1о! — 4 2т) борновское приближение неприменимо. Вывод количественной формулы в этом случае требовал бы точного учета кулонова взаимодействия трех заряженных частиц, имеющихся в конечном состоянии 1ядро и пара). Симметрия по отношению к электрону 1притягивающемуся ') Ввиду сходимости интеграла у обоих пределов неприменимость формулы !94.5) при малых ев — т несун!ественна.
В ультрарелятивистском случае (ет » п4) электрон и позитрон вылетают под углами ОА. т/е~ к направлению падающего отона. Угловос распределение дается формулой, аналогичной 93.13): 462 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х к ядру) и к позитрону (отталкигающемуся от ядра) при этом, конечно, исчезает. Если у «ы — 2™«1 (94.7) Ф 2,2 йГ = ' Р "Р (ра э)п 0Ф+р2 ейп д )Г1ОФГ1о Г1Е . (94.8) 642Г2 тВ После интегрирования по углам 2 2 ,1 2 У2 2РФР— (Р+Р— ) 1 6 ГВВ 2 2 ' (В2 — 2т) ЗВ22 ВИФ.
(94.9) Наконец, интегрируя по еФ (в пределах от т до В2 — т), полу.чаем полное сечение (94. 10) Если относительная скорость но компонент рождающейся пары мала, то необходимо учесть их кулоново взаимодействие друг с другом (А. Д. Сахаров, 1948). Опо становится существенным, когДа но поРЯДка (или меньше) скоРости частиЦы в свЯзанном состоянии электрона и позитрона (позитроний): (94.11) Рассмотрим процесс в системе центра инерции пары. На диаграммах, изображающих процесс в этой системе, существенны виртуальные импульсы т.
Другими словами, существенны расстояния между электроном и позитроном 1/т. Между тем волновая функция их относительного движения 2)2(г) существенно меняется лишь на расстояниях 2 1/(т226) Ц(гпсг), т. е. больших по сравнению с 1/т. Поэтому учет взаимодействия частиц сведется к появлению в матричном элементе перехода множителя 2Р*(0). Соответственно дифференциальное сечение умножится на ~2)2*(0) ~~, т. е. на 2ВО/ВВ (94.12) 1  — 2 ~!"2 то борновское приближение еще применимо. При нерелятивистских энергиях пары а2 2т» рФ, поэтому 9 В2. В (94.1) можно положить везде еФ = 2ГФ = т, а2 = 2т, после че~ о эта формула сводится к выражению 5 Эа теОРия РО5кдеии5! НАР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
