IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 81
Текст из файла (страница 81)
430 ВзхимодеЙстВНВ злектРОнОВ О Фотонхми ГЛ Х и иГГтеграл ГН ет,м Жа,/ХЕ' (90.23) (90.24) (А. И. Никишов, В. И. Ритце, 1967). Максимум в частотном распределении лежит при х 1; при т « 1 отсюда следует (90.1), а при т » 1 — (90.4). В классическом предельном случае имеем В бш « е, так что е' е, х (Ги/ГВВ) ~7(т/е); второй член в круглых скобках маи и (90.23) переходит в классическую формулу (74.13) (см. П). На рис. 15 изображены графики спектрального распределения при различных значениях т. Отложена величина 1 Н Щ„Е'(Ю/и,) как функция отношения Ги/ш„где ех 1 2е~ГГРх' 2е~н е' 2! -Р Х За ЗГИ При подстановке этого выражения в (90.22) мы получим два члена, показатели экспонент которых имеют разный порядок величины.
Показатель экспоненты второго члена оказывается гораздо большим, поскольку содержит множитель 1+ о 2 и вместо малого множителя 1 — и — тз,1(2ез) в первом члене. Сместив контур интегрирования по т в нижнюю полуплоскость комплексного переменного т, можно сделать второй член малым и пренебречь им. После этого можно снова совместить контур интегрирования с вещественной осью. Из вывода видно.
однако, что имеющийся теперь полюс в подынтегральном выражении при т = 0 должен обходиться снизу. Таким образом, причем контур интегрирования выбирается указанным выше способом. Используя интегральное представление функции Эйри Ф (см. 1П, 3 Ь), нетрудно показать, что первьпл член сводится к интегралу от функции Эйри, а второй к производной от нес. Окончательно находим 431 1оо МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛЕЧЕНИЕ Величина 7, есть классическая полная интенсивность излучения (ср. П, (74.2)). ол 17! о,з о,б О,б 0,2 од О,1 0,2 Об 10 1б ЗХ Рвс. 16 0 05 1 !б 2 20 Рис. 16 На рис.
16 изображен график функции 7(Х)(1ю,. При Х « 1 в интеграле существенна область т 1. Разлагая подынтегральное выражение по Х и интегрируя это разложение с помощью формулы ), г1О ь = - ' зР'-2 Аг (1 -г г) г (-" г -'), о полу чаем 1 =1ел 1 — Х+ 4ОХ 16 (90.26) При Х )> 1 в интеграле существенна область, в которой зг Хл'" 1, т. е. 02 « 1. В первом приближении можно поэтому заменить Ф'(т) на Ф'(О) = — 3НЧ'(2/3),1(2хггл), после чего интегрирование дает 32Г(2)3)ггго (ЗХ)лв = 0,37 — '"" ( НЕ ~ нб (90 27) 24362 6з 1 Нот I Магнитотормозное излучение приводит к возникновению поляризации движущихся электронов (А.
А. Соколов, И. М. Терновг Для вычисления полной интенсивности излучения выражение (90.23) надо проинтегрировать по ы от 0 до б. Перейдем к интегрированию по т, заметив, .что йго=е 1— а следовательно, л меняется от 0 до ОО. Произведя в первом члене в (90.23) дважды интегрирование по частям, получим 2Агглбз 1 (1+ Хх "~)4 О 432 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х 1963). Для рассмотрения этого вопроса надо найти вероятность радиационного перехода с обращением направления спина. Положив в (90.21) 1„= — 1,1 = 1„]1,] = 1, получим ЙЗРЗ1 = (ВГВг) — (е*В1)(еВЙ)— — (е*(В11,]) (е[В21,]) — 1(1,е') (е(ВГВг]).
Суммирование по поляризациям фотона дает после простых пре- образований ~ ЛгЛ1 = (В1Вг)(1 — (ьп) ) + (ьп)(пВ1)(ьВг) + е + (1, п) (пВг) (1,В1) — 1(~ — п(п1,) ) (ВГВг]. (90.28) Будем предполагать, что зт « 1, и будем искать лищь глав- иыи член разложения вероятности по степеням 6. Поскольку вы- ражение (90.28) (с В из (90.20)) уже содержит 62, то все остаю- щиеся (в том числе в показателе экспоненты в (90.18)) величины е можно заменить на е. Разложив и Г т.
т1 В1 = — ~п — »+ -»+» — ), ге 2 Ю / т. т1 Вг = — (п — » — — »+» — ), ге 2 е т Г2 — Г1 = т»+ — » 24 и подставив (90.28) в (90.21) и затем в (90.10)., найдем диффе- ренциальную вероятность перехода в единицу времени (Г1ю = = 111)6ГО). Она интегрируется с помощью формулы где в данном случае д,г г 21те т 41 ХО= Т, Х=Гг — Г1, х' =ХΠ— х =т — + 12 ) Вычисление приводит к результату (-)' . Х (1 + Зз,112)з — О10,, Х х [ — — — + ( — + — )(1,») — — '(1,(»»])1, О Йе Ю= —— т ГВЕ где сделана замена: е = тьзое)т, а контур интегрирования по е проходит ниже вещественной оси и замыкается в нижней полуплоскости.
Выполнив это последнее интегрирование, получим 433 1 91 ОБРАЗОВАНИЕ ПАР ФОТОНОМ В МАГНИТНОМ ПОЛК окончательно полную вероятность радиационного перехода с обращением спина; —.) — ) бъ'За 6~ /е15 з 1 2 2 8ъ'3 е 190.30) 16 ш'1 т) 11 9 ~ 15 ~е~ где (, = (и, (А = (Н/О. Эта формула пригодна как для электронов 1е ( О), так и для позитронов 1е ) О).
Вероятность 190.30) не зависит от знака продольной поляризации (~, но зависит от знака (А. Поэтому и возникающая в результате излучения поляризация поперечна ') . Для электронов вероятность перехода из состояния со спином е1по полю» ((А = 1) в состояние со спином епротив поляа болыпе вероятности обратного перехода. Поэтому радиационная поляризация электронов направлена против поля, а ее степень в стационарном состоянии равна (при (~ = О) 1(~ = — ) — Г(з = ) 8А'З 0 92 ш1(1 = — Ц+ш1(а = Ц 15 Позитроны поляризуются 1с такой же степенью) в направлении по полю.
8 91. Образование пар фотоном в магнитном поле Образование электрон-позитронной пары фотоном в магнитном поле и магнитотормозное излучение два перекрестных канала одной и той же реакции. Поэтому амплитуда Му1 процесса образования пары получается из амплитуды тормозного излучения просто путем:замены Го, 1с -+ — Го, — 1с 51р+ — ет,— рФ, е,р -+ — е,— р 191.1) 1здесь с, р и еа, рт --энергии и импульсы электрона и позитрона в паре: с, р и е', р' — начальные и конечные энергии и импульсы электрона при тормозном излучении). В терминах утлов и абсолютных значений преобразование импульсов есть )р) — + (р„)1 )р') — 1 )р.
), 0 — 1 тг — 0Ф, 0' — + О, 91 — 1 91 — 11, (91.2) где 0А. -- утлы между рА и 1с, 9з — угол между плоскостями 1с, рА и 1с, р . В случае тормозного излучения сечение процесса выра- ) Это обстоятельство, впрочем, ясно заранее: аксиальный вектор возникающей поляризации может бьггь направлен лишь вдоль единственного с)1игурирующего в задаче аксиального вектора Н.
434 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ Гл х жается через амп.литуду формулой ') г1а 'пвк йт = '~М~,~~ о(е — е' — ю) (91.3) 8(р)е'и (2к) в (см. (64.25)); д-функция устраняется интегрированием по е'. Помня, что в данном случае р' и )с независимые гтеременные, и замечая, что сг р = ~р ~е сге с1О, 1'~ = ~2 )~ 1о„, надо просто заменить 8(е — е' — ц) )зр'<~з~ -э ыг~р'~е' )ой )о' 1ы Тогда Йо = ~Му,~ — -- - г1окс)о'Йпь 8(2я)в)р) В случае же образования пары фотоном сечение выражается через амплитуду. согласно ЕЬ = ~МТ,~ ог(сс — еФ вЂ” е ) 8ме е+ (2я)в или, после исключения д-функции; ЕЬ = )Му,)Й~РР~~Р )с)о с)о с)е 8(2я)вы (91.5) Сравнив с (91.4), мы увидим, что для получения сечения обра- зования пары из сечения тормозного излучения надо произвести в последнем замену (91.1), умножить его на ы3 паl (91.6) ') В этом параграфе снова полагаем не только с = 1, но н б = 1.
е) Точнее, должно быть ы в1В д » ьк где д.— угол между 1с и Н: при д = О пары вообще не рождаются. Ниже налагаем д = я/2. и заменить до'дон на Мотало В ультрарелятивистском случае (сс» т) ') это можно сделать в формулах, полученных в предыдущем параграфе. При этом предполагается, что обе частицы пары являются ультрарелятивистскими; легко проследить, что в таком случае остаются справедливыми все использованные в 8 90 приближения. В частности, вероятность рождения пары неполяризованным фотоном, просу.ммированпую по проекциям спина алектрона и позитрона и проинтегрированную по направлениям вылета электрона, получим, произведя замену (91.Ц в формуле (90.22) (точ- 435 1 91 ОВРАЗОВАНИЬ ПАР ФОТОНОМ В МАГНН'ГНОМ ПОЛК нее.-.
в выражении для Й1)В2), при этом 11зй = а22йл1о„заменяется на 11 р4. з 4х2 х ! ~ еее 422 е~~(2 — е" (1 — ~АР+ — ~~2 )~д~, (91.7) где В! Р— — ~е~Н!!ВФ, и — единичный вектор в направлении импульса фотона, лежащего в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Интегрирование производится так же, как это было сделано в 2 90, причем (поскольку выражение 191.7) зависит только от угла между и и ААР) безразлично — . интегрировать по !1о или по до„.
Поэтому ответ можно получить непосредственно по аналогии с 190.23)! т е !4ех lх м2 где теперь ( В 2/3 тем ~е~Н22 Г Л~(е(НА!) )е)Не~.е те 1 т2е" 191.9) Полная вероятность рождения пары в еднниду времени получается интегрированием 191.8) по еь 1при 1ем! ввиду очевидной симметрии по отношению к е4 н е = В2 — ВТ, достаточно интегрировать от 0 до В2/2 и затем удвоить результат).
Производя замену переменной интегрирования е+ на х и интегрируя первый член в 191.8) дважды по частям, получаем ~е~'Н / 21хме -Р1)м)Ф'1х) т2е 2!х / х 221!1х212 4/2е) !11 (4/20 212 191.10) 1А. Н. Никин!Ов, В. И. Ритус, 1967). В предельном случае слабых полей 12е « 1) в интеграле 191.10) существенны значения х вблизи нижнего предела. Поскольку эти значения велики, можно воспользоваться асимптотическим выражением для функции Эйри 1 7 2 Ад Ф1х) — — ехр ( — -х ~ ) 2хи' 3 1см. П1, 2 Ь).
Введя переменную интегрирования 9 = ххе — 41!Ае и положив у = 0 везде, где это возможно, получим в результате 436 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х ВЫ 1ИСЩРНИЯ ЗЗС~~Р~~Н с' 8 1 щ= ехр( — — ), гс«1. (91.11) 3„) Экспоненциальное убывание вероятности при зг — 1 0 отвечает невозможности рождения пар в классическом пределе. В обратном предельном случае сильных полей (Ас» 1) в интеграле (91.10) существен только второй член, причем он определяется областью значений х, в которой х сг 1ссгс « 1.
В этой области можно заменить функцию Ф'(х) ее значением Ф'(О) =— 2гспг Использовав значение интеграла | Г(. — В)Г(и) у' (у — ) с у = Г(Р) получим 3' ' 6Г (213) )В! Н 0 56 ~е~ Н Д 1 (91 12) 2гСг 7гс'Сгг(7/6) пггсгсг тпн'Сг Функция тгл(х)|~е~~зН имеет максимум, равный 0,11, при Зà — 11. я 92. Тормозное излучение электрона на ядре. Нерелятивистский случай Этот и несколько следуюсцих параграфов посвящены ва.жному явлению тормозного излучения, сопровождающего столкновения частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
