IV.-Квантовая-электродинамика (1109681), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Будем рассматривать процесс в системе центра инерции. В пределе и — » О отличный от нуля вклад в сечение даст лишь состояние с орбитальным моментом относительного движЕния 1 = О. НО О'-СОСтеяниЕ СиСтЕмы «ЭлсктрОН + пОЗитрОн» имеет отрицательную четность (см.:задачу к 8 27). В нечетных же состояниях системы двух фотонов их поляризации взаимно ортогональны (сы. 8 9).
Таким же свойством должны, следовательно, обладать в нерелятивистском случае и аннигиляционные фотоны. Если электрон и позитрон поляризованы., то в том же нсрелятивистском случае можно утверждать, что их аннигиляция возможна лишь при антипараллельных спинах. Действительно, поскольку аннигиляция происходит в О'-состоянии, полный момент системы совпадает с полным спином частиц, равным 1 при параллельных спинах. Система же двух фотонов вообще не имеет состояний с полным моментом 1 (сы. 8 9). В ультрарелятивистском пределе (11 — э 1) аш|игиляция продольно поляризованных (спиральных) электрона и позитрона возможна лишь при разных знаках их спиральпостей -) .
В этом пределе спиральные частицы ведут себя как нейтрино (см. конец 8 80), а потому аннигилирующие электрон и позитрон должны быть аналогичны нейтрино и антинейтрино, откуда и следует сделанное утверждение. ') См. МсМиа1«т И'. Н.1')Кеу. Моб. Раув. — 19б1. — Ъ'. 33. — Р. 8. ) ПОскольку направления импульеов чаетиц в систЕме цонтра инерции противоположны, различным по знаку спиральностям отвечают параллельные спины. 14 Л. Д. Ландау а Е.м, Лвфп1иц, том 1У 418 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ ГЛ Х Аннигиляция же электрона и позитрона с одинаковыми спиральностями возникает в ульграрелятивистском случае лишь при учете членов, содержащих пи По порядку величины амплитуда этого процесса отличается множителем т/е от амплитуды аннигиляции пары с параллельными спинами; сечение же отличается соответственно множителем (гп)е) Задача Найти сечение образования электронной пары при столкновении двух фотонов (б.
Вге29 з. А. )4йее1ег, 1934). Р е ш е н и е. Этот процесс обратен двухфотонной аннигиляпии электронной нары. Квадраты амплитуды обоих процессов одинаковы, а нх связи с сечением различаются лишь тем, что теперь 12 = (й2Й2)2 = 1~/4. Поэтому 4а ер — — На, „(1 — 42п )2 и В системе центра инерции 11 = 4е2 = 4ь22) Л~ ар — — о 21а„„„, где о - скорость компонент пары.
При интегрировании с целью нахо>кдения полного сечения надо учесть, что ввиду нетождествонности двух конечных частиц (электрон и позитрон) ие надо делить результат на 2, как в случае аннигиляции. Поэтому (в системе центра инерции) 2 „е = ь а„„, = — '11 — ) ~Р— ь )1 — 2(2 — о )~. (1) 2 1 — е В произвольной системе отсчета К, в которой два фотона Й1 и к2 летят навстречу друг другу, имеем (из инвариантности А2222) 2 Р21~ 32 = Р~ где р2 — энергия фотонов в системе центра инерции.
Поскольку в этой системе энергии фотонов и компонент пары совпадают, то р2 = е = т/Я вЂ” п22. Поэтому для порехода к системе К надо положить в 11) 8 89. Аннигиляция позитрония В силу сохранения импульса аннигиляция электрона и позитрона в позитронии должна сопровождаться испусканием по крайней мере двух фотонов.
Такой распад, однако, возможен (в основном состоянии) только для парапозитропия. В 8 9 было показано, что полный момент системы двух фотонов не может быть равен 1. Поэтому ортопозитроний, находящийся в состоянии ~31, не может распасться на два фотона. Более того, поскольку в состоянии ВЯ1 позитроний представляет собой зарядово-нечетную систему (см.
задачу к 8 27), то в силу теоремы чзарри (сьь 8 79) невозможен его распад и вообще на любое четное число фотонов. Напротив, в состоянии 1ЯВ позитроний зарядово-четеи, и потому запрещен распад парапозитрония на любое нечетное чисто фотонов. 1 89 Аннигиляцит! Ноаитеония Основным процессом, определяющим время жизни позитрония, является, таким образом, двухфотонная аннигиляция в случае парапозитропия и трехфотонная аннигиляция в случае ортопозитрония (и. Я.
Померанчук, 1948). Вероятность распада можно связать с сечением аннигиляции свободной пары. Импульсы электрона и позитрона в позитронии те 7т6, т. е. малы по сравнению с пих Поэтому при вычислении вероятности аннигиляции можно перейти к пределу двух частиц, покоящихся в начале координат. Пусть П2 сечение двухфотонной аннигиляции свободной пары, усредненное по направлениям спинов обеих частиц. В нерелятивистском пределе, согласно (88.11) '), Г527 тт ( .„) (89.1) где н — относительная скорость частиц. Мы получим вероятность аннигиляции шв, умножив о2 на плотность потока, равную п~т)т(0)~~.
Здесь тр(г)) нормированная на 1 волновая функция основного состояния позитрония: (89.2) (боровский радиус позитрония о в два раза больше радиуса атома водорода из-за вдвое меньшей приведенной массы). Эта вероятность, однако, отвечает усредненному по спинам начальному состоянию. Между тем в позитронии из четырех возможных спиновых состоянии системы двух частиц способно к двухфотонной аннигиляции лишь одно (с полным олином О). Поэтому средняя вероятность распада тн2 связана с вероятностью распада парапозитропия ше соотношением тн2,„= тн9,74. Таким образом, нто = 4(ф(0)! (По.27),-то.
(89.3) Подставив значения величин из (89.1),(89.2), получим для продолжительности жизни парапозитропия то= . =123 10 — 1ос. (89.4) тпс2 ОВ Обратим внимание на то, что ширина уровня Го = 5527 ге мала по сравнению с его энергией ттте 2 а ~Е„„~ = = тс —. 462 Именно это обстоятельсгво и позволяет рассматривать позитроний как квазистационарную систему. ') Формулы (89Л) — (89.7) написаны в обычных единицах.
420 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х Аналогичным образом найдем, что вероятность распада ортопозитрония связана с усредненным по спинам сечением трех- фотонной аннигиляции свободной пары соотношением 4 4~ )( ~~2~ з ' з (89.5) (з)А относительный статистический вес состояния со спином 1). Забегая вперед, укажем, что Поэтому продолжительность жизни ортопозитрония ТГ=, =1,4.10 ~с. (89.7) 2(И2 — 9) тПВ'Об Неравенство Г1 « ~Е~В„~ в этом ш)учае, разумеется, выполняется еще в большей степени, чем для парапозитрония. Вычислим сечение трехфотонной аннигиляции свободной пары (А. Оге, и'. Х. РОГВЕ11, 1949).
Согласно (64.18) сечение рассматриваемого процесса в системе центра инерции выражается через квадрат амплитуды формулой Г1пзз = и б(1ЕГ + 1с2+ 1сз)д(ГВГ +ГВ2+ГВз — 2т) х (2;)" ~М х ' ' ', (898) (2Х)Р2ю1 2М2 2юз (89.6) и етце пять диаграмм, получающихся перестановкой фотонов км К2, А:З. Соответствуюшую амплитуду запишем в виде МГ, = (4И) йех е(~)*е(~)*и( — рт)Я~И'п(р ), (89.9) причем, согласно (64.16), 1 = 2пà — е = Гизи, где н — относительная скорость позитрона и электрона (когоруГо предполагаем малой), 1см 1сз, 1сз и ГВМ ы2, ГВз..волновые вектоРы и частоты возяикающих фотонов; д-функции выражают законы сохранения энеРгии и импУльса. В силУ этих законов тРи частоты ГВМ ГВ2, Гез должны изображаться длинами сторон треугольника с периметром 2т. Другими словами, величины импульсов 1сы 1сз, 1са и углы между ними полностью определяются заданием двух частот.
Трехфотонной аннигиляции отвечают диаграмма 421 1 89 Аннигиляцитт позитгония где 15 "' = ~~ у С(йз — рт)ут'С1р — Й,) у', (89,10) ттер причем сумма берется по всем перестановкам номеров фотонов 1, 2, 3 вместе с одновременными такими же перестановками соот- ВстетВУЮЩИХ тЕНЗОРНЫХ ИНДЕКСОВ ЛУттт. КВаДРат МОДУЛЯ аМПЛИ- туды, усредненный по поляризациям электрона и позитрона и просуммировапный по поляризациям фотонов: — ~ ~ЛХу,~~ = 14~) Бр ~~)~бУ~"'рЯ~И ) ., поляр 189.11) где Р- — 1УР + т), й»Й2 = 2т1т — нтз) 189.12) В результате все же довольно длинного вычисления получа ется — !МУт/2=(4Я) е .16[( ' ') +( г) +( ' ') ].
поп яр 1 2 — Лри Матрицы Я отличаются от матриц Ял"Р обращением порядка множителей в каждом члене суммы. В интересующем нас предельном случае малых скоростей электрона и позитрона можно положить их 3-импульсы р и рт равными нулю, т. е. положить р = рэ = 1т, О). Тогда электронные функции Грина ЗР— Зйт + ш — Зйт -Р т1г -Р 1) Й,)г г — 2тптот и т. и., а матрицы плотности сводятся к тп( 9~1) 2 При перемножении в 189.11) возникает большое количество членов.
Однако число подлежащих вычисленито членов можно сильно уменьшить, если воспользоваться в полной мере симметрией по отношению к перестановкам фотонов. Так, достаточно перемножить шесть членов в е55»"' 189.10) лишь с одним каким-либо — Лри членом в ьт . В оставшихся, таким образом, шести следах тоже можно выделить некоторые части, переходящие друт в друга при различных перестановках фотонов. Возникающие при раскрытии следов произведения 4-векторов р, Й1, Й2, Йз выражаются через частоты нт1, нт2, шз, Поскольку р = 1т, О), то рй1 = = тпптт, ...
Произведения же Й~Й2, ... определяются из уравнения сохранения 4-импульса: 2р = й1 + й2 + йз, .так, переписав это равенство в виде 2р — йт = Й1 + Й2 и возведя его в квадрат, получим 422 ВЗАНМОДЕЙСТВНЬ ЭЛЕКТРОНОВ О ФОТОНАМИ ГЛ Х Подставив это выражение в (89.8), найдем дифферепциальяое сечение трехфотонной аннигиляции; ,~аЬ,~ВЬ,~АЙ х б(1Е1 + 1с2+ 1сз)б(ГВ1 + ы2+ Гоа — 2гп) ' ' '.
(89.13) Ю1М2МЗ Здесь надо еще исключить д-функции. Первая из них устраняется интегрированием по Г1 АЗ, после чего заменяем остальные дифференциалы: Г4Й1ГГ Г1йй2 — + 4яыГ~А)Г 2яьз2 Г1(сов РВ12) Гйлз, где 012 — угол между Ы1 и 1с2, .подразумевается, что уже произведено интегрирование по направлениям 1с1 и азимуту 1с2 относительно 1с1. Дифференцируя равенство находим ГГ сов 012 = — доз.
Ю1 Ю~ Интегрированием по ыз устраняем вторую б-функцию. В результате получим сечение для аннигиляции с образованием фотонов с заданными энергиями в виде Вв,=-' '"' (( -") +(""-") +('"-"') ) 1ы1 й 2 (89.14) (имея в виду дальнейшее интегрирование по частотам, мы ввели сюда множитель 1/В, учитывающий тождественность фотонов Е (ср. примеч.
На с. 286)). 1,0 Каждая из частот ш1, и2, шз может пробегать значения между О и т (значение Го достигается двумя ча- 0,6 ' —..~'-. " '- —, - стотами, когда третья равна нулю). При заданном и1 частота и2 меняется между т — ы1 и т. Интегрируя (89.14) 0,2 — --- — -( --; — -'- — —,— по ю2 в этих пределах, получаем спек- — тральное распределение фотонов рас- 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 пала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
